1、 Middle开 始10i=,Slg2i1?Si输 出结 束 i是 否2017 届惠州市高三年级第三次调研考试 数学（理科） 2017.1一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。只有一项是符合题目要求的。1、已知全集 ，集合 ， ，则图中RU,4321A2|xRB阴影部分所表示的集合为（ ） A B C D2,10,0,11 2、设函数 ， “ 是偶函数”是“ 的图像关于原点对称”的（ ）xfy)()(xfy)(xfyA充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件3、执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A B C D791014、设直线 过双曲线 的
2、一个焦点，且与 的一条对称轴垂直， 与 交l lC于 两点， 为 的实轴长的 倍，则 的离心率为（ ）, 2A B C D3 35、 的展开式中 的系数是（ ）5)21(yx32yxA B C D055206、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A B C D1237、若 为 所在平面内任一点，且满足OC，则 的形状为（ ）0)()( OABA等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形8、函数 的最大值为（ ）xysin2coA B C D4312329、已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 等于（ ）yx,02yxyaxz4aA B C D3310、函数
3、且 的图象可能为（ ）xf(cos)1() )0Middle11、如图是一几何体的平面展开图，其中 为正方形， 分别为ABCDFE,的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：PDA,直线 与直线 异面； 直线 与直线 异面；BECFE直线 平面 ；平面 平面 /PP其中正确的有（ ）A 个 B 个 C 个 D 个123412、已知函数 2()(,gxaxe为自然对数的底数）与 的图像上存在关于xhln2)(轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）xA 21,eB 21, C 21,eD 2,)e二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分13、若复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 的共轭复数是_z
4、i z14、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验5根据收集到的数据（如下表）：零件数 （个）x10 20 30 40 50加工时间 （分钟）y62 68 75 81 89由最小二乘法求得回归方程 ，则 的值为_axy67.015、在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，且 ，ABC, ,bc2,c4C则 的面积为_16、已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数Rf3ffx 3yfx为奇函数，给出以下四个命题：（1）函数 是周期函数； （2）函数 的图象关于点,04对称；fxf（3）函数 为 上的偶函数；（4）函数 为 上的单调函数xR其中真命题的序号为_（写出所
5、有真命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、 （本小题满分 12 分）已知数列 na中，点 ),(1na在直线 2xy上，且首项 1a（）求数列 的通项公式；（）数列 n的前 项和为 nS，等比数列 nb中， 1， 2b，数列 b的前 项和为 T，请写出适合条件 nST的所有 的值MiddleQODBCAGP18、 （本小题满分 12 分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的
6、可能性相同）（）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（）设 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望X X19、 （本小题满分 12 分）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在圆柱 的底面圆周ABCDOQPO上， 是 的中点，圆柱 的底面圆的半径 ，侧面积为 ，GDPOQ238120A（）求证： ；BA（）求二面角 的平面角的余弦值Middle20、 （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为2:10xyCab，点 在椭圆 上12,0,F1,A（）求椭圆 的标准方程；（）是否存在斜率为 的直线，使得当直线与椭圆 有两个不同交点 时，能在直线2CMN
7、、上找到一点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，求出直线的53yPCQP方程；若不存在，说明理由21、 （本小题满分 12 分）已知函数 的图象在点 处的切线与直线3ln()xfxabe(1,)e垂直(21)30xey（）求 ；（）求证：当 时，,ab0,1(2fMiddle请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号22、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的C4cos x正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数）latyxsinco1t（）
8、将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的值lBA, 4l23、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 axf)(（）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；351|xa（）在（）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围mf)() xmMiddle惠州市 2017 届高三第三次调研考试理科数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B A A C A C B D B B1.【解析】因为 A B2,3
9、,4,5，而图中阴影部分为 A 去掉 A B，所以阴影部分所表示的集合为12.【解析】 是偶函数不能推出 的图像关于原点对称，反之可以。()yfx()yfx3.【解析】 否； 否；1,lgl3,iS133,lg+llg51,5iS否； 否；55,l+ll71,7i 77,lll9,9i是，输出 故选 B199,gg,S,i4.【解析】设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，x2a2 y2b2因此直线 l 的方程为： x c 或 x c，代入 1 得x2a2 y2b2y2 b2( 1) ， y ，故| AB| ，依题意c2a2 b4a2 b2a 2
10、b2a4 a， 2，2b2a b2a2 e212， e .c2 a2a2 35.【解析】 5展开式的通项公式为 Tr1 C 5 r(2 y)r(12x 2y) r5(12x)C 5 r(2) rx5 ryr.当 r3 时，C 2(2) 320.r5 (12) 35(12)6.【解析】四棱锥的直观图如图所示， PC平面 ABCD， PC1，底面四边形 ABCD 为正方形且边长为1，最长棱长 PA .12 12 12 37.【解析】因为( )( 2 )0，OB OC OB OC OA 即 ( )0， ，( )( )0，即| | |，CB AB AC AB AC CB AB AC AB AC AB
11、AC 所以 ABC 是等腰三角形，故选 A.8.【解析】 ycos 2 x2sin x2sin 2x2sin x1，Middle设 tsin x(1 t1)，则原函数可以化为 y2 t22 t12 2 ，(t12) 32当 t 时，函数取得最大值 .12 329.【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分 所示易知 A(2,0)，由Error!得 B(1,1)由 z ax y，得 y ax z.当 a2 或 a3 时， z ax y 在 O(0,0)处取 得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除 C，D 选项；当 a2 或 3 时， z ax y 在 A(2,0)处取 得最大值，2
12、 a4， a2，故选 B.10.【解析】 函数 f(x) cos x( x 且 x0)为奇函数，(x1x) 排除选项 A，B；当 x 时， f(x) cos 0，排除选项( 1 ) 1 C，故选 D.11.【解析】 将几何体展开图还原为几何体(如图)，因为 E， F 分别为 PA， PD 的中点，所以EF AD BC，即直线 BE 与 CF 共面，错；因为 B平面 PAD， E平面 PAD， EAF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正确；因为 EF AD BC， EF平面 PBC， BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，错12.【解析】由已
13、知，得到方程 ，即 在 上有解，设 ，2lnax2lnax1,e2lnfxx求导得 ，因为 ，所以 在 有唯一的极值点，因为2(1)fx1xe0fx，,1=)(2ef-2=)(ef-且 ，故方程 在 上有解等价于 ，所以极 大 值 fxf 1()ff2lnax1,e21ea实数 的取值范围是 ，故选 B.a2,e二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 54.9 15. 16. （1） （2） （3）1i 1313.【解析】 ，所以 的共轭复数是1,izizzi14.【解析】 由 30，得 75，则 a54.9x y Middle15.【解析】由正弦定理 ，
14、又 ，且 ，sin1isini 2bcbCBBCccb(0,)B所以 ，所以 ，6B712A所以1162sinsin2312 4Sbc 16 【解析】 ，所以 是周期为 3 的周期函数， （1）正确；33()()()(2fxffxf()fx函数 是奇函数，其图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称， （2）正确；340, (,0)4， ，所以 ， （3）正确； 是()()fxfx()()(2fxfxfx)fxf()fx周期函数，在 上不可能是单调函数， （4）错误真命题序号为（ 1） （2） （3） R三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.
15、（本小题满分 12 分）解:（I）根据已知 1a， 2na即 dan21， 2 分所以数列 n是一个等差数列， 1)(n 4 分（II）数列 的前 项和2Sn6 分等比数列 nb中， 11a， 32ab，所以 3q，1nb8 分数列 的前 项和 3nnT10 分nST即23，又 *N，所以 1或 2 12 分18. （本小题满分 12 分）解:（）设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则P(A) .C13C27 C03C37C310 4960所以，选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 .4 分4960（）随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(X k) (k
16、0,1,2,3)Ck4C3 k6C310 P(X0) ， P(X1) ，C04C36C310 16 C14C26C310 12MiddleP(X2) ， P(X3) . 8 分C24C16C310 310 C34C06C310 130所以，随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 . 12 分16 12 310 130 6519. （本小题满分 12 分）解:（）(解法一)：由题意可知 83AD ，解得 2 ， 1分在 AOP中， 2cos1203O ， 分 D，又 G是 DP的中点， PG. 3分 B为圆 的直径
17、， BA.由已知知 底 面， ， P平 面 . 5分 AG. 由可知： DPB平 面 ， B. 6 分（）由（）知： A平 面 ， GA， P， PG是二面角 BG的平面角 . 8 分6212PD, 2OP, 90B. 0B.51cosGP. 12 分(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知 832AD.解得 23. 则 0,A， ,4B， ,0， 0,P ， G是 DP的中点， 可求得 3,2. 3 分（） 0,1B， 32,4BD，10 分QODBCAGPxyzMiddle 3,2AG. 032,4,BD， A. 6 分（）由（）知, 0,13P， 3,2AG，,2G， ,5B .
18、 0PA， 0P. 是平面 AP的法向量. 8 分设 1,yxn是平面 AG的法向量，由 0Gn， 0Bn，解得 2 10 分315cosBPn.所以二面角 AG的平面角的余弦值 15. 12 分20. （本小题满分 12 分）解:（）设椭圆 的焦距为 ，则 ，C2c因为 在椭圆 上，所以 ， 2 分1,A122aAF因此 ，故椭圆 的方程为 5 分22,1abcC1xy（）椭圆 上不存在这样的点 ，证明如下：设直线的方程为 ，CQ2xt设 ， ， 的中点为 ，1,Mxy2345,NxyPxyMN0,Dy由 消去，得 ， 6 分2ty22980yt所以 ，且 ，12t22436ttMiddle
19、故 且 8 分1209yt3t由 得 9 分PMNQ ),()5,( 2424131 yxyx所以有 ， 10 分2415y321459t(也可由 知四边形 为平行四边形，而 为线段 的中点，因此，也 为线段PPMQNDMND的中点，所以 ，可得 )，PQ405329yt42159ty又 ，所以 ，3t47与椭圆上点的纵坐标的取值范围 矛盾。 11 分1,因此点 不在椭圆上 12 分Q21. （本小题满分 12 分）解:（）因为 ，故 ，故 ；ef)1(eba)(1ba依题意， ；又 ，2 )3(ln22 xxx ef 故 ，故 ，14)(eaef 4联立解得 ， 5 分,b（）由（1）得 3
20、ln()2xxfe要证 ，即证 ； 7 分()fx2l令 ，3egx， 2322()()(1)xxeex故当 时， ；1,0x01,x令 ，因为 的对称轴为 ，且 ，2)(2p)(px0)(p故存在 ，使得 ；),0x0x故当 时， , ，(2(2)2)(1)(2 xxeg即 上单调递增；),0xg在Middle当 时， ，故 ，0(,1)x02)(2xp 0)2)(1)(2 xxeg即 上单调递减；因为g在 ,1,)(故当 时， ， 10 分),(x)(gx又当 时， 11 分10lnln0,2x所以 ，即 12 分23xe()f22. （本小题满分 10 分）解:（）由 得 , , , 4
21、cos24cos22xycosxsiny曲线 的直角坐标方程为 ,即 4 分C24024（）将 代入圆的方程得 ,1cs,inxty2cos1sintt化简得 5 分2os30t设 两点对应的参数分别为 、 ,则 6 分,AB1t212cos,3.t 8 分212114cos4ttt , , 或 10 分4coscs23. （本小题满分 10 分）解: ()由 f(x)3，得| x a|3.解得 a3 x a3.又已知不等式 f(x)3 的解集为 x|1 x5所以Error!解得 a2. 4 分()当 a2 时， f(x)| x2|.设 g(x) f(x) f(x5)| x2| x3|.由| x2| x3|( x2)( x3)|5(当且仅当3 x2 时等号成立)， g(x)的最小值为 5.因此，若 g(x) f(x) f(x5) m 对 xR 恒成立，知实数 m 的取值范围是(，5 10 分
