1、3.3.3点到直线的距离,两点间距离公式,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Q(x2,y1),O,问题：点到直线的距离是怎样定义的?,点到直线的距离的定义：,过点 作直线 的垂线，垂足为 点，线段 的长度叫做点 到直线 的距离,l,P,.,: Ax+By+C=0,(x0,y0),点到直线的距离,Q,P（x0，y0）,l:Ax+By+C=0,问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离？,x,y,P0 (x0,y0),O,|y0|,|x0|,x0,y0,【特殊情形1】,点 到直线 距离,【特殊情形2】,x,y,P0 (x0,y0),O,|x1-x0|,|y1-y
2、0|,x0,y0,y1,x1,0,o,x,y,P,Q,l,推导思路1:,求垂线方程,求交点坐标,求两点间的距离,求点P0（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。其中A 0且B0,此方法思路自然，但运算较为繁琐,【一般情形】,0,若直线不平行于坐标轴(即A 0且B0),由,可得它的斜率是,直线的方程是,即,与,联立，解得,思路二：间接法,x,y,O,面积法求出,求出,求出,利用勾股定理求出,点到直线的距离,S,R,思路二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB0,由三角形面积公式可得：, A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离,注
3、： 在使用该公式前，须将直线方程化为一般式,例1:求点P(-1,2)到直线2x+y-10=0； 3x=2; 2y+3=0的距离。,解： 根据点到直线的距离公式，得,如图，直线3x=2平行于y轴，,用公式验证，结果怎样？,解：如图，直线2y+3=0平行于x轴，,用公式验证，结果怎样？,练习1. 求下列点到直线的距离：,练习2:求下列点到直线的距离: (1) O(0,0), 3x+2y-26=0； (2) A(-2,3), 3x+4y+3=0; (3) B(1,0), (4) C(1,-2), 4x+3y=0.,答案:,例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求ABC的面积,h,练
4、习,2.直线l经过原点，且点M(5,0)到直线 l 的距离等于3，求l 的方程,1.动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为 （ ）,2.,1.C,答案：,A.,B.2,D.4,C.,解：设P(x,0),根据P到l1、 l2距离相等，列式为,=,解得：,所以P点坐标为：,P在x轴上, P到直线l1: x- y +7=0与直线l2: 12x-5y+40=0的距离相等, 求P点坐标。,3.,典型例题,4. 在抛物线 y=4x2 上求一点P, 使P到直线 l: y=4x-5 的距离最短,并求出这个最短距离.,典型例题,解:依题意设 P(x,4x2), 则P到直线l: 4x- y-
5、5=0的距离为,5 直线 l 经过点 P（2，1）,且A（-1，3）到l的距离等于1,求直线 l 的方程 ,解：若l的斜率不存在，则l的方程为：x=-2,显然符合要求。,若l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y-1=k(x+2),即：kx-y+2k+1=0由A到l的距离为1得：,所以k=,综上所述，所求直线方程为：x=-2，或3x-4y+10=0,6.练习 ABC中，A(3，3)，B(2，-2)，C(-7，1)， 求A的平分线AD所在直线的方程。,解：由已知可求的AC边所在的直线方程为x-5y+12=0 AB边所在的直线方程为5x-y-12=0，设M(x,y)为A的 平分线AD上任意一点。由角
6、平分线的定义得：,整理得：y=-x+6或y=x,结合图形可知：,故A的平分线AD所在直线的方程是y=x。,小结：,1.点到直线距离公式：,注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；,2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系.,3.3.4 两平行线间的距离,例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。,两平行线间的距离处处相等,在l2上任取一点，例如P(3,0),P到l1的距离等于l1与l2的距离,直线到直线的距离转化为点到直线的距离,任意两条平行直线都可以写成如下形式：,P,Q,思考：任意两条平行线的距离是多少呢？,注：用两平行线间距离
7、公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。,（两平行线间的距离公式）,例3 已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0，求直线l1 与l2 间的距离。,解：,设l1 与x轴的交点为A，,A点的坐标为:(4，0)。,根据点到直线的距离公式：,点A到l2 的距离为,A(4,0),.,求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程.,解：由题意设所求直线的方程为 则直线l与,的距离,，化简得|6-m|=26，即6-m=26，6-m=-26， 解得m=-20，m=32 则所求直线的方程为5x-12y-20=0或5x-12y+32=0 故答案为：5x-12y-20=0或5x-12y+32=0,例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和 B（4，-5）距离相等的直线L的方程。,（2）两平行直线间的距离： ，,小结：,注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；,注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。,
