1、第四章 氢原子与类氢离子的波函数与能及,1 角动量及其本征值与本征波函数,一.角动量算符,3.直角坐标系中角动量算符的表示:,1.经典角动量的定义:,2.量子力学中的角动量算符:,4.角动量平方算符:,5.与角动量算符有关的对易关系:,1),该式给出角动量算符的一般定义.,6.球坐标系中角动量算符的表示:,2),角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的,且具有共同的本征函数系.,即角动量平方算符的本征值为:,角动量平方算符的本征函数为:,-缔合勒让德多项式,称为角量子数.,二.角动量平方算符的本征值与本征函数:,1.角动量平方算符的本征值方程:,利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数
2、Y(,)为有限的条件下可求得:,构成正交，归一的完备系,三.角动量Z分量算符的本征值与本征函数:,-归一化系数,满足的正交归一化关系为:,2、电子在库仑场中的运动,( U( r )为中心力场 ),一定态薛定格方程:,1定态薛定格方程:,该方程的极坐标形式为：,2分离变量:,设：,该方程左边只与r有关，而右边只与，有关。所以，如果两边能相等，那么只有他们同等于一个常数。并以来表示该常数，则有：,和,二方程的解:,1方程就是角动量平方算符的本征值方程。,2方程的解：,把=l（ l +1 ）代入方程可得：,- 径向方程。, 能量本征值E：,A）当E0时：对E的任何值，方程都有满足波函数标准化条件的解
3、。- 系统的能量具有连续谱。电子已经摆脱核的束缚，处于电离状态。可以离开核，运动到无限远处。,B）当E0时：E只有取某些确定的值，方程才有满足波函数标准化条件的解。,- 系统的能量具有分立谱。,径向本征波函数：,这时电子只能在核的附近运动，处于束缚态。,-称为玻尔半径,n称为主量子数.且有 l (n-1).,归一化系数:,-缔合拉盖尔多项式,波函数的归一化：,注意到球谐函数是已经归一化的，所以有：,故径向本征波函数的归一化的表达式应写为：,E0时库仑场中电子状态的定态波函数为:,可见一组n l m 就可决定库仑场中电子的波函数也就可完全决定库仑场中电子的一个状态.,这里n l m 为决定 的三
4、个量子数. 由于能量本征值只与主量子数n 有关,所以 是简并的.简并度为:,l - 称为角量子数。,m - 称为磁量子数。,n - 称为主量子数。,3 量子力学中的氢原子解法简介,一二体问题的简化:,氢原子的能量,引入质心坐标和相对坐标：,定义：总质量M与折合质量m：,定态薛定格方程为：,设：,并代入原方程可得：,即：,二、电子相对于核运动的定态薛定谔方程:,分离变量后可得:,和,方程（1）是一个描写质心运动情况的定态薛定格方程。它说明：质心的状态与自由粒子的状态是相同的。 因此有：,即质心按能量为（E0-E）的自由粒子的方式运动。,感兴趣的是原子内部的状态。而方程（2）就是描写电子相对于核的
5、运动情况的定态薛定格方程。,1. 能量本征值,能量是量子化的,当 时，En连续值,-称为玻尔半径,n称为主量子数.且有 l (n-1).,-归一化系数,二.氢原子定态薛定谔方程的解:,2. 径向波函数,3. 氢原子中电子状态的波函数为:,-缔合拉盖尔多项式,的归一化的形式可写为:,这里n l m 为决定 的三个量子数. 由于能量本征值只与主量子数n 有关,所以 是简并的.简并度为:,可见一组n l m 就可决定氢原子中电子的波函数也就可完全决定氢原子中电子的一个状态.,4. 氢原子中电子在核附近各出现的几率:,r r+dr,6. 电子角向概率分布,( , )方向立体角d,5. 电子径向概率分布
6、,例1：当氢原子处于基态时，求：电子动量的几率分布。,解：为此需把电子基态波函数按动量算符的本征波函数来展开，写为：,其中：,当氢原子处于基态时，电子动量的大小在pp+dp区间的几率为：,且有：,利用积分公式：,解：,由流密度的定义有：电子的电流密度为,在球极坐标中为,例2：求：氢原子中电子绕核运动，所形成的电流的电流密度，和由此形成的电子的轨道磁矩。, 氢原子中电子运动所产生的电流密度：,可见，在氢原子中有：,一个圆周电流的磁矩可表示为, 电子绕核运动所形成的磁矩：,由前面的讨论可知，原子中电子绕核运动所形成的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。现在来讨论这些圆周电流的磁矩。,氢原子的磁矩为,关于角动量与角动量算符：,2）角动量平方算符的本征值与本征函数。,1）角动量平方算符的本征值方程。,4）角动量z分量算符的本征值与本征函数。,3）氢原子中的电子的薛定格方程。,5）角动量各分量算符之间的对易关系。,6）角动量z分量算符与角动量平方算符之间的对易关系。,关于氢原子：,1）三个量子数的意义、取值范围。,2）径向波函数的物理意义。,3）角动量z分量算符的本征值方程。,4）本节的例题1。,氢原子一章的知识点,
