1、 49 第六章 数理统计的基本概念 一 .填空题 1.若 n , 21 是取自正态总体 ),( 2N 的样本 ， 则 ni in 11 服从分布 )n,(N 2 . 2.样本 ),( nXXX 21 来自总体 ),( 2NX 则 )( 22 1 nSn)( 12 n ； )( nSnX _ )( 1nt _。 其中 X 为样本均值 ， nin XXnS 1 22 11 )(。 3.设 4321 XXXX , 是来自正态总体 ).( 220N 的简单随机样本， 221 )2( XXaX 243 )43( XXb ， 则当 a 201a 时， b 1001b 时，统计量 X 服从 2X 分布，其自
2、由度为 2 . 4. 设随机变量 与 相互独立 , 且都服从正态分布 (0,9)N , 而 1 2 9( , , , )x x x 和 1 2 9( , , , )y y y 是分别来自总体 和 的简单随机样本 , 则统计量 1 2 92 2 21 2 9x x xU y y y (9)t . 5. 设 ( 0 ,1 6 ) , ( 0 , 9 ) , ,X N Y N X Y相互独立 , 1 2 9, ,X X X 与 1 2 16, , ,Y Y 分别 为 X与 Y的一个简单随机样本 , 则 2 2 21 2 92 2 21 2 16X X XY Y Y 服从的分布为 (9,16).F 6
3、. 设随机变量 (0,1)XN , 随机变量 2 ( )Yn , 且随机变量 X与 Y相互独立 , 令 XTYn , 则 2T F(1,n) 分布 . 解：由 XTYn , 得 22 XT Yn . 因为随机变量 (0,1)XN , 所以 22 (1).X 再由随机变量 X与 Y相互独立 , 根据 F分布的构造 , 得 22 (1, ).XT F nYn 50 7. 设 12, , , nX X X 是总体 (0,1)N 的样本 , 则统计量 222 111n kkXnX 服从的分布为 ( 1,1)Fn (需写出分布的自由度 ). 解：由 ( 0 ,1 ), 1, 2 , ,iX N i n知
4、 2 2 2 21 2 (1 ) , ( 1 )nkkX X n , 于是 2 21 22211( 1 ) 1 ( 1 , 1 ) ./ 1 1nk nkkkXn XFnX n X 8. 总体 2 1 2 3 4 (1 , 2 ) , , , ,X N X X X X为总体 X的一个样本 , 设 212234()XXZ XX 服 从 F(1,1) 分布 (说明自由度 ) 解：由 212 (0, 2 )X X N , 有 2 212 (1)2XX , 又 234 (0 , 2 )X X N , 故 2 234 (1),2XX 因为 2122XX与 2342XX独立 , 所以 21234 (1,1
5、).XX FXX 9.判断下列命题的正确性： ( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对” ) (1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差 2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 x 是 的 一 致 估 计。 ( 对 ) (2) 若 0)(E 则 称 为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 ) (3) 设总体 X 的期望 E(X)，方差 D(X)均存在， 21xx, 是 X 的一个样本 ， 则统计量21 3231 xx 是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 ) (4) 若 )()( 21 EE 且 )()( 21 DD 则 以 2 估 计 较 以 1 估 计 有 效 。 ( 错
6、 ) 51 (5) 设 n 为 的估计量，对任意 0，如果 0 |l i m nn P则称 n 是 的一致估计量 。 ( 对 ) （ 6）样本方差 ni in XXnD 1211 是总体 ),( 2NX 中 2 的无偏 估计量 。 211 ni i XXnD* 是总体 X中 2的有偏估计 。 （ 对 ） 10.设 321 XXX , 是取自总体 X 的一个样本，则下面三个均值估计量 321332123211 1214331,1254131,2110351 XXXuXXXuXXX 都 是总体均值的无偏估计， 其中方差越小越有效， 则 2 最有效 . 二、选择题 1、设总体 服从正态分布 ),(
7、2NN ，其中 已知， 未知， 321 , 是取自总体 的一个样本，则非统计量是 ( D ). A、 )(31321 B、 221 C、 ),max( 321 D、 )(1 2322212 2、设 n , 21 是来自正态总体 ),( 2N 的简单随机样本 ni inS 1221 )(11 ， ni inS 1 222 )(1 ， ni inS 1 223 )(11 ， ni inS 1 224 )(1 ，则服从自由度为1n 的 t 分布的随机变量是 ( B ). A、1/1 nS B、1/2 nS C、nS/3 D、nS /4 3、设 )2,1( 2N ， n , 21 为 的样本，则 (
8、C ). A、 )1,0(2 1 N B、 )1.0(4 1 N C、 )1,0(/2 1 NnD、 )1,0(/2 1 Nn4、设 n , 21 是总体 )1,0(N 的样本， S, 分别是样本的均值和样本标准差，则有 ( C ) A、 )1,0(Nn B、 )1,0(N C、 ni i nx122 )( D、 )1(/ ntS 5 简 单 随 机 样 本 (X X X n1 2, , , ) 来 自 某 正 态 总 体， X 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。 52 ( A ) X 与 ( )X Xiin 21独 立 ( B )Xi 与 Xj 独
9、 立 ( 当 ji ) ( C ) Xiin1与 Xiin 21独 立 ( D )Xi 与 Xj2 独 立 ( 当 ji ) 6. 设 1n21 X, ,X ,X ， 来自总体 2n21211 Y,Y,Y ),(NX,X 来自总体 Y, ),(NY 222 ， 且 X 与 Y 独 立。 21 n1i ,i2n1i ,i1 ,Yn1Y ,Xn1X 21211 n 1i 2,i22 n2n 1i 2,i12 n1 ,)YY(n 1S ,)XX(n1S 则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) )1,0(Nnn)()YX(22212121 ( B ) )1n ,1n(FSS)1n(n)1n(n
10、 212 n22 n12122122121 ( C ) )2n n(SnSn212222 n22212 n1121 ( D ) )2n n(t2n n2121 7. 设 nXXX , 21 是取自总体 ),0( 2N 的样本，则可以作为 2 的无偏估计量是( A ). A、 ni iXn 121 B、 ni iXn 1211 C、 ni iXn 11 D、 ni iXn 111 8. 3、设 321 , XXX 是来自母体 X 的容量为 3的样本，3211 2110351 XXX ，3212 1254131 XXX ，3213 216131 XXX ，则下列说法正确的是( B ). A、 32
11、1 , 都是 )(XE 的无偏估计且有效性顺序为 321 B、 321 , 都是 )(XE 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为312 C、 321 , 都是 )(XE 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为123 D、 321 , 不全是 )(XE 的无偏估计，无法比 53 三 . 计算题 1、在总体 )2,30( 2NX 中随机地抽取一个容量为 16的样本，求样本均值 X 在 29到 31之间取值的概率 . 解：因 )2,30( 2NX ，故 )162,30( 2NX ，即 )21(,30( 2NX )221 302()3120( XPXP 9544.01)2(2)2()2( 2、 设某厂生
12、产的灯泡的使用寿命 ),1000( 2NX (单位：小时 )，抽取一容量 为 9的样本，其均方差 100S ，问 )940( XP 是多少？ 解：因 2 未知，不能用 ),1000( 2nNX 来解题， 而 )1( ntnSXT )8(3tSXT )()(39 4 039 4 0 SSXPXP ，而 100 0,100 S )940( XP )8.1()1 0 0 3)1 0 0 09 4 0( TPTP )8.1( TP 由表查得 056.0)8.1()940( TPXP 3、设 721 , XXX 为总体 )5.0,0( 2NX 的一个样本，求 712 )4(i iXP. 解： )5.0,
13、0( 2NX )1,0(2 NXi 7 1 7 1 222 )7(4)2(i i ii xXX 7 1 7 1 22 0 2 5.0)164()4( i i ii XPXP 4、设总体 )1,0(NX ，从此总体中取一个容量为 6的样本 654321 , XXXXXX ， 设 26542321 )()( XXXXXXY ，试决定常数 C ，使随机变量 CY 服 从 2x 分布 . 解： )3,0(321 NXXX ， )3,0(654 NXXX )1,0(3 321 NXXX ， )1,0(3 654 NXXX )2()3()3( 226542321 xXXXXXX 54 即 )2()(31)
14、(31 226542321 xXXXXXX 31C 时， )2( 2xCY 5、 设随机变量 T 服从 )(nt 分布，求 2T 的分布 . 解：因为nYXT /，其中 )1,0(NX ， )( 2 nxY ， nYXnYXT / 1/ 222 )1( 22 xX ),1(2 nFT 6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 似 值 。 ( 已 知 N ( 0， 1 ) ， p ( 1.96 ) = 0.975 ) 解 : 当 n 足 够 大 时， t 分 布 近 似 N (0， 1), 当 u N (0， 1 ) 时 ，分 位 数 u1- 近 似
15、 t1-( n ) 。 而 p u u0.975 =0.025 时 ， u0.975 = 1.926 2 ， t0.975 ( 50 ) 2 7. 设 ,X,X 21 Xn为 来 自 有 均 值 和 r 阶 中 心 矩 r 的 总 体 X 的 样 本，试证明 rniriXnE 11 。又此式说明总体的 r阶 矩与样本 r 阶矩有什么关系 ？ 证 ： rni rniriniri nXEnXnE 111111 上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的 r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 r 的 无 偏 估 计
16、 。 8. 设总体 2 (0,2 )XN , 1 2 10, , ,X X X 为来自总体 X 的样本 . 令 225 1016ijijY X X . 试确定常数 C, 使 CY服从 2 分布 , 并指出其自由度 . 解： 由 2 (0,2 )XN , 得 ( 0 ,1 ) , 1 , 2 , ,1 0 .2 iX Ni 又 1 2 10, , ,X X X 互相独立 , 55 故 5 1 01611 ( 0 , 5 ) , ( 0 , 5 ) ,22ijijX N X N10561 (0 , 1 ) , (0 , 1 ) ,2 5 2 5ji jiXXNN 且二者独立 . 从而有 225 1
17、 0 2161 ( 2 ) ,20ijijXX 得 21 ,20C 分布的自由度为 2. 9. 设 1 2 4 1 2 5, , , , , ,X X X Y Y Y与 分别是来自正态 (0,1)N 的总体 X 与 Y 的样本 , 452211( ) ( )iiiiZ X X Y Y ,求 EZ . 解 :方法 1:由 212() 2 2 2 ( 1 ) , ( 1 ) 1 , 1n ii XX n E n n 可得 4 221 ( ) (3 ),ii XX 5 21 )ii YY 2 ( 4 ), 3 4 7EZ . 方法 2: 11( ) ( ) 1 ,1 n iiE S E X X D
18、Xn 2 2 2 21 2 1 2( 3 4 ) 3 4 3 4 7E Z E S S E S E S . 10.设 XY, 是 取 自 母 体 N ( ， 2 ) ，容 量 为 n的 两 个 相 互 独 立 的 样 本 X1 、 X2、 、 Xn 及 Y1、 Y2、 、 Yn 的 均 值 ， 试 确 定 n ， 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 的 概 率 大 约 为 0.01 。 ( 已 知 ( 2.58 ) = 0.995 ) 解 ： 由 于 X 及 Y 均 服 从 nN2, 则 22,0 nNYX要 01.02)2( nnYXPYXP 即 99.02)2( nnYXP 即 99.0122 n 即 995.02 n n2 258 . . 取 n = 14
