1、郑州轻工业学院数学与信息科学系,第二章 ：随机变量及其分布概率统计教研组,第二章 随机变量及其分布,我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布,第二章 随机变量及其分布,主要内容 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量 2.3 连续型随机变量 2
2、.4 随机变量函数的分布 第二章：总结,第二章 随机变量及其分布,【工作效率问题】某工厂有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,2.1 随 机 变 量,2.1.1 随机变量的概念随机试验的结果有些本身就是数量，例如，一只灯泡的寿命，每天的最高气温等；随机试验的结果有些不是数量例如，检查一个产品，结果可能是“合格”与“不
3、合格”，但是我们可以将其数量化，比如用“1”表示“合格”，用“0”表示“不合格”这样，随机试验的结果就是随机变化的变量把随机试验的结果数量化，便于应用数学知识研究随机现象，使对随机现象的研究更深入和简单,2.1 随 机 变 量,2.1.1 随机变量的概念【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记1 = 乘船，2 = 乘火车，3 = 乘飞机，这就是以 = 1，2，3为样本空间的随机试验，现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数X = X()是随试验结果而变化的变量, 称之为随机变量,2.1 随 机 变 量,2.1
4、.1 随机变量的概念【定义2.1】 设随机试验的样本空间为 = ，X = X()是定义在样本空间上的实值单值函数，称X = X()为随机变量常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示这个定义表明：随机变量X是样本点的一个实值函数，一个样本点只能对应一个实数，不同样本点可以对应不同的实数，也可以对应同一个实数随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取到的值，且它的取值有一定的概率，这些性质显示了随机变量与普通函数和普通变量有着本质的区别,2.1 随 机 变 量,2.1.1 随机变量的概念【定义2.1】 设随机试验的样本空间为 = ，X = X()是定义在
5、样本空间上的实值单值函数，称X = X()为随机变量常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示引入随机变量后，我们很容易用随机变量表示随机事件及其概率如用随机变量X表示掷一枚骰子朝上一面的点数，则X = 1和X 3分别表示事件“朝上一面的点数为1”和“朝上一面的点数小于等于3”两事件，PX = 1 = 1/6，PX 3 = 1/2则分别表示两事件发生的概率,2.1 随 机 变 量,2.1.2 随机变量的分布函数为了计算与随机变量X有关事件的概率，下面引入随机变量分布函数的概念【定义2.2】设X是一个随机变量，对任意实数x，称事件X x发生的概率 (2.1)为随机变
6、量X的分布函数, 且称X服从F(x), 记为XF(x)由分布函数的定义易知，对任意实数a，b（a b），有,2.1 随 机 变 量,2.1.2 随机变量的分布函数容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(，+)上的单调非减函数，即对任意的x1 x2，有F(x1) F(x2)；(2) 有界性：对任意的，有0 F(x) 1，且(3) 右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有这三个基本性质成为判别分布函数的充要条件,2.1 随 机 变 量,2.1.2 随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数
7、，并求 解：事件X x表示所抛一点落在半径为x的圆内若x 0，X x为不可能事件，则F(x) = PX x = 0；若x r，X x为必然事件，F(x) = PX x = 1；若0 x r，由几何概型知,2.1 随 机 变 量,2.1.2 随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，并求从而X的分布函数为且,2.1 随 机 变 量,2.1.2 随机变量的分布函数【例2-3】证明 是一个分布函数证：显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且，因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布函数该函数称为柯西分布函数,2.2 离散型随机变量
8、,2.2.1 离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，xn，则称X取xi的概率PX = xi = pi，i = 1，2，为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数X的分布律也可用如下方式表示：,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x
9、2，xn，则称X取xi的概率PX = xi = pi，i = 1，2，为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数显然分布律应具有如下性质：(1) 非负性：pi 0，i = 1，2，(2) 归一性：这两条性质是判别离散型随机变量分布律的充要条件,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，xn，则称X取xi的概率PX = xi = pi，i = 1，2，为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数由分布函数的定义，知离散型随机变量X的分布函数为：,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分
10、布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律解：因为每一组信号灯禁止汽车通过的概率为p，允许汽车通过的概率为1 p，则X的分布律为,0,1,2,3,4,p,(1-p)p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1 p)4,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律
11、解：如果p=0.5, 则X的分布律为,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X的分布律为试求PX 0.5,P1.5X2.5, 并写出X的分布函数解： X的分布函数为,2.2 离散型随机变量,2.2.1 离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X的分布律为试求PX 0.5,P1.5X2.5, 并写出X的分布函数解： F(x)的图形呈阶梯形右连续，在X的可能取值处有跳跃,F(x)=,0,1/4,1/4 +1/2,1,x -1,-1 x 2,2 x 3,x 3,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X只
12、可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布分布律也可写成对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个样本点1、2，我们总能在上定义一个服从0-1分布的随机变量,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布分布律也可写成来描述这个随机试验的结果,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布2.二项分布在上一章介绍的n重伯努利试验中我们已经知道，若事件A在每次试验中发生的概率为P(A) = p (0 p 0是一个常数，n是任意正整数，设np = （p与n有关），则对于任一固定的非
13、负整数k，有定理条件np = （常数）意味着当n很大时p必定很小,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布【定理2.1】（泊松定理）设 0是一个常数，n是任意正整数，设np = （p与n有关），则对于任一固定的非负整数k，有因此，当n很大p很小，有下面近似计算公式 该公式说明，在对二项分布B(n，p)计算概率时，如果n很大p很小，可由参数为 = np的泊松分布的概率值近似,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布【例2-8】已知某疾病发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率解：设该单位患有这种疾病的人数为X，则
14、有XB(5000，0.001)，则所求概率为取 = np = 5，用泊松分布近似计算并查附表1得,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】XB(5000，0.001)，求PX5；np=5, X P(5)，求PX5实验准备：,=BINOMDIST(5, 5000,0.001,TRUE),=POISSON(5,5,TRUE),2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】XB(5000，0.001)，求PX5；np=5, X P(5)，求PX5实验结果：,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布
15、与泊松分布分布关系实验准备,=BINOMDIST(A3, $B$1, $F$1, FALSE),= POISSON(A3, $D$1, FALSE),2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系实验结果：,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型这是因为上述例子本来就是n大p小的二项分布以服务系统中的呼叫数为例，服务设施的用
16、户n很大，每个用户在指定时间内使用这个设施的概率p很小，而且各用户使用情况又独立,2.2 离散型随机变量,2.2.2 常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型因此，服务系统中的呼叫数应是n大p小的二项分布，由泊松定理，可以近似认为服从 = np泊松分布上述应用表明泊松分布广泛用于社会生活的许多方面，它在运筹学、管理科学中占有突出的地位,2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】 如
17、果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有 (2.2)则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有 (2.3),2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有 (2.2)则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数概率密度的基本性质：(1) 非负性：(2) 归一性：以上两条基本性质
18、是判别概率密度的充要条件,2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度注1：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率为0，即PX = a = 0事实上，设X的分布函数为F(x)，x0，则由X = a a x X a得 0 PX = a Pa x X a = F(a) F(a x)在上述不等式中令x0，并注意到X为连续型随机变量，其分布函数F(x)是连续的，即得PX = a = 0这表明：概率为0的事件不一定是不可能事件；类似地，概率为1的事件不一定是必然事件,2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度注2：由于连续型随机变量X仅取一点的概率恒为
19、0，故在事件“a X b”中减去“X = a”或“X = b”，不影响其概率，即 P a X b = P a X b = P a X b = P a X b = F(b) F(a) 这给计算带来很大的方便,2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度【例2-9】设随机变量X的概率密度为试求：(1) 系数A；(2) X落在(1/2，1/2)内的概率；(3) X的分布函数F(x)解: (1)由概率密度的归一性知所以,2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度【例2-9】设随机变量X的概率密度为试求：(1) 系数A；(2) X落在(1/2，1/2)内的概率；(3
20、) X的分布函数F(x)解: (2),2.3 连续型随机变量,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度【例2-9】设随机变量X的概率密度为试求：(3) X的分布函数F(x)解: (3) 因为当x -1时，当-1 x s = es/，s 0, 于是,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布2. 指数分布定理2.2（指数分布的无记忆性）设，则对任意，有 (2.8)如果X表示某一元件的寿命，(2.8)式说明若元件已使用了s小时，则它至少能使用s + t小时的条件概率，与开始使用时算起至少能使用t小时的概率相等这就是说，元件对它已使用过的s小时没有记忆这一性质使指数分布具有广泛的应用性,2.3
21、连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布2. 指数分布【例2-13】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）服从 = 3的指数分布如果有一顾客恰好在你前头走到空闲的取款机，求(1) 你至少等候3分钟的概率；(2) 你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率解：以X表示你前面这位顾客所用服务时间，F(x)为X的分布函数，由(2.7)，所求概率(1),2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布2. 指数分布【例2-13】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）服从 = 3的指数分布如果有一顾客恰好在你前头走到空闲的取款机，求(1) 你至少等候3分钟的概率；(2) 你等候时间在3分钟
22、至6分钟之间的概率解：以X表示你前面这位顾客所用服务时间，F(x)为X的分布函数，由(2.7)，所求概率(2),2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布2. 指数分布【例2-13】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）服从 = 3的指数分布如果有一顾客恰好在你前头走到空闲的取款机，求(1) 你至少等候3分钟的概率；(2) 你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率解：如果你到达时取款机正在为一名顾客服务，同时没有其他人在排队等候，那么由指数分布的无记忆性，取款机还需要花在你前面顾客身上的服务时间，与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分
23、布3. 正态分布如果随机变量X的概率密度为 (2.9)其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分布（又称为高斯分布），记为XN(,2)显然f(x)0，下面来证明 若令 得,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布如果随机变量X的概率密度为 (2.9)其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分布（又称为高斯分布），记为XN(,2)记 则有,=I,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布如果随机变量X的概率密度为 (2.9)其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分布（又称为高斯分布），记为XN(,2) 利用极坐标计算二重积
24、分得,=I,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布如果随机变量X的概率密度为 (2.9)其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分布（又称为高斯分布），记为XN(,2) 可见(2.9)中的f(x)满足概率密度的两个基本性质,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布如果随机变量X的概率密度为 (2.9)其中， ( 0)为参数，则称X服从参数为， 的正态分布（又称为高斯分布），记为XN(,2)正态分布N(,2)的分布函数为 (2.10),2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布f(x)和F(x)的图形如图2-8 图2-8
25、 正态分布的概率密度和分布函数,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布f(x)的图形具有以下的性质：(1) 曲线关于x = 对称(2) 当x = 时取到最大值(3) 在x = 处曲线有拐点，曲线以ox轴为渐进线,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布f(x)的图形具有以下的性质：(4) 如果固定，改变 的值，则图形沿着x轴平移，而不改变其形状，如图2-9所示，因此 称为位置参数 图2-9 固定，改变的值,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布f(x)的图形具有以下的性质：(5) 如果固定，改变的值，则愈小，图形变得愈尖，因
26、而X落在 附近的概率越大，即正态概率密度的尺度由参数所确定，因此称为尺度参数 图2-10 固定，改变的值,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布特别，当=0, =1时, 称X服从标准正态分布, 记作XN(0,1), 概率密度和分布函数分别用 (x)和(x)表示，即 标准正态分布的概率密度如图2-11所示易知 (x) = 1 (x)附表2对x0给出了 (x)的值.,2.3 连续型随机变量,2.3.2 常用连续分布3. 正态分布【例2-14】设XN(0, 1)，利用附表2, 求下列事件的概率(1) PX 1.52 = (1.52) = 0.9357(2) PX 1.52 =
27、 1 (1.52) = 0.0643(3) P| X | 1.52 = (1.52) ( 1.52) = 2 (1.52) 1 = 0.8714,2.4 随机变量函数的分布,本节将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y = g(X),（g(.)是已知的连续函数）的概率分布2.4.1 离散型随机变量函数的分布设X是离散型随机变量，X的分布律为则Y = g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为当g(x1), g(x2), , g(xn)中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可,2.4 随机变量函数的分布,【例2-15】已知随机变量X的分布律为求Y =
28、X 2 + X，Z = X 2 + 1的分布律解：由X的分布律可得如下表格由此表格，得Y，Z的分布律分别为,2,0,0,2,6,5,2,1,2,5,2.4 随机变量函数的分布,2.4.1 连续型随机变量函数的分布求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法，即分布函数法和公式法1. 分布函数法设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)，为了求X的函数Y = g(X)的概率密度fY(y):先求其分布函数： FY(y) = PY y = Pg(X) y;然后在上式两端对y求导，即可求出概率密度fY(y),2.4 随机变量函数的分布,1. 分布函数法【例2-16】设XN(0，1)，求Y = | X
29、|的概率密度解：1) 当y 0时，Yy是不可能事件，知2) 当y 0时，则,2.4 随机变量函数的分布,1. 分布函数法【例2-16】设XN(0，1)，求Y = | X |的概率密度解：由1)、2)可得【例2-17】设随机变量X具有概率密度fX(x), -x+, 求Y=X2的概率密度解:分别记X, Y分布函数为FX(x),FY(y), 先求Y的分布函数由于Y=X2 0，故当y0时， FY(y)=0；,2.4 随机变量函数的分布,1. 分布函数法【例2-17】设随机变量X具有概率密度fX(x), -x+, 求Y=X2的概率密度解：y0时，将关于y求导数，得Y的概率密度为 (2.11),2.4 随机变量函数的分布,1. 分布函数法【例2-17】设随机变量X具有概率密度fX(x), -x+, 求Y=X2的概率密度解： (2.11)可以将(2.11)式作为公式使用，例如，若XN(0,1)，其概率密度为由(2.11)式可得求Y=X2的概率密度为,
