1、12011 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）0x3sinfxxkc（A）k=1, c =4 （B） k=1,c = 4 （C） k=3,c =4 （D） k=3,c = 4【答案】 （C）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法一：当 时，0xsinx:03sinlmkxc3cos2sinlikx20iosclkxx 2103colimkxx22103clikx221
2、1004s4sinlilkkxxcc，故选择（C）.34lim4,3kx方法二：当 时，03sin()!xo)(4)(!3!3sin)( 33xoxxf故 ，选（C ）.,kc（2）已知函数 在 x=0 处可导，且 =0，则 = （ ）f 0f230limxffx（A） 2 （B） （C） （D） 0.0ff f【答案】 （B）【考点】导数的概念【难易度】【详解】2解析： 23 30 0 00limlim2x xff fxfff .fff故应选（B）（3）设 是数列，则下列命题正确的是 （ ） nu（A）若 收敛，则 收敛 （B）若 收敛，则 收敛1n21()nu21()nu1nu（C） 若
3、收敛，则 收敛 （D）若 收敛，则 收敛1nu21()n 21()n1n【答案】 （A）【考点】级数的基本性质【难易度】【详解】解析：由于级数 是级数 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当21()nu1nu收敛时， 也收敛，故（A ）正确.1nu21()n（4）设 ， ， ，则 的大小关系是（ 40lsiIxd40lncotJxd40lncosKxd,IJK） （A） （ B） （C） （D） IJKIJJIJI【答案】 （B）【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】解析：如图所示，因为 时，04x，因此20sincostxlnsilcoslntxx，故选（B）444000lilnlct
4、dxdd（5）设 为 3 阶矩阵，将 的第二列加到第一列得矩阵 ，再交换 的第二行与第三行得单位矩AAB/43阵，记 ， ，则 = （ ） 10P210PA（A） （B） （C） （D） 121221P12P【答案】 （D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知 ， ，1APB2E所以 ，故选（D ）11122ABP（6）设 为 矩阵， 是非齐次线性方程组 的 个线性无关的解， 为任意4313,x312,k常数，则 的通解为（ ） x（A） （B） 2312()k2312()k（C） （D） 231()k 1231()k【答案】 （C）【考点】线性方程组解的
5、性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解【难易度】【详解】解析： 为 的解，因为 线性无关，故 线性无关，123,0Ax321,123,为 的解，故 的通解为2x所以应选（C）.)()(1213kk（7）设 , 为两个分布函数，其相应的概率密度 与 是连续函数，则必为概率1()Fx2 1()fx2f密度的是 （ ） （A） （B）1()f2 2()f1F（C） （D） +x 1x2()fx1【答案】 （D）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】【详解】4解析： 121()()fxFfxd 2112()()FxdFxd12121故选（D）.（8）设总体 X 服从参数为 的泊松分布， 为来自该总体
6、的简单随机(0)12,()nX样本，则对于统计量 和 ，有 （ ） 1niiTX21niniT（A） , （B ） , （D） , 1【答案】 （D）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质【难易度】【详解】解析：由于 是简单随机样本， ， ，12,nX 0iiEXD1,2in且 相互独立，从而12,n， 111()()ni ii iETE121()()n ninini iXXE1()()inEn1E故 12T又 ，112(1)niiDDXn，2 221()()niniT12()1DTn故选（D）.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位
7、置上 .5（9） 设 ，则 .0lim13xttfxf【答案】 3e【考点】重要极限公式【难易度】【详解】解析： 3100lim13lixtxtt tfx 3xe所以有 .xfe（10） 设函数 ，则 .1xyz1,dz【答案】 2ln【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】解析：两边取对数得，lnl(1)xzy由一阶微分形式不变性，两边求微分得 dyxyyxzdyxyzd dyxyxdyz )()1ln()()1ln( )1()(l )ln()(l 2222 将 ， ， 代入得x2,z(1,)lndzdxy（11） 曲线 在点 处的切线方程为 .ta4ye0,【答案】 2yx【考点】隐
8、函数微分法6【难易度】【详解】解析：两边对 求导得 ，xyeyx)1(4(sec2所以在点 处 ，(0,)y从而得到曲线在点 处的切线方程为 ., 2yx（12） 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积为 .21yxxx【答案】 43【考点】定积分的应用【难易度】【详解】解析： 222311 14().Vydxdxx（13） 设二次型 的秩为 1， 中各行元素之和为 3，则 在正交变换123,TfAf下的标准形为 .xQy【答案】 213【考点】用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】解析： 的各行元素之和为 3，即A1A所以 是 的一个特征值.13又因为二次型
9、的秩 .TxA1)(r230因此，二次型的标准形为： .23y（14）设二维随机变量 服从正态分布 ，则 = .,XY2,;N2EXY【答案】 2()【考点】数学期望的性质；相关系数的性质x2y1021yx7【难易度】【详解】解析：因为 ，所以 ，,XY2,;0N2()XN(Y2)(,EDE又因为 ，所以 ， 相互独立.0由期望的性质有 。22()XY2()三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）求极限 012sin1limlxx【考点】无穷小量的比较；洛必达法则【难易度】【详解】解析：
10、当 时，0xln(1)x:012silimlx20sin1limxx20 220 0322 2000in(1)i()lisi()1siinli l1in6lmlilimxx xxxxx（16） （本题满分 10 分）已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值，,fuv1,2f,fuv.求(,)zfxyf21,zxy【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值【难易度】【详解】解析： (,)zfxyffz12xyf81212xxzfffx21221221yxyxyyxyxyfffff为 的极值,uv,1,0xyff2121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyzfff
11、fff（17） （本题满分 10 分）求不定积分 arcsinldx【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析： arcsinlarcsinl22(arcsin2l)xxddxdx22(rsil)(rsil)1txtttt t21(arcinl)4(arcinl)42sdttt tttCxxxC其中 是任意常数.C（18） （本题满分 10 分）证明方程 恰有两个实根.44arctn30x【考点】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：令 ，4()4arctn3fxx则 210当 时， ， 单调递减；(,3)x()fx()f 39
12、当 时， ， 单调递增；(3,)x()0fx()f当 时， ， 单调递减；又因为 .4()4arctn(3)30f 是函数 在 上唯一的零点.3xfx,又因为 8()arct 23f 且 4limli4tn.xxfx由零点定理可知， ，使 ,03,0fx方程 恰有两个实根.4arctnx（19） （本题满分 10 分）设函数 在区间 具有连续导数， ，且满足()fx0,1(0)1f, ，求 的表达(t tDDfydfdxy,(01)txytxt()fx式.【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：因为 00()()()t ttxttxDfxydfydfydx 0 000(
13、)()()()t tytx xtffff ，ttd21()()()t tDDfxyfxytf.20tffdf两边对 求导，得 ,t()()0tt10解齐次方程得212()()dtCfte由 ，得 . 所以函数表达式为 .(0)1f4C24(01)fxx（20） （本题满分 11 分）设向量组 ， ， 不能由向量组 , 1,0T20,1T3,5T1T, 线性表出.23T4a（I）求 的值 ；（II）将 ， ， 用 ， ， 线性表出.123123【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：（I）因为 ，所以 线性无关，12301,5123,又因为 不能由 线性表示，所
14、以 ，123,123,123,r所以 ，123,4050aa所以 5a（II） =123123,（ ）130245041210021021540故 ， ，3123135（21） （本题满分 11 分）11为 3 阶实对称矩阵， 的秩为 2，且AA1100（I）求 的所有特征值与特征向量 ;（II）求矩阵 .【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】【详解】解析：（I）因为1100A所以 ， ，111所以 是 的特征值， 是对应的特征向量；A(,0)T是 的特征值， 是对应的特征向量.22因 知 ，所以 是 的特征值.()r03A设 是 属于特征
15、值 的特征向量，3123,)Tx0因为 为实对称矩阵，A所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即解得13320,Tx3(0,1)T故矩阵 的特征值为 ；特征向量依次为 ，其中A1, 123(,0)(,1),(0,)TTTkk均是不为 0 的任意常数.123,k（II）将 单位化得 ， ，321,10211023令 ，则021),(321Q 0AQT12所以 .101TAQ（22） （本题满分 11 分）设随机变量 与 的概率分布分别为XYX 01P 1/32/3Y 1P / /且 .2()1X（I） 求二维随机变量 的概率分布；(,)XY（II） 求 的概率分布；Z（III） 求 与 的相关系
16、数 .XY【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两个随机变量简单函数的分布；相关系数【难易度】解析：（I）因为 ，所以2()1P2()0P即 ,1,0)1,0( YXYXYX又因为 31)(,31)(3)(3)(,3 YP所以 的概率分布为(,)X Y -1 0 1 Y0 0 30 31 0 2X 11（II） 的所有可能取值为-1，0，1 .ZY1,3PX011ZPZ的概率分布为Y13（） ， ， ，故 ，从而 .23EX0YEX(,)0CovXYEXY0XY（23） （本题满分 11 分）设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布，其中 是由 与 所(,)GG,2xyy围成的三角形区
17、域.（I）求 的概率密度 ；X()Xfx（II）求条件概率密度 .|Yy【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；常见二维随机变量的分布【难易度】【详解】解析：（I）因为 1GS所以 的联合密度为(,)XY1,(),(,)0.xyGfxy由于 dfxf,当 或 时， .02()Xx当 时， ；1x0,1xffyd当 时， ；2()()Xxyx所以 , 0,()21, Xf其 它 .（II） dxyfyfY)()(当 或 时， .010Y当 时， ； y2()1yfx所以 | ,()()XYYffxy, 2,01,0yxy其 他 .Z -1 0 1p 1/3 1/3 1/314
