1、第 20 卷 第 1 期 大 学 数 学 V o l. 20, . 12004 年 2 月 COLL EGE M A TH EM A T ICS Feb. 2004广 义 特 征 向 量 几 种 算 法 的 比 较黄 力 民(中 国 计 量 学 院 数 学 系 , 杭 州 310034)关 于 求 一 个 矩 阵 Jo rdan 标 准 型 的 变 换 矩 阵 问 题 须 计 算 矩 阵 的 广 义 特 征 向 量 , 目 前 常 见 的 矩 阵 理 论教 材 中 有 下 述 两 种 方 法 . 下 设 A 是 n n 阶 矩 阵 , K是 A 的 某 特 征 值 , 其 代 数 重 数 为
2、r, 几 何 重 数 为 s 且r s.方 法 1 由 方 程 (A - KI) x= 0 解 出 A 的 特 征 向 量 p , 由 (A - KI) x= p 解 出 第 一 个 广 义 特 征 向 量 q, 这里 的 p 不 能 是 任 一 特 征 向 量 而 应 是 A 的 K特 征 子 空 间 内 使 方 程 (A - KI) x= p 有 解 的 那 一 个 . 设 A 的 K特 征 子 空 间 的 基 是 p 1, p 2, , p s, 当 s 1 时 正 确 的 说 法 是 : 通 过 选 择 系 数 k 1, k 2, , k s 由 方 程 (A - KI) x= k 1
3、p 1+ k 2p 2+ + k sp s 解 出 第 一 个 广 义 特 征 向 量 q.教 材 1, 2, 3, 4 均 采 用 本 解 法 , 解 法 在 理 论 上 严 格 成 立 , 但 显 然 实 际 的 计 算 较 繁 . 而 且 方 程 (A - KI)x= p 在 有 解 时 必 定 是 无 穷 多 解 , 选 择 哪 一 个 作 为 q 才 能 由 方 程 (A - KI) x= q 解 出 第 二 个 广 义 特 征 向 量呢 ? 类 似 的 问 题 将 会 一 再 地 出 现 , 除 教 材 2 外 1, 3, 4 也 未 就 此 作 出 说 明 .教 材 5 未 提
4、及 方 程 (A - KI) x = p 可 能 无 解 的 问 题 , 该 书 所 举 例 恰 好 也 只 限 于 s= 1 的 情 形 . 教 材7 考 虑 到 方 程 (A - KI ) x = p 可 能 无 解 的 问 题 , 但 不 是 用 上 述 待 定 k i 的 办 法 , 而 是 要 求 p 同 时 满 足(A - KI) x= 0 与 B x= 0, 这 里 矩 阵 B 由 方 程 B (A - KI) x= O 确 定 (顺 便 指 出 7 p. 83 例 4 的 一 处 错 误 : 在解 方 程 (A - KI) x= p 时 得 到 的 解 集 合 不 能 是 子
5、空 间 ) , 这 在 实 际 计 算 方 面 与 表 达 方 式 方 面 都 使 问 题 更 加复 杂 .方 法 2 由 方 程 (A - KI) x= 0 解 出 A 的 特 征 向 量 p , 由 方 程 (A - KI) 2x= 0 解 出 A 的 第 一 个 广 义 特征 向 量 q 等 等 , 教 材 6 采 用 此 法 . 但 本 解 法 有 可 能 发 生 错 误 的 结 果 : 虽 然 式 (A - KI) (A - KI) q = 0 表明 (A - KI) q 是 A 的 特 征 向 量 , (A - KI) q 却 不 一 定 等 于 p , 也 就 是 关 系 式 A
6、 q= Kq+ p 可 能 不 成 立 . 例如 6 第 4 章 例 22 (p. 135) :A =0 0 0 41 0 0 - 40 1 0 - 30 0 1 4, K= 2, 2, 1, - 1.对 于 特 征 值 2 已 得 特 征 向 量 A1= (2, - 1, - 2, 1) T , 但 在 解 (A - 2I) 2x= 0 时 称 “ 可 选 A2= (- 1, 0, 1, 0) T ”( 6 p. 137 第 4 行 )是 不 妥 的 , 因 为 若 取 A2= (0, 1, 0, - 1) T 也 是 (A - 2I) 2x= 0 的 解 , 却 使 A A2= 2A2+
7、A1不 成 立 . 此 处 应 改 为 “ 在 (A - 2I) 2x= 0 的 解 中 选 取 A2= (- 1, 0, 1, 0) T 以 使 等 式 A A2= 2A2+ A1 成 立 ” .鉴 于 以 上 两 种 解 法 均 有 缺 陷 , 本 文 提 出 一 种 较 好 的 解 法 :仍 设 A 是 n n 阶 矩 阵 , K是 矩 阵 A 的 某 特 征 值 , 其 代 数 重 数 为 r、 几 何 重 数 为 s 且 r s, K对 应 的Jo rdan 块 最 大 阶 数 是 n1 (可 根 据 关 系 式 rank (A - KI) n1 = rank (A - KI) n1
8、+ 1确 定 矩 阵 A 关 于 K的 Jo rdan块 最 大 阶 数 n1) , 则 有 rank (A - KI) n1= n- r. 矩 阵 A 关 于 K的 全 部 特 征 向 量 、 广 义 特 征 向 量 都 属 于 方 程(A - KI) n1x= 0 的 解 空 间 , 因 而 它 们 也 是 该 解 空 间 的 基 .收 稿 日 期 2002209227第 一 步 求 方 程 (A - KI) n1x= 0 的 解 , 记 为 p 1= k 1x1+ k 2x 2+ + k sxs;第 二 步 依 次 计 算p 2= (A - KI) p 1, p 3= (A - KI)
9、p 2, , p n1= (A - KI) p n1- 1. (1)计 算 中 保 持 每 个 p i 均 表 示 为 s 个 列 向 量 的 线 性 组 合 , 即p i= k 1 (A - KI) i- 1x 1+ k 2 (A - KI) i- 1x2+ + k s (A - KI) i- 1xs.以 下 称 这 s 个 列 向 量 的 组 为 对 应 于 p i 的 向 量 组 ;第 三 步 非 零 的 p n1是 矩 阵 A 属 于 K的 特 征 向 量 , p n1- 1, , p 1 是 广 义 特 征 向 量 , 其 组 数 或 n1 阶Jo rdan 块 的 个 数 是 对
10、应 于 p n1的 向 量 组 的 秩 数 , 将 对 应 于 p n1的 向 量 组 中 最 大 线 性 无 关 组 之 一 向 量 的 系数 取 为 1 其 余 k i 值 均 取 0, (1) 式 便 给 出 了 对 应 于 n1 阶 Jo rdan 块 的 一 组 特 征 向 量 、 广 义 特 征 向 量 , 其 余各 组 (若 有 的 话 )可 类 似 获 得 ;第 四 步 在 p n1的 表 达 式 中 取 不 全 为 零 的 k i 使 p n1 = 0, 在 这 组 k i 值 下 计 算 p n1- 1, 若 p n1- 1 0, 则p n1- 1也 是 矩 阵 A 属 于
11、 K的 特 征 向 量 , 类 似 于 第 三 步 求 出 对 应 于 (n1- 1) 阶 Jo rdan 块 的 一 组 或 几 组 特 征向 量 、 广 义 特 征 向 量 ; 若 p n1- 1= 0 但 p n1- 2 0 则 应 计 算 对 应 于 (n1- 2) 阶 的 Jo rdan 块 的 特 征 向 量 、 广 义特 征 向 量 , 依 此 类 推 . 最 后 , 使 p 2= 0 的 不 全 为 零 的 k i 值 代 入 p 1 表 达 式 得 到 对 应 于 一 阶 Jo rdan 块 的 (一个 或 几 个 )特 征 向 量 .例 1(6 , p. 135例 22)
12、A =0 0 0 41 0 0 - 40 1 0 - 30 0 1 4, K= 2, 2, 1, - 1.解 解 方 程 (A - 2I) 2x= 0, 得p 1= k 1 (- 1, 0, 1, 0)T + k2 (0, - 1, 0, 1)T.计 算p 2= (A - 2I) k 1 (- 1, 0, 1, 0)T + k2 (0, - 1, 0, 1)T = k1 (2, - 1, - 2, 1)T + k2 (4, - 2, - 4, 2)T ,取 k 1= 0, k 2= 1, 得 特 征 向 量 p 2= (4, - 2, - 4, 2) T 及 广 义 特 征 向 量 p 1=
13、(0, - 1, 0, 1) T , 或 者 取 k 1= 1,k 2= 0, 得 特 征 向 量 p 2= (2, - 1, - 2, 1)T 及 广 义 特 征 向 量 p1= (- 1, 0, 1, 0)T.例 2(1 , p. 15例 119之 (2) ) A =3 1 - 1- 2 0 2- 1 - 1 3, K= 2, 2, 2.解 由 于 (A - 2I) 2= O , 取 方 程 (A - 2I) 2x= 0 之 解 为p 1= k 1 (1, 0, 0)T + k2 (0, 1, 0)T + k3 (0, 0, 1)T , (2)计 算p 2= (A - 2I) p 1= k
14、 1 (1, - 2, - 1)T + k2 (1, - 2, - 1)T + k3 (- 1, 2, 1)T ,取 k 1= 1, k 2= k 3= 0, 得 特 征 向 量 p 2= (1, - 2, - 1) T 及 广 义 特 征 向 量 p 1= (1, 0, 0) T ; 任 取 满 足 (A - 2I) p 1= 0 的 2k 1= 2k 2= k 3= 2, 由 (2)式 得 (1, 1, 2) T 是 另 一 特 征 向 量 .例 3 A =1 0 2 7 0 - 30 2 0 0 0 00 2 3 5 - 2 - 30 0 - 1 - 2 1 20 - 1 1 3 2 -
15、 10 1 - 2 - 7 1 5, K= 2, 2, 2, 2, 2, 1.解 易 得 特 征 值 2 的 Jo rdan 块 最 大 阶 数 为 3, 解 方 程 (A - 2I) 3x= 0, 得p 1= k 1 (0, 1, 0, 0, 0, 0) T + k 2 (1, 0, 1, 0, 0, 0) T + k 3 (4, 0, 0, 1, 0, 0) T+ k 4 (0, 0, 0, 0, 1, 0) T + k 5 (- 2, 0, 0, 0, 0, 1) T , (3)p 2 = (A - 2I) p 1911第 1 期 黄 力 民 : 广 义 特 征 向 量 几 种 算 法
16、的 比 较= k 1 (0, 0, 2, 0, - 1, 1) T + k 2 (1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T + k 3 (3, 0, 5, - 4, 3, - 7) T+ k 4 (0, 0, - 2, 1, 0, 1) T + k 5 (- 1, 0, - 3, 2, - 1, 3) T , (4)p 3 = (A - 2I) p 2= k 1 (1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T + k 2 (0, 0, 0, 0, 0, 0) T + k 3 (0, 0, 0, 0, 0, 0) T+ k 4 (0, 0, 0, 0, 0, 0) T + k 5 (0,
17、 0, 0, 0, 0, 0) T. (5)1) 取 k 1= 1, k 2= k 3= k 4= k 5= 0, 从 (5)式 得 特 征 向 量 (1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T , 从 (4) , (3)式 得 广 义 特 征向 量 (0, 0, 2, 0, - 1, 1) T , (0, 1, 0, 0, 0, 0) T ;2) 在 (5)式 中 取 k 1= 0, 即 有 p 3= 0 且 p 2 0, 由 (4) , (3)式 确 定 2 阶 Jo rdan 块 对 应 的 特 征 向 量 、 广 义特 征 向 量 . 由 于 此 时 p 2 向 量 组 的 秩 为
18、 2, 其 中 (1, 0, 1, - 1, 1, - 2) T 已 在 前 一 步 出 现 , 因 此 取 k 2= k 4= k 5= 0, k 3= 1, 从 (4)式 得 特 征 向 量 (3, 0, 5, - 4, 3, - 7) T , 从 (3)式 得 广 义 特 征 向 量 (4, 0, 0, 1, 0, 0) T.以 上 表 明 本 文 提 出 的 方 法 的 特 点 是 : 对 于 一 个 特 征 值 只 须 解 一 个 线 性 方 程 组 (且 是 齐 次 的 ) ; (1) 式即 给 出 了 矩 阵 A 关 于 K的 全 部 特 征 向 量 及 广 义 特 征 向 量
19、.参 考 文 献 1 徐 仲 , 等 . 矩 阵 论 简 明 教 程 M . 北 京 : 科 学 出 版 社 , 2001.2 戴 华 . 矩 阵 论 M . 北 京 : 科 学 出 版 社 , 2001.3 吴 雄 华 , 等 . 矩 阵 论 M . 上 海 : 同 济 大 学 出 版 社 , 1994.4 史 荣 昌 . 矩 阵 分 析 M . 北 京 : 北 京 理 工 大 学 出 版 社 , 1996.5 程 荣 鹏 . 矩 阵 论 M . 西 安 : 西 北 工 业 大 学 出 版 社 , 1999.6 陈 大 新 . 矩 阵 理 论 M . 上 海 : 上 海 交 通 大 学 出 版 社 , 1997.7 黄 有 度 , 等 . 矩 阵 论 及 其 应 用 M . 合 肥 : 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 , 1995.021 大 学 数 学 第 20 卷
