1、1 专项限时集训(五) 复杂数列的通项公式与求和问题 (对应学生用书第121页) (限时：60分钟) 1(本小题满分14分)S n 为等差数列a n 的前n项和，且a 1 1，S 7 28.记b n lg a n ， 其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991. (1)求b 1 ，b 11 ，b 101 ； (2)求数列b n 的前1 000项和. 【导学号：56394103】 解 (1)设a n 的公差为d，据已知有721d28，解得d1. 所以a n 的通项公式为a n n. b 1 lg 10，b 11 lg 111，b 101 lg 1012. 6分 (2)因为b n Er
2、ror! 所以数列b n 的前1 000项和为1902900311 893. 14分 2(本小题满分14分)已知数列a n 的前n项和S n 3n 2 8n，b n 是等差数列，且 a n b n b n1 . (1)求数列b n 的通项公式； (2)令c n ，求数列c n 的前n项和T n . an1n1 bn2n 解 (1)由题意知，当n2时，a n S n S n1 6n5， 当n1时，a 1 S 1 11，满足上式， 所以a n 6n5. 设数列b n 的公差为d. 由Error!即Error! 可解得Error!所以b n 3n1. 6分 (2)由(1)知c n 3(n1)2 n1
3、 ， 6n6n1 3n3n 又T n c 1 c 2 c n ， 得T n 322 2 32 3 (n1)2 n1 ， 2T n 322 3 32 4 (n1)2 n2 ， 两式作差，得T n 322 2 2 3 2 4 2 n1 (n1)2 n2 3 4 412n 12 n1 2n2 3n2 n2 ，2 所以T n 3n2 n2 . 14分 3(本小题满分14分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知数列a n 的前n项和为 A n ，对任意nN * 满足 ，且a 1 1，数列b n 满足b n2 2b n1 b n 0(nN * )， An1 n1 An n 1 2 b 3 5，其前
4、9项和为63. (1)求数列a n 和b n 的通项公式； (2)令c n ，数列c n 的前n项和为T n ，若对任意正整数n，都有T n 2na， bn an an bn 求实数a的取值范围； (3)将数列a n ，b n 的项按照“当n为奇数时，a n 放在前面；当n为偶数时，b n 放 在前面”的要求进行“交叉排列” ，得到一个新的数列： a 1 ，b 1 ，b 2 ，a 2 ，a 3 ，b 3 ，b 4 ，a 4 ，a 5 ，b 5 ，b 6 ，求这个新数列的前n项和S n . 解 (1) ，数列 是首项为1，公差为 的等差数列， An1 n1 An n 1 2 An n 1 2 A
5、 1 (n1) n ，即A n (nN * )， An n 1 2 1 2 1 2 nn1 2 a n1 A n1 A n n1(nN * )， n1n2 2 nn1 2 又a 1 1，a n n(nN * )， b n2 2b n1 b n 0，数列b n 是等差数列， 设b n 的前n项和为B n ，B 9 63且b 3 5， 9b3b7 2 b 7 9，b n 的公差为 1， b7b3 73 95 73 b n n2(nN * ).4分 (2)由(1)知c n bn an an bn n2 n n n2 22 ， ( 1 n 1 n2 ) T n c 1 c 2 c n 2n2 ( 1
6、1 3 1 2 1 4 1 n 1 n2 ) 2n2 ( 1 1 2 1 n1 1 n2 ) 2n32 ， ( 1 n1 1 n2 ) T n 2n32 ， ( 1 n1 1 n2 )3 设R n 32 ，则 R n1 R n ( 1 n1 1 n2 ) 2 0， ( 1 n1 1 n3 ) 4 n1n3 数列R n 为递增数列， (R n ) min R 1 ， 4 3 对任意正整数n，都有T n 2na恒成立，a . 4 3 8分 (3)数列a n 的前n项和A n ，数列b n 的前n项和B n . nn1 2 nn5 2 当n2k(kN * )时，S n A k B k k 2 3k；
7、 kk1 2 kk5 2 当n4k1(kN * )时， S n A 2k1 B 2k 4k 2 8k1，特别地，当 2k12k2 2 2k2k5 2 n1时，S 1 1也符合上式； 当n4k1(kN * )时，S n A 2k1 B 2k 4k 2 4k. 2k12k 2 2k2k5 2 综上，S n Error! 14分 4(本小题满分16分)已知a n 是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的 nN * ，b n 是a n 和a n1 的等比中项 (1)设c n b b ，nN * ，求证：数列c n 是等差数列； 2 n1 2 n (2)设a 1 d，T n (1) k b ，nN
8、* ，求证： . 2nk1 2 k nk1 1 Tk 1 2d2 证明 (1)由题意得b a n a n1 ， 2 n c n b b a n1 a n2 a n a n1 2da n1 . 2 n1 2 n 因此c n1 c n 2d(a n2 a n1 )2d 2 ， 所以c n 是等差数列.6分 (2)T n (b b )(b b )(b b ) 2 1 2 2 2 3 2 4 2 2n1 2 2n 2d(a 2 a 4 a 2n ) 2d na2a2n 2 2d 2 n(n1). 10分 所以 nk1 1 Tk 1 2d2 nk1 1 kk1 1 2d2 nk1 ( 1 k 1 k1
9、) 1 2d2 ( 1 1 n1 )4 . 1 2d2 16分 5(本小题满分16分)已知数列a n 的首项为1，S n 为数列a n 的前n项和， S n1 qS n 1，其中q0，nN * . (1)若2a 2 ，a 3 ，a 2 2成等差数列，求数列a n 的通项公式； (2)设双曲线x 2 1的离心率为e n ，且e 2 ，证明：e 1 e 2 e n . y2 a2 n 5 3 4n3n 3n1 【导学号：56394104】 解 (1)由已知，S n1 qS n 1，S n2 qS n1 1，两式相减得到 a n2 qa n1 ，n1. 又由S 2 qS 1 1得到a 2 qa 1
10、， 故a n1 qa n 对所有n1都成立， 所以数列a n 是首项为1，公比为q的等比数列 从而a n q n1 . 由2a 2 ，a 3 ，a 2 2成等差数列，可得 2a 3 3a 2 2，即2q 2 3q2，则(2q1)(q2)0. 由已知，q0，故q2. 所以a n 2 n1 (nN * ). 8分 (2)证明：由(1)可知，a n q n1 ， 所以双曲线x 2 1的离心率e n . y2 a2 n 1a2 n 1q2n1 由e 2 解得q . 1q2 5 3 4 3 因为1q 2(k1) q 2(k1) ，所以 q k1 (kN * ) 1q2k1 于是e 1 e 2 e n 1qq n1 ， qn1 q1 故e 1 e 2 e n . 16分 4n3n 3n1
