1、 解题技巧与方法 释。 用定积分来计算数列极限昀基本原理和方法 李海燕 张会景 (石家庄科技工程职业学院050800) I摘要】由于大家一直对用定积分的方法求多项和数列 的极限的方法很模糊，所以本文主要结台具体的例子说明 用定积分求多项和数列的极限的基本原理和方法，使大家 对如何用定积分求极限有一个清楚的概念和思路 【关键词】定积分；数列极限；基本原理；定理；方法步 骤；例子 数列极限是高等数学中的基础知识，也是高等数学学 习中的一个重点求数列极限的方法很多，其中利用定积分 的定义求数列的极限是一种很重要的方法，对一些特殊的 多项相加的数列来说，利用定积分求极限，是很方便的，但 是也是很容易被
2、大家忽略的一种方法，主要原因在于大家 不熟悉定积分的定义，在学习过程中一带而过本文不从技 巧的角度来讨论它的方法，而结合具体的例子讲清楚方法 的原理和根据 这种问题虽然计算量不大，技巧性也不是很高，但是概念 性却极强，非常基本，是历年考研的一个热点要弄懂“关于可 用定积分来计算数列极限问题”，必须先弄明白定积分的定义 及可积的充分条件，我们就可以轻易地解决这个问题了 一、定积分的定义和可积的充分条件 定义设函数，( )在n，b上有定义，在a，b中任意 插入n1个分点 (k=1，Z一1)，满足a= 0 1 =b，并记Ax = 一 ，并任取 E ， ，记A= m +a。x( )， 厂( ) 存在且
3、与分点及取点 的取法无 关，则函数在n，6上可积，并记 ，( ) ) 可积的充分条件若函数_厂( )在。，b上连续，则该函 数在o，b上可积 此时既然极限存在且与分点及取点的取法无关，我们 就取定 = -a+(6一n)，UP = ，则有 ) lim 三 宰) 二、可用定积分来计算的数列极限问题的几个常用定理 根据可积的充分条件，我们可以得到如下三个可用定 积分来计算的数列极限的定理： 定理1若函数在。，b上连续， lira“ lira J，( )= 定理2若函数在n，b上连续， lim )= 舳 定理3若函数 )在0，1上连续，a=O，6=1，则数列 2im = )=J： f(x)dx 从上面
4、三个定理不难看出，能够应用定积分求极限的 集中类型的数夕lJ为能够写成如 彤式的教夕U： 砉 )， 毫 )， = 1 ) 且定理3是定理1和定理2的特殊情况，即取a=0， b=1时，但定理3是通用的，只要定理1和定理2能用来求 极限，则定理3同样可以用，只是被积函数和积分上下限有 所不同罢了，如定理1_lira =lira b -a 。+j_b-at-) 一1 ， (b-a) 耋，( )=(6一a)J= ，( )出，因此一般只 要学会应用定理3求极限就可以解决这类问题了 下面以定理3为例来说明用定积分求极限的方法步骤： (1)将多项相加的数列改写成u(n， )的形式； (2)从 ( ， )中分
5、解提出 ； (3)将剩下的部分中的 看成整体 ，即可写出 )的 形式； (4)则可得 u =i1 )=I ，(z) 三典型例题锯析 例计算： ( + + + 分析按步骤演示过程 (1)原 lim 1 (2)分出 n，得原 lim 1熹 1_ n (3)将看成整体 ，即得_厂( )=-11- I- 凡 原极 lim-客 1=I 1 解记 ( )= 在0，1上连续，有 原极限= 耋 1= 2 【参考文献】 1华东师范大学数学系 版社2001 2众邦考试教育研究所 局，2003 数学分析北京：高等教育出 数学分析题解精粹崇文书 3西北工业大学高等数学中的典型问题与解法上 海：同济大学 数学学习与研究201011
