1、第 1 页 共 11 页2013 学年奉贤区调研测试高三数学试卷（理科） 2014.1. （考试时间：120 分 钟，满分 150 分） 命题人： 陆燕群、沈健、沈斌、张海君一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-13 题每个空格填对得 4 分，14 题每空填对得 2 分否则一律得零分.1、设 , , 则 = RU1lg|,0|xyxBxABA2、函数 = 1()1)()f f的 反 函 数3、执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入角 3y4、已知 是公比为 2 的等比数列，若 ，则 = na16anaa215、函数 图像上一个
2、最高点为 , 相邻的一个最)0,(siAxy P低点为 ,则 14Q6、 的三内角 所对边的长分别为 ，设向量 , ，若 ,则角ABC, cba,bcapacq,pq的大小为 7、已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围是 xflg)(ba)(ff8、已知定点 和圆 4 上的动点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 0,42yByxP, OPBA29、直角 的两条直角边长分别为 3,4，若将该三角形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是 ,则 ABC V10、数列 ，如果 是一个等差数列，则 *1Nnan na1a11、在棱长为 的正方体 中, 是 的中点, 若 都是 上1DAC1,EF的点, 且
3、， 是 上的点, 则四面体 的体积是 2EFQ1BEFPQ12、函数 的定义域 ,它的零点组成的集合是 , 的定义域 ,它的零点组成的集合是 ，xfy11 1xgy22D2E则函数 零点组成的集合是 （答案用 、 、 、 的集合运算来表示）g 1E113、已知定义在 R 上的函数 ()yfx对任意的 都满足 ，当 时， 3()fx，若函数xfxfx第 11 题理科图第 2 页 共 11 页()logagxfx只有 4 个零点，则 a取值范围是 14、已知函数 ，任取 ，定义集合: . 设fyRt2, PQxftfPxfyAt ，点分别表示集合 中元素的最大值和最小值，记 .则 (1) 若函数
4、()，则 (1)h= tmM,tAttmMh（2）若函数 ，则 的最大值为 xf2sinth二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15、空间过一点作已知直线的平行线的条数（ ）（A）0 条 （B）1 条 （C）无数条 （D）0 或 1 条16、设 是 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）)(xfR（A） 是奇函数 （B） 是奇函数 )(xf（C） 是偶函数 （D） 是偶函数)(xf 17、椭圆 的内接三角形 （顶点 、 、 都在椭圆上）210)yabACC的边 分别过椭
5、圆的焦点 和 ，则 周长（ ）,AB1F2B（A）总大于 （B）总等于 6 6a（C）总小于 （D）与 的大小不确定a18、 *设双曲线 上动点 到定点 的距离的最小值为 ，则 的值22*()()nxynNP(1,0)Qndlimn为（ ）（A） （B） （C） 0 （D）1212三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、如图，正三棱锥 中，底面 的边长为 2，正三棱锥 的体积为 ， 为线段 的PACPABC1VMBC中点，求直线 与平面 所成的角（结果用反三角函数值表示） 。 （12 分）MB第 17 题图0MA C
6、BP第 3 页 共 11 页20、已知函数 2cos3s2in)( xxxf（1）求方程 0的解集；（8 分）（2）当 ，求函数 的值域。 （6 分）2,x)(xfy21、在直角坐标系 中，点 到两点 的距离之和等于 4，设点 的轨迹为 ，直线xOyP0,2,PC与 交于 两点1ykxCBA,（1）线段 的长是 3，求实数 ；（9 分）k（2）若点 在第四象限，当 时，判断| |与| |的大小，并证明（5 分）0OAB22、投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得 101000 万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而
7、增加，且奖金不低于 万元，同时不yx 1超过投资收益的 .20%（1）设奖励方案的函数模型为 ，试用数 学语言表述公司对奖励方案的函数模型 的基本要求；(4 分）()f ()fx（2）公司预设的一个奖励方案的函数模 型： ；试分析这个函数模型是否符合公司要求；（6()2150xf分）（3）求证：函数模型 是符合公司的一个奖励方案（ 6 分） 。,2,1axg第 4 页 共 11 页23、已知数列 的各项均不为零， ，且对任意 ，都有 nama21, *nNcann221（1）设 若数列 是等差数列，求 ；（5 分）,cn（2）设 当 时，求证： 是一个常数；（6 分）,*,2Nna1（3）当
8、时，求数列 的通项公式（7 分）1mcn第 5 页 共 11 页2013 学年奉贤区调研测试高三数学试卷（理科）参考答案1. 填空题 (本大题满分 56 分）1. 2. 3. 4. 1,04logx321n5. 6. 7. 8. 43(2,)yx9. 10. 3 11. 12. 8534a1212()ED（13. 14. (1) 2 (2) 231,二选择题（本大题满分 20 分）15. D 16. D 17. C 18. A3解答题（本大题满分 74 分）19. 如图，连接 AM，过点 P 作 PH 垂直于 AM 于 H正三棱锥 PABC 中3 分BCMBCAAPMAP为 的 中 点 平 面
9、为 的 中 点又 PH 为平面 PMA 中的一条直线知 BCH由 且 知 5 分HAMPA平 面为直线 PM 与平面 ABC 所成的角（或其补角） 6 分P因为正三棱锥 底面 的边长为 2，体积为A1V所以由 知 8 分13ABCVS2334BCVS，所以 9 分BCPHMH平 面为 边 上 的 中 线 为 的 重 心为 等 边 三 角 形 13HMAMA CBPH第 6 页 共 11 页中 11 分RtPHM3tanPH得 ，rct3故直线 与平面 所成的角为 （或 或 ） 12 分PABCarctn310arcos310arcsin20. （1）解法一：由 0)(xf，得 2si2oxx1
10、 分由 02cosx，得 k， k（ Z） 4 分由 s3in，得 tax， 3k， 32kx（ ） 7 分所以方程 0)(f的解集为 Zkx,或8 分解法二： 23sin)1(co23sin1)( xf4 分由 0)(xf，得 3i， 3)1(3kx， Z， 所以方程 )(f的解集为 kk,)(8 分（2） 23sin)1(co23sin1)( xxxf因为 所以 所以 12 分,0x5+,61i(),所以 14 分13(),2f21. 解：（1）设 ，由椭圆定义可知，点 的轨迹 是以 为焦点，长半轴为 2 的椭圆， yxP, PC0,2,2 分， 3 分b故曲线 的方程为 4 分C124y
11、x第 7 页 共 11 页设 ，其坐标满足12()()AxyB， 124kxy消去 并整理得 ， 5 分02kx6 分832k8 分2221183kxAB， 9 分8322k,2（2） 10 分OAB2221()xy22121 4xx12 分212212121 k因为 A 在第四象限，故 由 知 ， 0x2,kx0x从而 又 ， 13 分12xk故 ，即在题设条件下，恒有 14 分0OB OAB22. 解：（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型 的基本要求是：()fx当 时，,x 是增函数； 恒成立； 恒成立 4 分f1fx5fx（2）对于函数模型 ：250当 时， 是增函数， 5 分10,
12、xfx则 显然恒成立 6 分f而若使函数 在 上恒成立，整理即 恒成立，()2150fx10, 2930x而 ， 8 分min(29 不恒成立 9 分fx故该函数模型不符合公司要求 10 分第 8 页 共 11 页（3）对于函数模型 1axg时， 显然单调递增 11 分10,x成立51minag 恒成立 12 分x方法一（分析法）：欲证： 时， 恒成立10,51xa等价于 ， 恒成立25xa0,等价于 恒成立 （*） 13 分,1,又 在 单调递增125yx0x故 min215，所以（*） 成立 14 分1,2a所以 时， 恒成立 15 分0,x51xa符合公司的模型 16 分1ag方法二：设
13、 ，5xxh10021x=5121 aa 511221xax12121xx 10,0,00 2121 axa21ax 3,2,1,10, nanm第 9 页 共 11 页单调递增nm120，所以63 05112ax单调递减 14 分051xaxh 1,2,3120a0311a恒成立 0xh恒成立 15 分5x符合公司的模型 16 分1axg23. 解：(1) 由题意得： 1 分12mad2 分, 21 nnmnnn221a3 分1)()()(m5 分（2）计算 ， ，猜想 7 分123maa23an1欲证明 恒成立n1只需要证明 恒成立 121nnaa即要证明 恒成立 21n即要证明 恒成立
14、（*） 9 分2nna10 分1,1, 21221 nnn aa（*）左边= 221nn第 10 页 共 11 页（*）右边= 12na所以(*)成立 11 分方法二：计算 ， ，猜想 7 分23m231 man1,11221 nnnn aa29 分2121nnn由于 ，上式两边同除以 ，0a1a得 121().nn所以， 11 分2131 28.nnaaa所以 是常数 11 分man（3）计算 ， ，12321223mca类比猜想 12 分1nacacnn 1221,2n2121nna由于 ，上式两边同除以 ，01a得 121().nna所以， 2131 28.nnaa所以 是常数 13 分na第 11 页 共 11 页所以 14 分 21na011nn11man23,2, 432 a猜想 15 分)(1nnn用数学归纳法证明： 时 ， 成 立 ，显 然假设 成 立 ，时 ， 21)(kmaknkk则 1ka时 ，1()kkm)2(1 kmak17 分)1(1kk11所以对一切 18 分成 立 ，时 ，naNnnn
