1、分式运算中的技巧与方法通分一、 整体通分法 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解例 1化简：21a-a-1=2-(a+1)= 21a- ()=2(1)a= a二、 逐项通分法1ab- - 2b- 34a= 2()ba- 2b- 34a= 2b- 2a- 34b=224()()ab-34b=34-34b=0= =4211aa 8-1a 分组计算技巧 + - - =（ - ）+（ - ）= + =21a12a2121a12a42a12a)1)(4(2a= 34x123x12x1223、 先约分，后通分 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值 26a+24a= (6)2a+ 2()a
2、= 6+ 2a= 4=2+ = + = + =2312x42x )2)(1(x)2)(x21xx21x= =132a 12a= =122222 )()()( bacbcab四、化简：分子分母次数，先化简- - = - -232x6572x3412x231)(2xx 651)(2xx 3412x=1+ -1- - = - - =2312x6512x3412x)2)(1(x)3)(2(1x)3)(1(x )3)(2)(1(xx裂项相消技巧 利用 = （ - ）1)(1nn)(1mn1nm1+ + =（ - ）+ （ - ）+ （ - =)1(x)3)(1(2x)6)(3(xx121x3x31x6x
3、)6(x= =301209276522 xxxx 12842x)3(21)(1)()1( xxx.= = = =)(b-a)(a-c)(c-bcba ca2cabcab1)(-求证： cbacbab12222 把未知数当成已知数法1、已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 22abc解：把 c 当作已知数，用 c 表示 a,b 得,a=3c, b=2c 22abc= 14= .2、 若 ?2ax3,102,7b-a3byxy求1723ax,23102;3,7-a byyxyxb代 入设值代入1、已知 ，求证：czbyax2axcbazyx【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到
4、 ， ，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。byxacz当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设 cy则（1） ，xabycz（2）设 则 x=ak y=bk z=ckkc（3）设 则 其中 则 x=ak y=bk z=ckzbyaxkcbazyx0cba代入得 = = =czk2kc2ax2、 已知 ba= = b，计算： ()()aba解：设 c= b= ac=k，则 b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这 3 个等式相加得 2(a+b+c)= (a+b+c)k若 a+b+c=0，a+b= -c, 又a+c=bk 则 k= -1 若 a+b+c0，则 k=2, ()(
5、)abca= kbc=k3 所以当 k=-1 时，原式= -1 / 当 k=2 时，原式= 83、若 值求且 zyxzyx,14,13z5y48x14,513,4,38,5438 zyxkzykx代 入K=4,x=4,y=3,z=7巧用 x+ ：对于含有 x+ 的式子，要注意： x1x1 21)(2xx 4)1()(22xx 已知 x2-3x+1=0，求 x2+ 的值。1解：由 x2-3x+1=0，两边同除以 x（x0），得 x-3+ =0，即 x+ =3 所以 x2+ =（x+ ） 2-2=32-2=7 x1x11x1 已知 a2-5a+1=0，计算 a4+ 1 如果 6x,1x求 ，且 ，
6、求 y 值 y=-3 或 y=2 y1x已 知 01423x巧用倒数 如果 m0，n0，mn,mxn,那么他们的倒数关系 ，n1m n1x1、已知 a2-3a+1=0，求 的值。 解：由已知得 a+ =3 所以 =a2+ =（a+ ） 2-2=32-2=7 =142aa14a142a72、 已知 a2-3a+1=0，求 的值。363、设 ，求 s 的整数部分. 设 192190 m192190 所以 199)(19019项有 m .4、 解方程组 三式相加 A+B+C= 4362caba 341c62baa34612ACB655、已知 + = ， + = ， + = ，求 的值。1b619ac
7、15b= =bcaa13806、比较大小：求证 31巧用因式分解例 1 已知 a+b+c=0，计算2abc+2+2cab解: a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b 2a 2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)2abc+2+2cab=2 (-)c+2b(-)a+ c(-)b=2a (-)c- b()+2c(-a)b=222()()ac=222()()cb=2a()()cb=2()(bcbc= ()()ac=1例 2 已知 + =4，则 = 。a1bba324
8、解：解法 1：通过分解因式可得到用 a+b 与 ab 的表达式，然后将 a+b 用 ab 代换即可求出所求式的值。由已知得 =4 a+b=4ab = = =-abba324ab2)(3ab243109解法 2： 还可以将所求式分子、分母同除以 ab 得到 = 然后将已知式代入求值。2ab2)1(b )4120()41(293444 84125132)4)(214)(2)(1( 332 2 19763195)84(20-42）（整体代入法1、已知 x+ y=5 求 25xy的值)()()()( 2224 xxxxx解法 1： x+ y=5xy0,.所以分子分母同xy 25xy=251x=1()5
9、2y= = 57解法 2：由 x+ 1y=5 得， xy=5, x+y=5xy 25xy= 2()5xy= 52xy= 7=2、若分式 的值为 ，则 的值为（ ）732y41261y解：由已知 = 得 2y2+3y+7=8 2y2+3y=1，4y 2+6y=2 所以 = =12 1642y3、已知 ?1,01232 xx45322323 xx 45)1(3)1(22 xx=5x+4 由已知得 x1,2= 代入后2524、已知 ?132,0242 xxx求5、证明：若 a+b+c=0,则 222221110.bcabac用 a=-b-c 代入 中的 a，得到-2bc 用 b=-a-c 代入 中的
10、 b，得到-2ac 原式=22c 02121abcacb用 c=-a-b 代入 中的 c，得到-2ab 22a6、已知：xyz0,x+y+z=0,计算 yzx+ yz yzx+ + xyz=-3.7、已知 b=a+1,c=a+2,d=a+3,求 的值.dacbad【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替：a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3=dacbad 321213 aaa= = = =26312 )()(351、先化简代数式 ,然后选取一个合适的 值,代入求值.2a41a解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选
11、取的 的值不但要使原a式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式= = .由题知, 的值不能取 2 和-2,所以当 =0 时,原式=4.)4()2(2aa 4)2()(aa2、在解题目：“当 时，求代数式 的值”时，聪聪认为 只要任取一个使原式有意19x2241xxx义的值代入都有相同结果你认为他说的有理吗？请说明理由解：聪聪说的有理2241xx2()1()xx1x只要使原式有意义，无论 取何值，原式的值都相同，为常数 1说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.3、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题12 123 134若 111.357(2
12、)n的值为 1735，求 n的值解： 111.357(2)n= )715(2)31()(2+ + )12(n= )12(n= 由 1= 357 解得 17 经检验 1n是方程的根， 17n4、错在以偏概全 为何值时，分式 有意义？错解当 ，得 .当 ，原分式有意义.解析上述解法中只考虑分母 ，没有注意整个分母， 犯了以偏概全的错误.正解 ，得 ，由 ，得 .当 且 时，原分式有意义.5、错在计算去分母 计算 .错解原式 = .解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解原式 .6、已知： ，求分式 的值.13ab23ab【解析】如果用字母代入法，要用 b 代替
13、a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式，得 ，再将分式稍化简变为 ，可以发现分子分母中只有(a-b)和 ab 这两3ab)(32项，所以可以用 ab 代替 b-a ab 436)( abab7、已知 a+b+c=0,a+2b+3c=0,且 abc0 ，求 的值.2abc这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组a+b+c=0 b=-2c=a+2b+3c=0 a=c/8、已知： ，求 的值.286250ab2264ab【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式其中 所以 =0 =00)3()4(256822
14、2 baba 0)4(2a0)3(2b2)4(a2)3(b得 再带入原式很容易求出解。 3,4已知 求证,0.xyzyabcabz且 abcx2/9、 【 解析】已知条件是 的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将 改写成 的形式，yx yxyxa11使得 x、y 相互独立，简化已知条件。写出变化后的形式 ， ，yxa1zxbzyc= 所以 = 则 ，得证。xzyxzyc2)1()1(bacx2ababcx2/10、已知 ，且 a、b、c 互不相等，求证：cba 12ba【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用 a 表示 b、c，能不能求出 b、c 的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。这道题条件形式不复杂，分为整式和分式，将整式，分式归类： ，可以发现分式形式大致消失了，bca1剩下的是加减形式(a-b)、(b-c) 和乘积形式 bc 将能从已知条件得到的关系列出来左边和左边相乘，右边和右边相乘 ，bcaacb 2)()()()( cbaca所以 1211、 三元平方公式 原式=122,0a, czbyaxzcybxczbyax 求12、 abc=1,求 原式=111bc13、已知 13 ，求 223654yx
