1、1 专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景 的实际问题(对应学生用书第117页) (限时：60分钟) 1(本小题满分14分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面 视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西 向渠宽 m(从拐角处，即图中A，B处开始)假定渠内的水面始终保持水平位置(即无 2 高度差) 图4 (1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边 的夹角为 ，将线段PQ的长度l表示为的函数； ( 0 2 ) (2)若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终
2、浮于水平面内， 且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请 说明理由. 【导学号：56394096】 解 (1)由题意，PA ，QA ， 2 sin 4 cos 所以lPAQA，即l . 4分 2 sin 4 cos ( 0 2 ) (2)设f () ， . 2 sin 4 cos ( 0， 2 ) 由f () ， 6分 2cos sin2 4sin cos2 22 2sin3cos3 sin2cos2 令f ()0，得tan 0 . 8分 2 2 且当(0， 0 )，f ()0；当 ，f ()0， ( 0， 2 ) 所以，f ()在(0， 0 )上单调递减；在
3、 上单调递增， ( 0， 2 ) 所以，当 0 时，f ()取得极小值，即为最小值2 当tan 0 时，sin 0 ，cos 0 ， 2 2 1 3 2 3 所以f ()的最小值为3 ， 12分 6 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 m. 6 因为3 7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分 6 2(本小题满分14分)(2017江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计 如图5所示圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其 余部分为透光区域已知圆的半径为1
4、 m且 ，设EOF，透光区域的面积为S. AB AD 1 2 图5 (1)求S关于的函数关系式，并求出定义域； (2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求 边AB的长度 解 (1)过点O作OHFG于 H，OFHEOF； 又OHOFsin sin ， FHOFcos cos ，S4S OFH 4S 扇形OEF 2sin cos 4 sin 1 2 22； ，sin ， ； AB AD 1 2 1 2 6 ， 2 ) S关于的函数关系式为Ssin 22， ； 6分 6 ， 2 ) (2)由S 矩形 ADAB22sin 4sin ， 则透光区域与矩形窗面积比值为 ，
5、2sin cos 2 4sin cos 2 2sin 3 设f () ， ， cos 2 2sin 6 ， 2 ) 则f () sin 1 2 sin cos 2sin2 sin cos sin3 2sin2 sin cos2cos 2sin2 ； 10分 cos ( 1 2 sin 2 ) 2sin2 ， sin 2 ， 6 2 1 2 1 2 sin 20， 1 2 f ()0， f ()在 上是单调减函数； 6 ， 2 ) 当 时f ()取得最大值为 ， 6 6 3 4 此时AB2sin 1(m)； 当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB的长度为1 m 14分 3(本小题满分14
6、分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A上建 了一水产养殖中心在海岸线 l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB30公 里，AC80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作 的员工有5百人现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工 作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为12. 图6 (1)求sinABC的大小； (2)设ADB，试确定的大小，使得运输总成本最少 解 (1)在ABC中，cosABC ， AB2BC2AC2 2ABBC 9004 900 6400 2 30 70 1 74 所以sinABC . 4分 4 3
7、7 (2)在ABD中，由 得： AD sinABD AB sin BD sinBAD 30 sin AD 4 3 7 . BD 1 7 sin 4 3 7 cos 所以AD ，BD . 6分 120 3 7 sin 120 3 7 cos 30 7 sin sin 120 3 7 cos sin 30 7 设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元， 则运输总费用y(5CD3BD)2k8kAD2k5(70BD)3BD4AD 20k 20k . 352 ( 12 3 7 cos sin 3 7 ) 4 12 3 7 sin 35 6 7 24 3 7 2cos s
8、in 令H() ，则H() ，令H()0，解得：cos 2cos sin 12cos sin2 ， . 10分 1 2 3 当0 时，H()0，H()单调递减； 3 当 时，H()0，H()单调递增， 3 2 时，H()取最小值，同时y也取得最小值 3 此时BD ，满足0 70，所以点D落在BC之间 120 3 7 cos sin 30 7 90 7 90 7 所以 时，运输总成本最小. 14分 3 4(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的 建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15， 沿山坡前进50 m到达B处，又
9、测得DBC45，根据以上数据计算cos 的值5 图7解 由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135， BDC90(15)3045， 4分 由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可 得 ，即DB100sin 15100sin(4530)25 ( 1)， 50 sin 30 DB sin 15 2 3 10分 又 ，即 ，得到cos 1. 25 sin 45 25 2 31 sin90 25 sin 45 25 2 31 cos 3 16分 5(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道 AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边
10、BC200 m，斜边AB400 m现有甲、乙、 丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F. 图8 (1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另 一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的 距离； (2)设CEF，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且DEF ，请将甲 3 乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离 解 (1)依题意得BD300，BE100， 在ABC中，cos B ，B ， 2分 BC AB 1 2 3 在BDE中，由余弦定理得： DE 2 BD 2 BE 2 2BDB
11、Ecos B300 2 100 2 2300100 70 000， 1 2 DE100 . 6分 7 即甲、乙两人之间的距离为100 m 7分 7 (2)由题意得EF2DE2y，BDECEF， 在直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos ， 9分6 在BDE中，由正弦定理得 ，即 ， BE sinBDE DE sinDBE 2002ycos sin y sin 60 y ，0 ， 12分 100 3 3cos sin 50 3 sin ( 3 ) 2 所以当 时，y有最小值 50 . 14分 6 3 故甲、乙之间的最小距离为50 m 16分 3 6(本小题满分16分)(2017江苏省
12、盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋 筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示ABCD是等腰梯形，AB20米， CBF(F在AB的延长线上，为锐角)圆E与AD，BC都相切，且其半径长为 10080 sin 米EO是垂直于AB的一个立柱，则当 sin 的值设计为多少时，立 柱EO最矮？ 【导学号：56394097】 图9 解 如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平 面直角坐标系 因为B(10,0)，k BC tan ，所以直线BC的方程为：ytan (x10)，即xtan y10tan 0， 4分 设圆心E(0，t)(t0)，由圆E与直线BC相切，得10080sin 7 ， |t10tan | 1tan2 t10tan 1 cos 所以EOt ， 8分 10090sin cos 令f () ， ， 10090sin cos ( 0， 2 ) 则f () ， 100 ( sin 9 10 ) cos2 设sin 0 ， 0 .列表如下： 9 10 ( 0， 2 ) (0， 0 ) 0 ( 0， 2 ) f () 0 f () 减 极小值 增 所以当 0 ，即sin 时，f ()取最小值. 15分 9 10 所以当sin 时，立柱EO最矮. 16分 9 10
