1、一、面积最值问题 （一）过动点作x轴垂线，利用面积公式,1、河口模拟：如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值,2、广饶一模：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，
2、0），B（1.0），C（0，-3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由,3、德州：如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， 设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连
3、接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似时，点P的坐标； 是否存在一点P，使PCD的面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由,4、枣庄,5、莱芜：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,6、十套模拟
4、二：,8、山东模拟二：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式 （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积 （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由,3、十套模拟四：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于
5、点G （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长； （3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由,一、面积最值问题 （二）利用平行相似，面积公式，转化,1、泰安：如图，抛物线y= 1 2x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式
6、 （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值 （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标,2、烟台：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（- 2/ 3，0），以0C为直径作半圆，圆心为D （1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线BE是D的切线； （3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t
7、，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由,3、山东模拟三：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明
8、理由,一、面积最值问题 （三）其他类型：二次函数,1、聊城：已知ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20 （1）写出ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； （2）当BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？ （3）当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明,(四)面积相等问题,1、广饶二模：如图，ABC的顶点坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2-10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上 （1）证明四边形ABCD是
9、菱形，并求点D的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式； （3）在抛物线上是否存在点P，使得PBD与PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由,2、一中模拟：如图，抛物线y= 3/ 8x2 3/ 4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式,3、四中一模：如图，已知直线 交y轴于点A，交x轴于点B，直线l：
10、交x轴于点C. (1) 求经过A、B、C三点的抛物线的函数关系式，并指出此函数的函数值随x的增大而增大时，x的取值范围； (2) 若点E在(1)中的抛物线上，且四边形ABCE是以BC为底的梯形，求梯形ABCE的面积； (3) 在(1)、(2)的条件下，过E作直线EFx轴，垂足为G，交直线l于F. 在抛物线上是否存在点H，使直线l、直线FH和x轴所围成的三角形的面积恰好是梯形ABCE面积的 ？若存在，求点H的横坐标；若不存在，请说明理由.,二、构成等腰三角形、平行四边形、菱形 （一）平行四边形,1、一中二模,2、河口模拟：如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，
11、3）两点，与y轴交于点N其顶点为D （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值。,3、山东模拟二：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式 （2）若点P在第四象限，连接AM、B
12、M，当线段PM最长时，求ABM的面积 （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由,4临沂： 如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0， 5/ 2）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由,5、一中三模：如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=
13、4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由,6、枣庄,1、泰安：如图，抛物线y= 1 /2x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式 （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值 （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点
14、的坐标,（二）等腰三角形、直角三角形,2、模拟尚：如图,抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,点A坐标为(2,0),点C坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=-1/2. （1）求抛物线解析式； （2） M是线段AB上的任意一点，到MBC为等腰三角形时，求点M的坐标。,3、广饶一模：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点
15、M的坐标；若不存在，请说明理由,4、利津一模：如图，已知抛物线y=- 1/ 4x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由,三、相似:分类,1、莱芜：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M （1）求抛物线的表达式； （
16、2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,2、日照：已知，如图（a），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，-2），其顶点为D以AB为直径的M交y轴于点E、F，过点E作M的切线交x轴于点NONE=30，|x1-x2|=8 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得AB
17、P与ADB相似（除去全等这一情况）？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（b），点Q为 弧EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AHAQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由,3、十套模拟四：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM
18、的长； （3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由,4、四中二模,四、动点问题：用含自变量的式子表示需要的量（用三角函数、相似）,1、青岛：已知：如图，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，B=45，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MNBC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0t1）.解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形AQD
19、M是平行四边形？ （2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式： （3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由 （4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 根号2：1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由,2、济宁：如图，直线y=- 1/ 2x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过
20、点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外） （1）求点P运动的速度是多少？ （2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？ （3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值,3、菏泽：如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=- 3/ 4x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y 1/ 8x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形 （1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都
21、以每秒1个单位的速度运动，问： 当P运动到何处时，有PQAC？ 当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？,4、十套模拟一：如图1，菱形ABCD中，A=60，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出 （1）求点Q运动的速度； （2）求图2中线段FG的函数关系式； （3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若
22、不存在，请说明理由,5、广饶二模：如图，在ABC中，C=45，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；,（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式,三、线性几何,1、1、如图甲，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题： （1）如果AB=AC
23、，BAC=90， 当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（不写画法）,2、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； （3）当直线MN绕点C旋转
24、到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明,3、CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA= （1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图1，若BCA=90，=90，则BE CF；EF |BE-AF|（填“”，“”或“=”）； 如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立 （2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）,4、在课外小组活动时，小
25、慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流 原问题：如图1，已知ABC，ACB=90，ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE，且DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系 小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是ABC=30，ADB=BEC=60度 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF与EF的数量关系； （2）如图2，若ABC=30，ADB=BE
26、C=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若ADB=BEC=2ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明,5.请阅读下列材料： 问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG探究线段DM与MG数量与位置有何关系小聪同学的思路是：延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系 ； （2）将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想,
