1、实用测量数据处理方法,第二章 内插与拟合 本章内容包括线性插值、抛物线插值、埃尔米特插值、多项式插值，样条插值。第一节 拉格朗日插值 一、插值法的定义 设函数y=f（x）在区间a, b上有定义，且已知在点ax0x1xn b上的值y1,y2, ,yn,如存在一简单函数p(x),使 p(xi)=yi (i=0,1,n) (23) 成立，就称p(x)为f(x)的插值函数，点x0，x1，xn称为插值节点，包含插值节点的区间a, b称为插值区间，求插值函数p(x)的方法称为插值法。如p(x)是次数不超过n次的代数多项式，即 p(x)=a0+a1x+anxn (24)其中ai为实数，就称p(x)为插值多项
2、式，相应的插值法称为多项式插值；如p(x) 为分段多项式，就是分段插值。,实用测量数据处理方法,二、插值多项式的存在唯一性,设p(x)是形如（24）的插值多项式，用Hn代表所有次数不超过n次的多项式集合，于是p(x) Hn 。所谓插值多项式p(x)存在唯一，就是指在集合Hn中有且只有一个p(x)满足（23），由（23）可得：,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,三、线性插值,假定已知区间xk, xk+1 的端点处的函数值yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式L1(x),使它满足 L1(xk)=yk L1(xk+1)=yk+1则L1(x)的表达式可按下式给出：,
3、实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,四、抛物插值,假定已知插值节点xk-1, xk, xk+1,要求二次插值多项式L2(x),使它满足 L2(xj)=yj （j=k-1,k,k+1)为求出L2(x)的表达式，可采用基函数方法，此时基函数lk-1(x), lk(x), lk+1(x)是二次函数，且在节点上满足条件,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,五、拉格朗日插值多项式,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,六、插值余项,若在a, b上用Ln(x)近似f(x),则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x), 也称为插值多项式的余项。余项的计算式为：
4、,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,例1、,已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。,实用测量数据处理方法,解：1、线性插值,实用测量数据处理方法,解：1、线性插值,实用测量数据处理方法,解：2、抛物插值,实用测量数据处理方法,第二节 逐次线性插值,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,例2,已知f(x)sh(x)的值如下，试用埃特金插值求x=0.23的近似值解：见下表：,实用测量数据处理方法,一、均差及其性质 由直线方程点斜式出发，推广到具有n+1
5、个插值点（x0,f0），(xn,fn) 的情况，我们可把插值多项式表示为：,第三节 均差与牛顿插值公式,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,1、均差定义：,实用测量数据处理方法,2、均差的性质,实用测量数据处理方法,3、均差的计算,均差计算可列均差表如下：,实用测量数据处理方法,4、牛顿插值公式,根据均差定义，把x看成a,b上一点，可得：,实用测量数据处理方法,例3、给出f(x)的函数表如下，求4次牛顿插值多项式并由此计算f（0.596）的近似值。,实用测量数据处理方法,解、由函数造出均差表如下,由均差表可得4次插值多项式N4(x)为：,实用测量数据处理方法,第四节 差分与等距节点插值
6、公式1、差分的定义,实用测量数据处理方法,2、差分及其性质,性质1、各阶差分均可用函数值表示。性质2、可用各阶差分表示函数值。性质3、均差与差分有以下关系：,实用测量数据处理方法,3、差分计算,差分计算可列差分表（下表为向前差分表）,实用测量数据处理方法,4、等距节点插值公式（1）、前插公式,实用测量数据处理方法,（2）、后插公式,实用测量数据处理方法,第五节 埃尔米特插值公式,如果要求插值函数不仅在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,第六节 三次样条插值,2.6.4
7、、 三次样条插值函数的误差估计,2.6.3、 三转角算法,2.6.2、 三弯矩算法,2.6.1 、 三次样条插值函数的概念,实用测量数据处理方法,学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。,实用测量数据处理方法,高次插值出现龙格现象,但分段线性插值在节点处不一定光滑,但导数值不容易提取（找到）,2. 6.1三次样条插值函数的概念,一、背景,实用测量数据处理方法,1901年龙格（Runge）给出一个例子：，定义在区间-1,1上，这是一个很光滑的函数，它的任意阶导数都存在，对它在-1,1上作等距节点插值时，插值多项式的情况见下图,龙格现象是用高阶多项式进行多项式插
8、值时所出现的问题。它是 Carle David Tolm Runge 在研究使用多项式插值逼近特定函数的误差过程中发现的。,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,龙格发现如果使用 n 阶多项式 Pn(x) 在 1 与 1 之间按照 这样的等距点xi 进行插值，那么在接近端点 1 与 1 的地方插值结果就会出现震荡。在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大：,实用测量数据处理方法,上述介绍的现象和定理告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上来看也是这样，前一节介绍过的差分的误差传播会随阶数的提高越来越严重，因此，实践上作插值时一般只用一次、二次，最多用三次插值多项式。,解决龙格
9、现象的办法 使用切比雪夫节点代替等距点可以减小震荡，在这种情况下，随着多项式阶次的增加最大误差逐渐减小。这个现象表明高阶多项式通常不适合用于插值。使用分段多项式样条可以避免这个问题。如果要减小插值误差，那么可以增加构成样条的多项式的数目，而不必是增加多项式的阶次。,实用测量数据处理方法,二、样条函数的定义,设在区间 上取 个节点 给定这些点的函数值 若满足条件：,(3)在每个小区间 上， 是三次多项式。 则称 为三次样条插值函数。,定义（3次样条函数）,提出问题：,如何计算？误差估计？,实用测量数据处理方法,三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间 上可以写成,共有 个条件。再加上 个插
10、值条件，共有 个条件。因此，还需要2个条件才能确定 。通常在区间 端点和 上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。通常有以下三种：,实用测量数据处理方法,实用测量数据处理方法,2.6.2 三弯矩算法,三次样条插值函数 可以有多种表达式，有时用二阶导数值 表示时，使用更方便。 在力学上解释为细梁在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用 表示 的算法为三弯矩算法。,实用测量数据处理方法,由此可得,实用测量数据处理方法,(2.6.8),实用测量数据处理方法,这样,由(2.6.5)和(2.6.8)可解出 ，从而得 的表达式(2.6.4),若令 则(2.6.5)和(2.6
11、.8)可以写成矩阵形式,实用测量数据处理方法,其中,实用测量数据处理方法,实际上,方程组（2.6.9）和（2.6.12)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。,例 设在节点 上，函数 的值为 ， 。 试求三次样条插值函数 ，满足条件,解 （1）利用方程组（2.6.9）进行求解，可知 。经简单计算有 。由 此得（2.6.9）形式的方程组,实用测量数据处理方法,先消去 和 得,（） 仍用方程组进行求解，不过要注意 的不同。由于 和 已知，故可以化简得,实用测量数据处理方法,由此解得 。,将 代入三次样条插值函数的表达式（2.6.4），经化简有,实用
12、测量数据处理方法,根据Hermite插值函数的唯一性和表达式 可设 在区间 上的表达式为,对 求二次导数得,于是有,实用测量数据处理方法,同理，考虑 在 上的表达式，可以得到,利用条件 ，得,实用测量数据处理方法,由此可解得 ，从而得 的表达式（2.6.13）。,（2.6.16）,若令,实用测量数据处理方法,由(2.6.14)和(2.6.19)可解出 ，方程组的矩阵形式为,其中,实用测量数据处理方法,（2.6.20）,实用测量数据处理方法,误差估计式（2.6.21）除可以用于误差估计外,它进一步表明，当 时，在插值区间 上，对于满足边界条件（2.6.1）或（2.6.2）的插值函数 ，不仅 一致
13、收敛于 ，而且 一致收敛于 ， 一致收敛于 。,（2.6.21）,其中,实用测量数据处理方法,第七节. 曲线拟合的最小二乘法 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插
14、值多项式，这样计算起来很烦琐。,实用测量数据处理方法,为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图5-7所示。,曲线拟合示意图,实用测量数据处理方法,换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是最小二乘法。,实用测量数据处理方法,与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似
15、函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。 在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。两种逼近概念: 插值: 在节点处函数值相同. 拟合: 在数据点处误差平方和最小,实用测量数据处理方法,函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同,即 而曲线拟合函数 不要求严格地通过所有数据点 ,也就是说拟合函数 在xi处的偏差(亦称残差） 不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势,要求 按某种度量标准最小。若记向量 ,即要求向量 的某种范数
16、最小,如 的1-范数 或-范数即,实用测量数据处理方法,或,最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求的2-范数,即,为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。,实用测量数据处理方法,（1）直线拟合设已知数据点 ,分布大致为一条直线。作拟合直线 ,该直线不是通过所有的数据点 ,而是使偏差平方和,为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取 和 使 有极小值，故 和 应满足下列条件：,实用测量数据处理方法,即得如下正规方程组,(2.7.1),例1 设有某实验数据如下： 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 1
17、8.475 20.963,用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的,实用测量数据处理方法,拟合直线为 记x1=1.36, x2=1.37, x3 =1.95,x4 =2.28, y1 =14.094, y2= 16.844, y3=18.475, y4=20.963则正规方程组为,其中,将以上数据代入上式正规方程组,得,实用测量数据处理方法,解得,即得拟合直线,实用测量数据处理方法,（2）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。对于给定的一组数据寻
18、求次数不超过m (mN ) 的多项式，,来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和,为最小,实用测量数据处理方法,由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2, m)的多元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令,得,即有,实用测量数据处理方法,这是关于系数 的线性方程组，通常称为正规方程组。可以证明，正规方程组有惟一解。,例 2 设某实验数据如下： 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3,用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据,(2.7.2),实用测量数据处理方法,解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所
19、求的多项式为,由法方程组（2.7.2）, 经计算得,N=6,其法方程组为,解之得,所求的多项式为,实用测量数据处理方法,（3）可化为线性拟合的非线性拟合 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。 下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系,实用测量数据处理方法,曲线拟合方程 变换关系 变换后线性拟合方程,实
20、用测量数据处理方法,几种常见的数据拟合情况。图 ( a ) 表示数据接近于直线，故宜采用线性函数 拟合；图(b)数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式,拟合；,(a),(b),实用测量数据处理方法,图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜采用双曲线型函数 或指数型函数 图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢,宜采用 或 或 等函数拟合。,( c ),( d ),实用测量数据处理方法,例3 设某实验数据如下: 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3,用最小二乘法求拟合曲线,解:将已给
21、数据点描在坐标系中下图所示,可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数作为拟合函数.对函数两边取对数得. 令 得 则就得到线性模型,实用测量数据处理方法,则正规方程组为,其中,将以上数据代入上式正规方程组，得,解得,由 得 ,实用测量数据处理方法,由,得到拟合指数函数为,实用测量数据处理方法,（4）超定方程组的最小二乘解设线性方程组Ax=b中， ,b是m维已知向量，x是n维解向量，当mn，即方程组中方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（此时为矛盾方程组),这时需要寻求方程组的一个“最近似”的解.记 ,称使 ,即 最小的解 为方程组Ax=b的最小二乘解
22、。,实用测量数据处理方法,定理5.6 是Ax=b的最小二乘解的充分必要条件为 是 的解.证明:充分性 若存在n维向量 ,使 任取一n维向量 ,令 ,则 ,且,所以 是Ax=b的最小二乘解。,实用测量数据处理方法,必要性:r的第i个分量为, ,记,由多元函数求极值的必要条件，可得,即,由线性代数知识知,上式写成矩阵形式为,它是关于的线性方程组,也就是我们所说的正规方程组或法方程组。可以证明如果A是列满秩的,则方程组（2.7.3）存在惟一解,（2.7.3）,实用测量数据处理方法,例4 求超定方程组,的最小二乘解,并求误差平方和。,解:方程组写成矩阵形式为,正规方程组为,实用测量数据处理方法,即,解
23、得,此时,误差平方和为,实用测量数据处理方法,我们已经讨论了最小二乘意义下的曲线拟合问题,由于方程比较简单,实际中应用广泛,特别是因为任何连续函数至少在一个较小的邻域内可以用多项式任意逼近,因此用多项式作数据拟合,有它的特殊重要性。从而在许多实际问题中,不论具体函数关系如何,都可用多项式作近似拟合,但用多项式拟合时,当n较大时(n7),其法方程的系数矩阵的条件数一般较大,所以往往是病态的,因而给求解工作带来了困难。,实用测量数据处理方法,这组基函数就称为点集 上的正交函数集。这种情况下法方程组的系数矩阵是对角阵，显然容易求解。关于正交函数的求法本书从略，读者可参考其它书籍,近年来,产生一些直接
24、解线性最小二乘问题的新方法，例如正交三角化方法。另外,如果能选取基函数 使得 时,实用测量数据处理方法,本章小结,本章介绍的插值法和曲线拟合的最小二乘法都是实用性很强的方法。它们解决的实际问题虽然各式各样，但抽象为数学问题却有它的共性，即利用已知的数据去寻求某个较为简单的函数P(x)来逼近f(x)。插值法和曲线拟合的最小二乘法分别给出了寻求这种近似函数的两类不同的原则，以及构造近似函数的几种具体方法。其中插值法要求近似函数在已知的数据点必须与f(x)完全一致，曲线拟合法不要求点点一致而只须满足一定的整体逼近条件。,实用测量数据处理方法,插值法中的拉格朗日插值多项式是研究数值微积分与微分方程数值
25、解的重要工具。牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式的变形，具有承袭性，比拉格朗日插值多项式节省计算量。埃尔米特插值多项式属于重节点的插值公式，当n+1节点上的函数值和导数值给定时，可构造2n+1次带导数的插值多项式。分段低次多项式插值由于具有良好的稳定性与收敛性，且算法简单，便于应用。特别是应用广泛的三次样条插值，不但有较好的稳定性和收敛性，而且具有较好的光滑性，从而满足了许多实际问题的要求。需对样条函数作进一步了解的读者可参阅有关文献,实用测量数据处理方法,曲线拟合的最小二乘法是处理实验数据的常用方法。本章主要介绍了最小二乘法的基本原理和线性最小二乘问题的求解方法。多项式拟合是线性最小二乘拟合问题的一种特殊情况,其特点是拟合多项式形式简单,但当n较大时,法方程组往往是病态的。用离散正交多项式进行曲线拟合,不用解线性方程组,只需按递推式进行计算,避免了法方程组病态所造成的麻烦,并且当逼近次数增加一次时,只要在原基础上增加一项,使计算程序十分简单。关于非线性最小二乘曲线拟合问题,一般求解比较困难,但对一些特殊情形,可以转换为线性最小二乘拟合问题。在实际计算时,要选择合理的拟合多项式的次数,有时是十分困难的。一般可对数据作分析,例如在方格纸上作草图,从草图中观察应作几次多项式精度较好。以选择最佳的拟合多项式的次数。,
