1、- 1 -年高考复习之概率统计（理科）热点一：分布列、数学期望和方差1、 分布列: x1 x2 xi P P1 P2 Pi 2、分布列的两个性质： Pi0， i1，2，； P1+P2+=13、 数 学 期 望 : 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 为 的 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 E1px2n性质: ba)(4、方差： D121)px22)(pExnnpEx2)(称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量 的期望性质：（1） ；（2） ；ab)(22)(D5、二项分布: B(n， p)，
2、并 记 b(k； n， p)nkqC 0 1 k nP nqn nq 0qpCE=np, np(1-p) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jD例 1、袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 号的有 个n（ =1,2,3,4）.现从袋中任取一球. 表示所取球的标号.n（）求 的分布列，期望和方差；（）若 , , ,试求 a,b 的值.ab1ED小结：求期望和方差的步骤 S1确定随机变量的允许值；S2 计算相应的概率；S3 写出分布列；S4 代入期望和方差公式求解。练习：1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就
3、签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：12（）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数 的分布列和数学期望.- 2 -2、某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 次击中目标得i1i分，3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次(1)i， ，射击结果互不影响（）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望3、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数
4、 20 50 30（）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元） 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望几种常见题型的解法一、从分类问题角度求概率例 2（日本高考题）袋内有 9 个白球和 3 个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回） ，求第三次取出的球是白球的概率。二、从不等式大小比较的角度看概率例 3 “幸运 52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备 5 道试题，每道题设“Yes ”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，
5、获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有 99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得 1个或 1 个以上的商标？三、从“至多” 、 “至少”的角度看概率.例 4、有三种产品，合格率分别是 0.90、0.95 和 0.95，各取一件进行检验。 （I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有两件不合格的概率（精确到 0.001） 。四、从“或” 、 “且”的角度看概率例 5 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或被乙解出的概率为 0.92。（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。- 3 -相关练习1.（山东卷
6、7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18名火炬手.若从中任选 3人，则选出的火炬手的编号能组成 3为公差的等差数列的概率为（A） （B） （C） （D）5168130482.（福建卷 5)某一批花生种子，如果每 1粒发牙的概率为 ,那么播下 4粒种子恰有 2粒5发芽的概率是A. B. C. D. 162596251926563.（辽宁卷 7）4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A B C D134.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 221
7、p次均未命中的概率为 16（）求乙投球的命中率 ；p（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率5.某单位 6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立） ，1）求至少 3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于 0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个。甲、乙二人依次各抽一题。（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？关于统计问题1.（天津卷 11）一个单位共有职工 200人，其中不超
8、过 45岁的有 120人，超过 45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25的样本，应抽取超过 45岁的职工_人2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_，_，_辆。3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2 ）: - 4 -0.00053000 35000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000元元元元元元元元/元元其中产量比较稳
9、定的小麦品种是。4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量为 128 的样本进行质量检查，若一车间这一天生产 256 件产品，则从该车间抽取的产品件数为 5 （江苏卷）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则xy的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）46 （四川卷）甲校有 名学生，乙校有 名学生，丙校有 名学生，为统计三36050180校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 人的样本，应在这三校9分别抽取学生（A） 人， 人， 人 （B） 人， 人，
10、 人 345（C） 人， 人， 人 （D） 人， 人， 人 217(重庆卷) 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这 100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）508(重庆卷) 某地区有 300 家商店，其中大型商店有 30 家 ，中型商店有 75 家，小型商店有 195 家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A）2 （B）3 （C）5 （D）139 （全国 II）一个社
11、会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 人10 （山东卷）某学校共有师生 2400 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是 .- 5 -09年高考复习之概率统计（答案）热点一：分布列、数学期望和方差1、 分布列: x1 x2 xi P P1 P2 Pi 2、分布列的两个性质： P
12、i0， i1，2，； P1+P2+=13、 数 学 期 望 : 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 为 的 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 E1px2n性质: ba)(4、方差： D121)px22)(pExnnpEx2)(称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量 的期望性质：（1） ；（2） ；ab)(22)(D5、二项分布: B(n， p)， 并 记 b(k； n， p)nkqC 0 1 k nP nqn nq 0qpCE=np, np(1-p) 头htp:/w.xjkygcom126t:/
13、.jD例 1、袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 号的有 个n（ =1,2,3,4）.现从袋中任取一球. 表示所取球的标号.n（）求 的分布列，期望和方差；（）若 , , ,试求 a,b 的值.ab1ED解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分 12 分）解：（） 的分布列为：0 1 2 3 4P 1220102015- 6 - 1131024.50E2 22231(.5)(.5)(.)(.)(4.5).700（）由 ，得 a22.7511，即 又 所以D.a,Eab当 a=2 时，由 121.5+ b,得 b=-2
14、; 当 a=-2 时，由 1-21.5+ b，得 b=4. 或 即为所求.,2b,4小结：求期望和方差的步骤 S1确定随机变量的允许值；S2 计算相应的概率；S3 写出分布列；S4 代入期望和方差公式求解。练习：1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：12（）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数 的分布列和数学期望.解: 用 A，B ， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立，且 P（A）P（ B
15、）P（C） .12（）至少有 1 人面试合格的概率是 37()()()(.8A（） 的可能取值为 0，1，2，3.()()()()PBCPBC ()()AAPABPC 3231()().8( ()PBCPBC= ()()()()AAPABPC- 7 -= 331()().281().PABCPC(3)()(所以， 的分布列是0 1 2 3P38381818的期望012.E2、某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 次击中目标得i1i分，3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次(1)i， ，射击结果互不影响（）求该射手恰好射击两次的概率；
16、（）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望解：（）设该射手第 次击中目标的事件为 ，则 ，i (123)iA， ， ()0.8()0.2i iPA，()()0.28.6iiiPA（） 可能取的值为 0，1，2，3 的分布列为.0.810.32.1630.8275E3、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数 20 50 30（）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；0 1 2 3P0.008 0.032 0.16 0.8- 8 -（）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该
17、种商品两周销售利润的和（单位：千元） 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望解：（）周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3（） 的可能值为 8，10，12，14，16，且P（ =8）=0.2 2=0.04，P（ =10）=20.20.5=0.2 ，P（ =12）=0.5 2+20.20.3=0.37，P（ =14）=20.50.3=0.3 ，P（ =16）=0.3 2=0.09的分布列为8 10 12 14 16P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=1
18、2.4（千元）E几种常见题型的解法一、从分类问题角度求概率例 2（日本高考题）袋内有 9 个白球和 3 个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回） ，求第三次取出的球是白球的概率。解：设 A1=“三次都是白球 ”，则P（A 1）= ;789312A2=“一、三次白球，第二次红球” ，则P（A 2）= ;89312A3=“第一次红球，二、三次为白球” ，则P（A 3）= ;31289A4=“一、二次红球，第三次白球” ，则- 9 -P（A 4）= ;9231而 A1、A 2、A 3、A 4互斥，又记 A=“第三次取出的球是白球” ，则P（A）=P（A 1）+P（A 2）+P（A 3）
19、+P（A 4）= 3说明：本题中关键是学会分解事件 A，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由 P= 得出，请读者琢磨。109)(二、从不等式大小比较的角度看概率例 3 “幸运 52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备 5 道试题，每道题设“Yes ”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有 99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得 1个或 1 个以上的商标？解：设甲没有获得商标的事件为 A，乙没有获得商标的事件为 B，则 P（A）= ,)21(50CP（B） = 5甲、乙没有获得商标的事
20、件为 C，则 P（C）=P （ AB）=P （A）P（B） 。又设甲、乙两选手中至少有一位获得 1 个或 1 个以上的商标的事件为 D。P（D）=1- P（C）=1- .90.0234021)(21505 故有 99%的把握作出如此断定。说明：本题中关键要熟悉事件 D 对立事件是 C，则 P（D）=1-P（C） ，主要以“-”号连接，本题也可由 1- 进行比较。.1024三、从“至多” 、 “至少”的角度看概率.例 4、有三种产品，合格率分别是 0.90、0.95 和 0.95，各取一件进行检验。 （I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有两件不合格的概率（精确到 0.001） 。解：设三
21、种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为 A、B、C。（I）P（ A）=0.90 ，P （B）=P（C）=0.95， .05)(,10.)(因为 A、B、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为- 10 -.1760. )()()()()()()( CPBACPBACPBACPBACP（II）至少有两件不合格的概率 012.)()()()( 答：（略） 。说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“”连接 P（A） 、P（B） 、P（C ）以及 P 、P 、 P 。另外（II）也可由 P=1-P（ABC）-0.176=1-)(AB)(CP（A）P（B）P（C）-0.176 得出。四、从“或” 、
22、 “且”的角度看概率例 5 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或被乙解出的概率为 0.92。（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B。设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为 P2则 P（A）=P 1=0.6，P（B）=P 2P（A+B）=1-P )( .920)(12121 0.6+P 2-0.6P2=0.92.则 0.4P2=0.32 即 P2=0.8（5 分）（2） 08.4.)()0( BA 4.0261 P.80.的概率分布列： 0 1 2P 0.08 0.44 0.48
23、E=00.08 + 10.44 + 20.48 = 1.4D=（0-1.4） 20.08 + (1-1.4)20.44 + (2-1.4)20.48=0.4或利用 D=E（ 2）-（E） 2 = 2.36-1.96=0.4另外如将此题中的“或”改为“且” ，处理方法怎样，请同学思考。相关练习1.（山东卷 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18名火炬手.若从中任选 3人，则选出的火炬手的编号能组成 3为公差的等差数列的概率为 B- 11 -（A） （B） （C） （D）51681304812.（福建卷 5)某一批花生种子，如果每 1粒发牙的概率为 ,那么播下 4粒种
24、子恰有 2粒5发芽的概率是 BA. B. C. D. 162596251926563.（辽宁卷 7）4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）A B C D134.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 221p次均未命中的概率为 16（）求乙投球的命中率 ；p（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12
25、 分（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 16122pBP解得 或 （舍去） ，所以乙投球的命中率为 43p543解法二：设设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 ，于是 或 （舍去） ，()16()PB1()故 314pPB所以乙投球的命中率为 （）解法一：由题设和（）知 21,AP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 43解法二：由题设和（）知 2,AP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 431APAPC- 12 -（）由题设和（）知， 41,3,21, BPAP甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次
26、有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为，1631212 BPCA，49所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为 321649135.某单位 6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立） ，1）求至少 3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于 0.3？解： 1）至少 3人同时上网的概率等于 1减去至多 2人同时上网的概率，即 。2）至少 4人同时上网的概率为，至少 5人同时上网的概率为，因此，至少 5人同时上网的概率小于 。6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个
27、，判断题 4 个。甲、乙二人依次各抽一题。（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有 个，乙依次从判断题中抽到一题的可16C能结果有 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有 个；又甲、乙依14C 16C4次抽一题的可能结果有概率为 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为10C9，所求概率为 ；154906C54（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选19034C择题的概率为 ，所求概率为 。153904C5- 13 -或 ，所求概率为 。19
28、056C190461906C15343153关于统计问题1.（天津卷 11）一个单位共有职工 200人，其中不超过 45岁的有 120人，超过 45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25的样本，应抽取超过 45岁的职工_人102.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_6_，_30_，_10_辆。3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2 ）: 其中产量比较稳定的小麦品种是甲种
29、。4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量为 128 的样本进行质量检查，若一车间这一天生产 256 件产品，则从该车间抽取的产品件数为 16 5 （江苏卷）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则xy的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10) 2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出 x、y，只要求出 ，设 x
30、=10+t, y=10-t, ，选 Dyx24xyt6 （四川卷）甲校有 名学生，乙校有 名学生，丙校有 名学生，为统计三360540180校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 人的样本，应在这三校9分别抽取学生（A） 人， 人， 人 （B） 人， 人， 人 345（C） 人， 人， 人 （D） 人， 人， 人 21解析：甲校有 名学生，乙校有 名学生，丙校有 名学生，为统计三校学生360540180某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 人的样本，应在这三校分别抽9取学生 人， 人， 人，选 B.457(重庆卷) 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区
31、 100 名年龄为 17.5 岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：- 14 -0.00053000 35000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000元元元元元元元元/元元根据上图可得这 100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）50解析：根据该图可知，组距为 2，得这 100 名学生中体重在 的学生人数所占的5.64,频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)2=0.4，所以该段学生的人数是 40，选 C.8(重庆卷) 某地区有 300 家商店，其中大型商店有 30 家 ，中型
32、商店有 75 家，小型商店有 195 家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A）2 （B）3 （C）5 （D）13解：各层次之比为：307519525 13，所抽取的中型商店数是 5，故选 C9 （全国 II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 人解析:由直方图可得 （元）月收入段共有 人250,3) .按分层抽样应抽出 人12510 （山东卷）某学校共有师生 2400 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是 .解：抽取教师为 160-150=10 人，所以学校教师人数为 2400 =150 人。160
