1、1,第八章 不 定 积 分1不定积分概念与基本积分公式教学内容：1）不定积分的概念2）不定积分与微分的关系3）不定积分的基本积分公式4）不定积分的线性性质重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质,2,首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？ 一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算积分运算。我们已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提
2、出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。 为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：,3,我们熟悉乘方运算：,也熟悉导数运算：,于是提出新问题：,同样提出问题：,这不是乘方运算，而是它的逆运算开方运算。,这不是求导运算，而是它的逆运算积分运算。,一般来说，在下式里,同样，在下式里,4,通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原
3、函数与不定积分的有关的定义。一、原函数与不定积分,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2 换元积分法与分部积分法,15,16,17,18,19,20,21,22,23,3 有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分内容：1）有理函数的部分分式分解2）有理函数的不定积分难点：有理函数的部分分式分解要求：掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数：,24,先介绍代数学中两个定理：定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数
4、一次或二次因式的乘积：,25,定理2 （ 部分分式展开定理）：,26,因此有理函数的积分问题就归结为计算,与,例 1. 求不定积分,将被积函数按部分分式分解：,两边同乘,比较同次项系数：,27,解此方程组得：,A = -3 ，B = 5,由此得到 ：,所以,例 2,解 将分母分解因式,28,因此可分成部分分式,两边同乘,比较同次项系数得,29,解此方程组得：,A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1,从而得方程组：,从而：,30,31,小结：1、有理函数的原函数一定是初等函数；2、求有理函数不定积分的步骤：1）、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成多项式+有理真分式；2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数。3）、求出各个简单分式的不定积分，则有理函数的不定积分=多项式的不定积分（若是有理假分式，则必有此项积分）+各个简单分式的不定积分。,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,
