1、15 微分概念及其性质1 微分概念 微分概念微分概念微分概念2 微分的几何意义 微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义3 微分对于近似计算的应用 微分对于近似计算的应用微分对于近似计算的应用微分对于近似计算的应用4 微分运算法则 微分运算法则微分运算法则微分运算法则函数的函数的函数的函数的 微分微分微分微分既不既不既不既不 微小微小微小微小 、 、也不 也不也不也不 细分细分细分细分 的微分的微分的微分的微分 .什么是什么是什么是什么是 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分 ？ ？微分有什么意义 微分有什么意义微分有什么意义微分有什么意义 ？ ？首先从线性函数谈起首先从线性函数谈起首先
2、从线性函数谈起首先从线性函数谈起 什么是是什么是是什么是是什么是是 线性函数线性函数线性函数线性函数 ？ ？.的线性函数的线性函数的线性函数的线性函数称为称为称为称为 xaxy =O xyxy 21=xy 3=xy 2=线性函数就是线性函数就是线性函数就是线性函数就是， ，为自变量为自变量为自变量为自变量如果以如果以如果以如果以 xxay =这是世界上最简单的一类函数这是世界上最简单的一类函数这是世界上最简单的一类函数这是世界上最简单的一类函数 它们的图形是通过原点的直线它们的图形是通过原点的直线它们的图形是通过原点的直线它们的图形是通过原点的直线 微分概念的引出微分概念的引出微分概念的引出微
3、分概念的引出,)()( 00 xfxxf 存在导数存在导数存在导数存在导数在点在点在点在点假设假设假设假设0 0( ) ( ) .x f x x f x x 的的的 的线 线线 线性 性性 性函 函函 函数 数数 数 称 称称 称为 为为 为 在 在在 在点 点点 点 的 的的 的微 微微 微 分分分 分0d ( ) .f x f x x 0( )=记作记作记作记作)( 0xx =其中其中其中其中.dxx记作记作记作记作习惯上将习惯上将习惯上将习惯上将 0( )f x x因因因 因 此此此 此 在 在在 在点 点点 点 的 的的 的微 微微 微分 分分 分就 就就 就 是是是 是0d ( )d
4、 .f x f x x0( )=“ “微分 微分微分微分 ” ”有些什么特质 有些什么特质有些什么特质有些什么特质 ， ，以至于人们如此钟情 以至于人们如此钟情以至于人们如此钟情以至于人们如此钟情 ？ ？这要从这要从这要从这要从 函数的增量函数的增量函数的增量函数的增量 说起说起说起说起 ， ，时时时 时有增量有增量有增量有增量当当当 当， ，处处处 处在点在点在点在点 xxx 0)()()( 00 xfxxffxf +=产生相应的增量产生相应的增量产生相应的增量产生相应的增量函数函数函数函数0d ( )f x f x x 0微微微 微分 分分 分 ( )=( )= 的的的 的重 重重 重要
5、要要 要意 意意 意义 义义 义在 在在 在 于于于 于0( )f x x 用用用 用微 微微 微分 分分 分 近 近近 近似 似似 似地 地地 地代 代代 代替 替替 替函 函函 函数 数数 数增 增增 增 量量量 量0 0( ) ( ) .f f x x f x = + ， ，很小时很小时很小时很小时当当当 当 x可以取得很好的近似效果可以取得很好的近似效果可以取得很好的近似效果可以取得很好的近似效果 这个事实解释如下这个事实解释如下这个事实解释如下这个事实解释如下 ： ：考察函数增量与函数微分之差考察函数增量与函数微分之差考察函数增量与函数微分之差考察函数增量与函数微分之差 ： ：0 0
6、 0 0d ( ) ( ) ( ) ( ) .f f x f x x f x f x x = = + 00 0d ( )lim limx xf f xx x = 0 0 00( ) ( ) ( )lim 0 .xf x x f x f x xx + = =这就是说这就是说这就是说这就是说 ， ，时时时 时当当当 当 0x0( ) .f f x x x = 和和和 和 相 相相 相比 比比 比较 较较 较是 是是 是高 高高 高阶 阶阶 阶无 无无 无穷 穷穷 穷 小小小 小0 0 0( ) ( ) d ( ) .f f x x f f x x f x = + = +x 由由由 由 于于于 于
7、是 是是 是 的 的的 的高 高高 高阶 阶阶 阶无 无无 无穷 穷穷 穷小 小小 小 ， ，上式可以写成上式可以写成上式可以写成上式可以写成0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .f f x x f x f x x o x = + = + 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .f f x x f x f x x o x = + = + 由此得到计算函数增量的一个近似公式由此得到计算函数增量的一个近似公式由此得到计算函数增量的一个近似公式由此得到计算函数增量的一个近似公式 ： ：0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x+ 或者或者或者或者0 0 0( ) (
8、 ) ( ) .f x x f x f x x+ + 0d ( )f x f x x 0微微微 微分 分分 分 ( )=( )= 的的的 的特 特特 特点 点点 点 ： ：1. 特别简单特别简单特别简单特别简单 ： ：是线性函数 是线性函数是线性函数是线性函数 2. 非常有用非常有用非常有用非常有用 ： ：能很近似地表示函数增量 能很近似地表示函数增量能很近似地表示函数增量能很近似地表示函数增量 世界上最美好的事情就是世界上最美好的事情就是世界上最美好的事情就是世界上最美好的事情就是 ： ： 既简单又好用既简单又好用既简单又好用既简单又好用 20 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .f f
9、 x x f x f x x o x = + = + 0( ).f x xf 函函函 函 数数数 数微 微微 微分 分分 分是是是 是函 函函 函数 数数 数增 增增 增量 量量 量 主 主主 主要 要要 要部 部部 部分 分分 分、 、 、线 线线 线性 性性 性部 部部 部 分分分 分00 0d ( )( ) ( ) .f f x xf f x x f x= = + 函函函 函 数数数 数微 微微 微分 分分 分是是是 是函 函函 函数 数数 数增 增增 增量 量量 量 的 的的 的线 线线 线性 性性 性主 主主 主 部部部 部函数的函数的函数的函数的 “ “ 可导可导可导可导 ” ”与
10、 与与 与“ “ “ 可微可微可微可微 ” ”是同一个含义 是同一个含义是同一个含义是同一个含义 对于某个函数进行微分对于某个函数进行微分对于某个函数进行微分对于某个函数进行微分 ， ，就是求它的导数 就是求它的导数就是求它的导数就是求它的导数 小小小小结结结结0( ) :f x x在在在 在点 点点 点 处 处处 处的 的的 的微 微微 微 分分分 分 0d ( )d .f x f x x0( )=特征特征特征特征 ： ：;x a x 1.微微微 微分 分分 分是 是是 是 的 的的 的线 线线 线性 性性 性函 函函 函数 数数 数： ： ： 0( ) .a f x=;f2.微微微 微分
11、分分 分是 是是 是函 函函 函数 数数 数增 增增 增量 量量 量 的 的的 的主 主主 主要 要要 要部 部部 部 分分分 分0 0 0( ) ( ) ( )d ( ) .f f x x f x f x x o x = + = + 4 .f.相相相 相对 对对 对于 于于 于函 函函 函数 数数 数增 增增 增量 量量 量 ， ， ，微 微微 微分 分分 分很 很很 很容 容容 容易 易易 易计 计计 计 算算算 算3 x.当当当 当 很 很很 很小 小小 小时 时时 时， ， ，微 微微 微分 分分 分可 可可 可以 以以 以作 作作 作为 为为 为函 函函 函数 数数 数增 增增 增量
12、 量量 量的 的的 的近 近近 近似 似似 似值 值值 值 ， ，近似效果很好近似效果很好近似效果很好近似效果很好 ： ： 0( ) ( ) .f f x x o x = x因因因 因 此此此 此当 当当 当 很 很很 很小 小小 小时 时时 时， ， ，下 下下 下述 述述 述近 近近 近似 似似 似计 计计 计算 算算 算公 公公 公式 式式 式非 非非 非常 常常 常有 有有 有意 意意 意义 义义 义 ： ：0 0 0( ) ( ) ( ) .f f x x f x f x x = + 6.微微微 微分 分分 分的 的的 的直 直直 直观 观观 观意 意意 意 义义义 义5.微微微 微
13、分 分分 分的 的的 的最 最最 最核 核核 核心 心心 心的 的的 的意 意意 意义 义义 义在 在在 在于 于于 于 ： ： x当当当 当 很很很 很小 小小 小时 时时 时 ， ，0( )x f x x 可可可 可以 以以 以用 用用 用 的 的的 的线 线线 线性 性性 性函 函函 函数 数数 数 近 近近 近似 似似 似地 地地 地代 代代 代替 替替 替函 函函 函数 数数 数增 增增 增 量量量 量0 0( ) ( ) .f f x x f x = + 这个事实称为函数的这个事实称为函数的这个事实称为函数的这个事实称为函数的 局部线性化局部线性化局部线性化局部线性化 0 0 0
14、0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f f x f x x f x= + = + + 它的图像是一条曲线它的图像是一条曲线它的图像是一条曲线它的图像是一条曲线 .)(xfy =xO)(xfy =yydy0x xx +00P0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f f x f x x f x= + = + + 0 0 0( ) ( ) ( )f f x f x x f x = + + 将将将 将其 其其 其中 中中 中的 的的 的 改 改改 改成 成成 成微 微微 微分 分分 分 ， ，得到另一个函数得到另一个函数得到另一个函数得到另一个
15、函数0 0 0 0( ) d ( ) ( ) ( ) .y f x f x f x f x x= + = + .)()(,( 000 的直线的直线的直线的直线斜率等于斜率等于斜率等于斜率等于、 、它的图像是经过点它的图像是经过点它的图像是经过点它的图像是经过点 xfxfx 0 0( , ( )x f x在在在 在点 点点 点 附 附附 附近 近近 近 ， ，.直直直 直线 线线 线与 与与 与曲 曲曲 曲线 线线 线非 非非 非常 常常 常接 接接 接 近近近 近.可可可 可以 以以 以用 用用 用直 直直 直线 线线 线近 近近 近似 似似 似地 地地 地代 代代 代替 替替 替曲 曲曲 曲
16、 线线线 线这称为这称为这称为这称为 “ “ 以直代曲以直代曲以直代曲以直代曲 ” ” 3 微分对于近似计算的应用 微分对于近似计算的应用微分对于近似计算的应用微分对于近似计算的应用0 0 0( ) ( ) ( ) .f f x x f x f x x = + 或者或者或者或者xxfxfxxf + )()()( 000当当当 当 x0=0 时时时 时 ,对于下列函数应用上述近似计算公式对于下列函数应用上述近似计算公式对于下列函数应用上述近似计算公式对于下列函数应用上述近似计算公式)1ln( x+ xsin 31)1( x+就得到这些函数在点就得到这些函数在点就得到这些函数在点就得到这些函数在点
17、 x0=0的改变量的近似公式的改变量的近似公式的改变量的近似公式的改变量的近似公式 :31)1(31 xx +xx sinxx + )1ln(5 240求求求 求 的 的的 的近 近近 近似 似似 似值 值值 值 .5155 )24331(33243240 =解解解 解,)1(3)( 51xxf +=考察函数考察函数考察函数考察函数,3)0( =f,00 =xxffxf + )0()0()( x+= 5332433=x近似公式近似公式近似公式近似公式53)0( =f99259.2)2433(533 +=计算得到计算得到计算得到计算得到 :例例例 例34 微分运算法则 微分运算法则微分运算法则微
18、分运算法则0 0d ( ) ( )d .f x f x x=因为有了公式因为有了公式因为有了公式因为有了公式所以只要计算函数的导数所以只要计算函数的导数所以只要计算函数的导数所以只要计算函数的导数 ， ，就得到函数的微分 就得到函数的微分就得到函数的微分就得到函数的微分 因此原则上不需要再研究微分的运算法则因此原则上不需要再研究微分的运算法则因此原则上不需要再研究微分的运算法则因此原则上不需要再研究微分的运算法则 但是为了使用方便但是为了使用方便但是为了使用方便但是为了使用方便 ， ，下面列出几个运算公式 下面列出几个运算公式下面列出几个运算公式下面列出几个运算公式 ： ： ( ) ( )f
19、x g x )()()()( xgxfxgxf +=)(d)()(d)()()(d xgxfxfxgxgxf +=)()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxf =2( ) ( )d ( ) ( )d ( )d( ) ( )f x g x f x f x g xg x g x = .dddddd xuuyxy =uuyy dddd = dd ddyy xx=d dd d .d dy uy xu x= 微分概念的等价表述微分概念的等价表述微分概念的等价表述微分概念的等价表述问题背景问题背景问题背景问题背景.0 xxx 处有微小增量处有微小增量处有微小增量处有微小增量在点在点在点在点假
20、设自变量假设自变量假设自变量假设自变量?)()( 00 xfxxff +=如何计算函数增量如何计算函数增量如何计算函数增量如何计算函数增量一般情形一般情形一般情形一般情形 ， ，这个问题可能比较复杂 这个问题可能比较复杂这个问题可能比较复杂这个问题可能比较复杂 .)( 体表达式体表达式体表达式体表达式比较复杂比较复杂比较复杂比较复杂 ， ，甚至没有具 甚至没有具甚至没有具甚至没有具因为因为因为因为 xf： ：的近似值的近似值的近似值的近似值作为作为作为作为的一个线性函数的一个线性函数的一个线性函数的一个线性函数能否用能否用能否用能否用 fxax 0 0( ) ( ) .f f x x f x
21、a x = + 使得能够达到最好的近似效果使得能够达到最好的近似效果使得能够达到最好的近似效果使得能够达到最好的近似效果 ？ ？这里所说的最好效果这里所说的最好效果这里所说的最好效果这里所说的最好效果 ， ，就是 就是就是就是.0lim0= xxafx也就是说也就是说也就是说也就是说 ， ，a x f f a x 用用用 用 作 作作 作为 为为 为 的 的的 的近 近近 近似 似似 似值 值值 值所 所所 所产 产产 产生 生生 生的 的的 的误 误误 误差 差差 差， ，时时时 时当当当 当 0x.相比较是高阶无穷小相比较是高阶无穷小相比较是高阶无穷小相比较是高阶无穷小和和和 和 x， ，
22、时时时 时当当当 当 0x或者说或者说或者说或者说 ， ，a x f 用用用 用 作 作作 作为 为为 为 的 的的 的近 近近 近似 似似 似值 值值 值所 所所 所产 产产 产生 生生 生的 的的 的相 相相 相对 对对 对误 误误 误差 差差 差趋 趋趋 趋向 向向 向于 于于 于零 零零 零 .1， ，式成立式成立式成立式成立使得使得使得使得如果存在常数如果存在常数如果存在常数如果存在常数 1a.)( 0 可微可微可微可微在点在点在点在点则称则称则称则称 xxf0x a x f x 此此此 此时 时时 时称 称称 称 的 的的 的线 线线 线性 性性 性函 函函 函数 数数 数 为 为为 为 在 在在 在点 点点 点 处 处处 处的 的的 的微 微微 微分 分分 分 ： ：xaxf =)(d 0定理定理定理定理0( )f x x在在在 在点 点点 点 可 可可 可微 微微 微的 的的 的充 充充 充分 分分 分必 必必 必要 要要 要条 条条 条件 件件 件 是是是 是0( )f x x在在在 在点 点点 点 可 可可 可导 导导 导 .0( ) ,f x当当当 当 存存存 存在 在在 在时 时时 时 有有有 有0 0d ( ) ( )d .f x f x x=
