华杯赛小高组专题上.doc

1、华杯赛小高组1第一讲 智巧问题例 1 有一个猎人带了一条狼狗，一只兔子和一筐青菜，要乘船到河对面去，河里有一只小船，因为船小，猎人一次只能带一样东西，但是他不在时，狼会咬兔子，兔子会吃青菜，请你想一想猎人应该怎样安排过河？课堂练习：甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥，这三个人又都不会游泳。这时三人发现河上有两个孩划着一条小船，船太小，最多只能坐一个旅客，一个旅客和一个小孩同时过河都不行。请你给三位旅客设计一个过河方案。例 2 池塘里睡莲的面积每天长大一倍，经过 20 天就可以长满半个池塘，问需经过多少天这些睡莲能长满整个池塘？课堂练习1、一种荷叶每天长大一倍，第 12 天把池塘盖满，

2、求盖满池塘的一半是多少天？2、一条小虫长到成虫每天长大一倍，20 天长到 20 厘米。问：长到 5 厘米长时用了几天？例 3 一只蜗牛从 12 米的井底沿井壁向上爬，白天向上爬 3 米，晚上向下滑2 米，这只蜗牛几天能爬到井口？课堂练习：1、一只蜗牛从墙角沿墙壁向 10 米高的墙头爬去，白天向上爬 4 米，到夜里向下滑 3 米，问这只蜗牛什么时候能爬到墙头？2、一只蚯蚓从深 9 米的井底向井口爬去，白天向上爬 3 米，晚上向下滑 1 米，华杯赛小高组2求这只蚯蚓几天能爬到进口？例 4 顾客向售货员买 15 元的物品，付了一张面值 50 元的钞票，售货员没有零钱找，便向邻柜台兑换零钱。当交易完毕

3、顾客走后，邻柜发现这张 50 元是假币，该售货员于是又还给邻柜 50 元钱，那么该售货员受到了多少元的损失？课堂练习：一位出租车司机做了一笔 80 元的生意，乘客付了一张 100 元的钞票，接过找回的 20 元钱走了，这时司机发现乘客付给他的 100 元是假钞，你知道司机损失了多少钱吗？例 5 一杯牛奶，小刚喝了一半后，用水加满，再喝一半后，又用水加满，最后全部喝掉。小刚喝了几杯牛奶？几杯水？课堂练习：开心超市举行促销活动：4 个空可乐瓶可换一瓶可乐。小巧的妈妈买回来 24 瓶可乐，小巧一家最多可以喝到多少瓶可乐？例 6 大杯子能装 50 克水，小杯子能装 30 克水。你能用这两只杯子量出 7

4、0 克水吗？课堂练习：1、一休去河边打水，他有两个桶，大桶能装 9 升水，小桶能装 4 升水，要想恰好从河中打上 6 升的水带回去，他应该怎么办？2、有一个磅秤，只能称 40 千克以上的重量。小明、小红和小华三个小朋友的体重都在 20 至 39 千克之间，他们都想知道自己的体重。想一想，怎样才能称出每个人的体重？华杯赛小高组3第二讲图形与面积1. 下图是由 16 个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是 400 平方厘米,那么它的周长是_厘米.2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21 日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是 1.那么 7,2,1 三个数字所占的面积之和

5、是_.3. 下图中每一小方格的面积都是 1 平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米.4. 下图的两个正方形,边长分别为 8 厘米和 4 厘米,那么阴影部分的面积是_平方厘米.5、已知正方形甲的边长是 4 厘米，正方形乙的面积是 64平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？6. 在 中, , ,已知 的面积是 18 平方厘米,则四边ABCD2BEAAC形 的面积等于 _平方厘米.ED华杯赛小高组47. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BC 的三等分点，且平行四边形的面积为 54 平方厘米，求 SBEF。8. 右图是一块长方形公园绿地，绿地长 24 米，宽 16 米

6、，中间有一条宽为 2 米的道路，求草地（阴影部分）的面积。9.右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。 （单位：厘米）10.右图是边长为 4 厘米的正方形, =5 厘米、 是_厘米.AEOB11. 如图正方形 的边长是 4 厘米, 是 3 厘米,长方ABCDCG形 的长 是 5 厘米,那么它的宽 是_ 厘米.DEFGDE12. 在右图中，三角形 EDF 的面积比三角形 ABE 的面积大 6 平方厘米，已知长方形 ABDC 的长和宽分别为 6 厘米、4 厘米，DF 的长是多少厘米？华杯赛小高组513. 如图，三角形 ABC 的面积是 24 平方厘米，且DC=2AD，E、F 分别是

7、AF、BC 的中点，那么阴影部分的面积是多少？14. 如下图,正方形 的边长为 12, 是边 上的任意一点,ABCDPAB、 、 、 分别是边 、 上的三等分点, 、 、 是边 上的四MNIHEFGCD等分点,图中阴影部分的面积是_.15. 在等腰梯形 ABCD 中，AD=12 厘米，高 DF=10 厘米。三角形 CDE 的面积是 24 平方厘米。求梯形面积。16.ABCD 是正方形，BE=EC，AB=12 厘米，阴影面积是多少？华杯赛小高组617.如图，正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，CE=4 厘米。求阴影部分的面积。18.计算图形的面积。 （至少用 3 种方法） （单位：米）19.

8、 右图中的正方形的边长为10, 则阴影部分的面积为 。20.华杯赛小高组7第三讲 逻辑推理各种通过枚举或列表分析法求解的逻辑推理问题枚举即为逐个探讨各种假设的正确性，进而得出确切的信息；列表即将同一对象的两种不同表达方式分别用行与列标出，通过横向与纵向的不断比较得出结论1、在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个现在三只盒子上的标签全贴错了你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球?2甲、乙、丙、丁 4 位同学的运动衫上印有不同的号码赵说：“甲是 2 号，乙是 3 号 ”钱说：“丙是 4 号，乙是 2 号 ”孙说：“丁是 2 号，丙

9、是 3 号 ”李说：“丁是 l 号，乙是 3 号 ”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半那么丙的号码是几号?3某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H 这 8 位同学获得前 8 名老师让他们猜一下谁是第一名A 说：“或者 F 是第一名，或者 H 是第一名 ”B 说：“我是第一名 ”C 说：“G 是第一名 ”D 说：“B 不是第一名 ”E 说：“A 说得不对 ”F 说：“我不是第一名，H 也不是第一名 ”G 说：“C 不是第一名 ”H 说：“我同意 A 的意见 ”老师指出：8 个人中有 3 人猜对了那么第一名是谁?4某参观团根据下列条件从 A，B，C，D，E 这 5 个地方中选定参观地点：

10、若去 A 地，则也必须去 B 地；B，C 两地中至多去一地；D，E 两地中至少去一地；C，D 两地都去或者都不去；若去 E 地，一定要去 A，D 两地那么参观团所去的地点是哪些?5人的血型通常分为 A 型、B 型、0 型、AB 型子女的华杯赛小高组8血型与其父母间的关系如表 10 一 l 所示现有 3 个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为 O，A，B每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝 3 种，依次表示所具有的血型为 AB，A，0问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?6如图，有一座 4 层楼房，每个窗户的 4 块玻璃分别涂上黑色和白色，每个窗户代表一个

11、数字每层楼有 3 个窗户，由左向右表示一个三位数4 个楼层表示的三位数为：791，275，362，612问：第二层楼表示哪个三位数?7房间里有 12 个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话其中一个人说：“这里没有一个老实人 ”第二个人说：“这里至多有一个老实人 ”第三个人说：“这里至多有两个老实人 ”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11 个老实人 ”问房间里究竟有多少个老实人?8甲、乙、丙、丁约定上午 10 时在公园门口集合见面后，甲说：“我提前了 6 分钟，乙是正点到的 ”乙说：“我提前了 4 分钟，丙比我晚到 2 分钟 ”丙说：“我提前了 3 分钟，丁提前了 2 分钟 ”丁说：“我

12、还以为我迟到了 1 分钟呢，其实我到后 1 分钟才听到收音机报北京时间 10 时整 ”请根据以上谈话分析，这 4 个人中，谁的表最快，快多少分钟?9桌子上放了 8 张扑克牌，都背面向上，牌放置的位置如图 lO-3 所示现在知道：每张牌都是 A，K，Q，J 中的某一张；这 8 张牌中至少有一张是Q；其中只有一张 A；所有的 Q 都夹在两张 K 之间；至少有一张 K 夹在两张 J 之间；至少有两张 K 相邻；J 与 Q 互不相邻，A 与 K 也互不相邻华杯赛小高组9试确定这 8 张牌各是什么?10甲、乙、丙、丁 4 个同学同在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一个人在念英语，一个人在看小说，一

13、个人在写信已知：甲不在念英语，也不在看小说；如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语；有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此；丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的；丙既不是在看小说，也不在念英语那么在写信的是谁?11在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁 4 位朋友进行有趣的交谈，他们分别用了汉语、英语、法语、日语 4 种语言并且还知道：甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；有一种语言 4 人中有 3 人都会；甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；没有人既会日语，又会法语请根据上面的情况，判断他们各会什么语言?12.甲、乙、丙

14、3 个学生分别戴着 3 种不同颜色的帽子，穿着 3 种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动已知：帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝 3 种：甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；戴红帽子的学生没有穿蓝衣服：戴黄帽子的学生穿着红衣服：华杯赛小高组10乙没有穿黄色衣服试问：甲、乙、丙 3 人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服?13甲、乙、丙、丁、戊 5 人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这 5 本书的厚度以及他们 5 人的阅读速度都差不多，因此总是 5 人同时交换书经过数次交换后，他们 5 人每人都读完了这 5 本书现已知：甲最后读的书是乙读的第二本；丙最后读的书是乙读的第四本；丙读的第二

15、本书甲在最初就读了；丁最后读的书是丙读的第三本；乙读的第四本是戊读的第三本；丁第三次读的书是丙最初读的那本设甲、乙、丙、丁、戊 5 个人最后读的书分别为 A，B，C，D，E，根据以上情况确定他们 5 人读的第四本书各是什么书?14如图 10-4，这是一个挖地雷的游戏，在 64 个方格中一共有 10 个地雷，每个方格中至多有一个地雷对于写有数字的方格，其格中无地雷但与其相邻(有公共边或公共顶点)的格中有可能有地雷，地雷的个数与该数字相等请你指出哪些方格中有地雷155 位学生 A，B，C，D，E 参加一场比赛某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，结果没有猜对任何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次

16、(意即某两个人实际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也相邻，且先后顺序相同)；另一个人预测比赛结果为 DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两对相邻华杯赛小高组11的名次求这次比赛的结果第四讲 排列组合加法原理和分类计数法加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn种不同方法。分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类。乘法原

17、理和分步计数法 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn种不同的方法。合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数 相互独立 ；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。例 1、 在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A，B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有_种。例 2、用 1、 2、3、4、5

18、、 6、7、8、9 这九个数字能够组成_个没有重复数字的三位数。排列及组合基本公式1. 排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Pmn 表示. Pmn =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (规定 0!=1). n!(n-m)!2. 组合及计算公式 华杯赛小高组12从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不

19、同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 Cmn 表示.Cmn = Pmn /m!= 规定：C nn =1, C0n=1.n!(n-m)!m!一般当遇到 m 比较大时（常常是 m0.5n 时） ，可用 Cmn = Cn-mn 来简化计算。3. n 的阶乘(n!)n 个不同元素的全排列：Pnn=n!=n(n-1)(n-2)321分类：1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么,ABCDE,ABA不同的排法种数有（ ）A、60 种

20、B、48 种 C、36 种 D、24 种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相,CDEBA,B邻）那么不同的排法种数是（ ） A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种4.标号排位问题分步法:把元

21、素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种5.有序分配问题逐分法:有序分配指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量

22、的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有（ ）A、 种 B、 种 C、 种 D、 种4128C4128343128A1283CA6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？华杯赛小高组13（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种7.名额分配问题隔板法:例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例 8.（1）某高校从某系的 10 名

23、优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？（2）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9.（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这

24、两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？10.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 10.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？11.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例 11.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个

25、元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？华杯赛小高组1412.“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.例 12.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种13.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 13.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进

26、行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？14.圆排问题线排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序nn（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列： 在圆12323411,;,;,nnnaaa 排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的 元素全排列.!n 1例 14、5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？15.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置

27、的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同nm位置的排列数有 种方法.nm例 15.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？16.复杂排列组合问题构造模型法:例 16.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？18.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 18.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？华杯赛

28、小高组15AB19.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 19.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的线段相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的A最短路径有多少种？第五讲 容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。例 1

29、 ： 一 次 期 末 考 试 ， 某 班 有 15 人 数 学 得 满 分 ， 有 12 人 语 文 得 满 分 ，并 且 有 4 人 语 、 数 都 是 满 分 ， 那 么 这 个 班 至 少 有 一 门 得 满 分 的 同 学 有 多少 人 ？课练：有 100 位学生回答 A、B 两题.A、B 两题都没回答对的有 10 人，有75 人答对 A 题，83 人答对 B 题，问有多少人 A、B 两题都答对？例 2： 某 校 六 （ 1） 班 有 学 生 45 人 ， 每 人 在 暑 假 里 都 参 加 体 育 训 练 队 ，其 中 参 加 足 球 队 的 有 28 人 ， 参 加 排 球 队 的

30、 有 26 人 ， 参 加 游 泳 队 的 有24 人 ， 足 球 、 排 球 都 参 加 的 有 12 人 ， 足 球 、 游 泳 都 参 加 的 有 9 人 ， 排球 、 游 泳 都 参 加 的 有 8 人 ， 问 ： 三 项 都 参 加 的 有 多 少 人 ？华杯赛小高组16课练：（1）某班有 50 人，会游泳的有 27 人，会体操的有 18 人，都不会的有 15 人.问既会游泳又会体操的有多人？（2）某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有 4 个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？例 3： 在 1 到 10

31、00 的 自 然 数 中 ， 能 被 3 或 5 整 除 的 数 共 有 多 少 个 ？ 不能 被 3 或 5 整 除 的 数 共 有 多 个 ？课练：在 11000 这 1000 个自然数中，不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有多少个？例 4. 有 长 8 厘 米 ， 宽 6 厘 米 的 长 方 形 与 边 长 5 厘 米 的 正 方 形 。 如 图 放在 桌 面 上 ， 求 这 两 个 图 形 盖 住 桌 面 的 面 积 ？练习： 如图，三角形 ABC 的面积是 24 平方厘米，且 DC=2AD，E、F 分别是 AF、BC 的中点，那么阴影部分的面积是多少？华杯赛小高组172.相离问

32、题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种第六讲 列方程解应用题1、已知 3 个连续自然数的和是 51，求这三个连续自然数。2、连续的 5 个奇数的和是 45，这 5 个连续奇数分别是多少？3、篮球、足球和排球各 1 个，平均每个 20 元。篮球比排球贵 12 元，足球比排球贵 6 元，每个排球多少元？4、工程队挖一条涵洞，未挖的长度是已挖长度的 3 倍，如果再挖 30

33、0 米，未挖的长度就是已挖的 2 倍，这条涵洞长多少米？5、一艘轮船所带的燃料最多可用 9 小时，轮船从一码头顺流而下每小时可行150 千米，返回时逆流而上每小时行驶 120 千米，这艘轮船最多开出多少千米就必须返回？6、杭州到盐城两地相距 496 千米，货车从杭州开往盐城，每小时行 32 千米，货车开出半小时后，客车从盐城开往杭州，每小时行 64 千米，客车开出几小时后才能与货车相遇？华杯赛小高组187、鸡兔同笼，数头 10 只，数脚共 24 只，鸡兔各多少只？8、某农民养鸡若干只，已知鸡比兔多 13 只，鸡的脚比兔的脚多 16 只。问鸡和兔各有多少只？9、小虎在敌人窗前听到屋子里分子弹，有

34、一个人说：每人背 45 发，则多 680发；若每人背 50 发，还多 200 发，有多少敌人？多少发子弹？10、一个商人估计，假如 1 公斤苹果卖 1.2 元，就得赔 2 元，假如 1 公斤苹果卖 1.5 元，就可赚 4 元，他想快点出手，以不赔不赚的价格出卖，每公斤苹果应卖多少元？11、运输公司给某单位运送 200 只羊，按合同规定，每只羊的运费是 5 元，如果运输途中死亡一只羊，不但扣一只羊的运费，还要赔偿这个单位损失 40 元。运输公司结账时，得到运费 820 元，运输途中死亡几只羊？12、赵师傅从车站往吉林大学运送 20 台教学仪器，按规定每台运费是 15 元，如果损坏一台，扣除一台运

35、费，还要赔 80 元钱。由于运输途中出现交通事故，赵师傅不但没有得到运费，还赔给吉林大学 175 元。事故中损坏了几台教学仪器？13、李会计到银行取 10000 元钱。他只想要 20 元、50 元和 100 元面值的人民币，并且要求 20 元、50 元的张数同样多，总张数是 178 张，银行应如何付款？华杯赛小高组1914、有 10 分和 20 分的邮票共 18 张，总面值为 2.80 元。问 10 分和 20 分的邮票各有多少张？15、有一元，二元，五元的人民币共 50 张，总面值为 116 元，已知一元的比二元的多 2 张，问三种面值的人民币各多少张？16、有 3 元，5 元和 7 元的电

36、影票 400 张，一共价值 1920 元，其中 7 元和 5 元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？17、甲、乙两地的公路长 164 千米，小明和哥哥骑自行车同时从这两地出发，相向而行，小明每小时行 11 千米，哥哥每小时行 14 千米。行车途中，小明修车耽误 1 小时，然后继续行驶直到相遇，从出发到相遇经过几小时？18、小强和小亮商量，星期四早晨 8 点整出家门，相向走来，小强每分钟行 48米，小亮每分钟行 54 米。两人在距离中点 30 米相遇。他们两家之间的公路长多少米？19、李顺、李利结伴出去春游，每分钟走 50 米，出发 12 分钟时，李顺回家取照相机，然后骑自行车以每分钟 200

37、 米的速度赶李利。骑车多少分钟追上？20、金明从家步行到学校，他如果以每分钟走 50 米的速度，就会迟到 3 分钟，于是他以每分钟走 60 米的速度前行，结果到学校时离上课还有 2 分钟，金明家华杯赛小高组20距离学校多少米？21、甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，相向而行，在距 A 地 800 米的地方相遇。相遇后两人继续向前走，走到对方的出发地点后，立即沿原路返回，在距B 地 300 米的地方相遇。A、B 两地之间的公路长多少米？22、一艘船从甲码头顺流而下再逆流返回，打算在 6 小时内回到甲码头，这艘船在静水中的速度是每小时 12 千米，水流速度是每小时 2 千米，这艘船最多走出多少千

38、米就必须返回？23、数学竞赛有 10 道题，这次比赛评分规定对 1 题得 10 分。错 1 题倒扣 2 分。李玲回答了全部 10 道题，结果只得 76 分。她答错了几道题？24、学校组织春游，一共用 10 辆客车，已知大客车每辆坐 100 人，小客车每辆坐 60 人。大客车比小客车一共多坐了 520 人。问大、小客车各几辆？25、五年级一班学生去公园划船，如果每条船坐 4 人，则少一条船，如果每条船坐 6 人，则多出 4 条船，公园里有多少条船？五年级一班有多少学生？26、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克 0.4 元，小的每千克 0.3 元，这样卖这批西瓜共值 290 元，如果每千克西瓜

39、降价 0.05 元，这批西瓜只能卖250 元，问：有多少千克大西瓜华杯赛小高组21%25180xy10432yx105yx27、两个水池共蓄水 40 吨，甲池注进 4 吨，乙池放出 8 吨，甲池与乙池水的吨数相等，两个水池原来各蓄水多少吨？ 第七讲 不定方程 求两个未知数方程与多个未知数方程组的自然数解的方法： 解不定方程的 4 个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解本讲讲解顺序： 包括 1、2、3 题 包括 4、5 题 包括 6、7 题复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程方程 的自然数解有哪些？解方程组：841在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的

40、商恰好是 4 的数有多少个?2设 A 和 B 都是自然数，并且满足 ,那么 A+B 等于多少? 173AB华杯赛小高组223甲级铅笔 7 角钱一支，乙级铅笔 3 角钱一支张明用 5 元钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?4有纸币 60 张，其中 1 分、l 角、1 元和 10 元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是 100 元?5.将一根长为 374 厘米的合金铝管截成若干根 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米?6某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且每三名职工带一个孩子参加男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 1

41、0 棵树，每个孩子种6 棵树，他们一共种了 216 棵树那么其中有多少名男职工?7一居民要装修房屋，买来长 0.7 米和 O.8 米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4 米，0.7+0.8=1.5 米那么在 3.6 米、3.8 米、3.4 米、3.9 米、3.7米这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?8.小萌在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了 1 元 2 角 2 分那么小萌寄的这 3 种信的总和最少是多少封? 华杯赛小高组239.有三堆砝码，第一堆中

42、每个砝码重 3 克，第二堆中每个砝码重 5 克，第三堆中每个砝码重 7 克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为 130克那么共需要多少个砝码?其中 3 克、5 克和 7 克的砝码各有几个?103 种商品的价格如表，其中的单位是元现用 60 元钱恰好买了 10 件商品，那么有多少种不同的选购方式?11有 43 位同学，他们身上带的钱从 8 角到 5 元，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3 角一张和 5 角一张每 11 人都尽量多买 5 角一张的画片问他们所买的 3 角画片的总数是多少张? 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和

43、 ”试将 168 表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是 113(1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个华杯赛小高组24最大质数是多少?(2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?14有 30 个贰分硬币和 8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成的 1 分到 1 元之间的币值有多少种?15小明买红、蓝两支笔，共用了 17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用 35 元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把 35 元恰好用完那么红笔的单价是多少元?巩固练习：

44、1庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，每 29 个小和尚每天共吃 11 个馒头.平均每个和尚每天恰好吃 1 个馒头，问：庙里至少有多少个和尚2小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了 15 天，它们并不是，每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫 61 声问：波斯猫至少叫了多少声?华杯赛小高组253 张邱建算经百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?第八讲 最大公约数和最小公倍数一

45、、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12 的约数有：1，2，3，4，6，12；18 的约数有：1，2，3，6，9，18。12 和 18 的公约数有：1，2，3，6.其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，18 的倍数有：18，36，54，72，90，12 和 18 的公倍数有：36，72，.其中 36 是 12

46、和 18 的最小公倍数，记作12，18=36。3.互质数如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。性质 1：如果 a、b 两数的最大公约数为 d，则 a=md,b=nd,并且（m,n）=1。例如：（24,54）=6,24=46,54=96， （4,9）=1。性质 2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a 与 b 的最小公倍数a,b是 a 与 b 的所有倍数的最大公约数，并且ab=a,b（a,b） 。例如：（18，12）= ，18，12= （18，12）18，12=求法：1、短除法 2、辗转相减法二、例题华杯赛小高组26例 1 用一个数去除 30、60、75，都

47、能整除，这个数最大是多少？例 2 一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？例 3 求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？例 4 求 21672 和 11352 的最小公倍数。例 5 有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例 6 38 名工人，加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配

48、几个工人？例 7 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶；平均每 2个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 人饮用一瓶 B 饮料，每 4 人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少人？例 8 一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？华杯赛小高组27例 9 两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？例 10 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？巩 固 练 习1.拖拉机前轮周长 64 厘米，后轮周长 96 厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2.现在有香蕉 42 千克，苹果 112 千克，桔子 70 千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、有一盘水果，3 个 3 个地数余 2 个，4 个 4 个数余 3，5 个