多次相遇和追及问题.doc

1、3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 0 of 153-1-3 多次相遇和追及问题教学目标1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“ ”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复度杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解【例 1】 （难度等级 ）甲、乙两名同学在周长为 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每30秒钟跑 米，乙每秒钟跑 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？3.54【 从开

2、始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑 米，乙的速度 为每秒钟跑 4 米，所以 这段时间内甲共01.5行了 米，也就是甲最后一次离开出发点 继续行了 200 米，可知甲 还需行.10354米才能回到出 发点2【巩固】 （难度等级 ）甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒 2 米如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？【 17一共六百秒，第一次相遇是两人总共跑一个90米，以后是 180米相遇次。相对速度每秒五米。第一次相遇是18秒。180 米相遇需要36秒。此后是582秒总

3、共有16次。所以相遇17次。【巩固】 （难度等级 ）甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?【 176甲乙每分钟速度和:400 58=250米3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 1 of 15每分钟,甲比乙多:0.160=6米甲每分钟:(250+6)2=128米1288400=2.224相遇点与 A 最短路程为400-224=176米【二、运用倍比关系解多次相遇问题【例 2】 （难度等级 ）上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发

4、，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？【 画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明 骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托 车的速度是 88=1（千米/分），爸爸骑行 16 千米需要 16

5、分钟.881632.所以这时是 8 点 32 分。【例 3】 （难度等级 ）甲、乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地 95 千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地 25 千米处相遇求 A、B 两地间的距离是多少千米？【 画线段示意图( 实线表示甲车行进的路线，虚 线表示乙 车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B 两地间的距离当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲 车行了 95 千米，当它们共行三个 A、B 两地间的距离 时，甲 车就行了 3 个 95 千米，即

6、953=285（千米），而 这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得： 953-25=285-25=260(千米)3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 2 of 15【巩固】 （难度级别 ）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【 43=12 千米，通过画图，我 们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距 B 地的 3 千米，所以全程是 12-3=9 千米，所以两次相遇点相距 9-（

7、3+4）=2 千米。【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 5 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【 4 千米【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 6 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 4 千米处第二次相遇，求两人第 5 次相遇地点距 B 多远.【 12 千米【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发

8、，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【 90 千米【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 3 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 2 千米处第二次相遇，求第 2000 次相遇地点与第 2001 次相遇地点之间的距离.【 4 千米【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 18 千米，相遇后二人

9、继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 13千米处第二次相遇，求 AB 两地之间的距离.【 41 千米【例 4】 （难度等级 ）如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 3 of 15【 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共12走完 1+ 圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相遇时123乙行走的总路程为第

10、一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 1003=300 米有甲、乙第二次相遇 时，共行走(1 圈60)+300，为 圈，所以此 圆形场地的周 长为 480 米32【巩固】 （难度等级 ）如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇， C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.【 360【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少

11、米？【 340三、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第 1 次相遇，共走 1 个全程；第 2 次相遇，共走 3 个全程；第 3 次相遇，共走 5 个全程；， ；第 N 次相遇，共走 2N-1 个全程；注意：除了第 1 次，剩下的次与次之 间都是 2 个全程。即甲第 1 次如果走了 N 米，以后每次都走 2N 米。2. 同地同向出发：第 1 次相遇，共走 2 个全程；第 2 次相遇，共走 4 个全程； 第 3 次相遇，共走 6 个全程；3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 4 of 15， ；第 N 次相遇，共走 2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关 键多次相遇追及

12、的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例 5】 小明和小红两人在长 100 米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为 6 米/秒，小红的速度为 4 米/ 秒他们同时从跑道两端出发，连续跑了 12 分钟在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用 时间为： (秒)此后，两人每相遇一106410度次，就要合跑 2 倍的跑道长，也就是每 20 秒相遇一次，除去第一次的 10 秒，两人共跑了(秒) 求出 710 秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的 总次数列126071式计算为： (秒)， ，共相遇 (次)。注：解决640度12602

13、35度 356问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长【例 6】 、 两地间有条公路，甲从 地出发，步行到 地，乙骑摩托车从 地出发，不停地往返于ABABB、 两地之间，他们同时出发，80 分钟后两人第一次相遇，100 分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达 地时，乙追上甲几次？【F E BA由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在 (分钟)内所走的路程恰等于1082线段 的长度再加上线段 的长度，即等于甲在 ( )分钟内所走的路程，因此，乙的速度FAAE是甲的 9 倍( )，则 的长为 的 9 倍，所以，甲从 到 ，共需走 (分1802BFAB80(19)0钟)乙第

14、一次追上甲时，所用的时间为 100 分钟，且与甲的路程差为一个 全程从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个 全程，因此，追及时间也变为 200 分钟( )，AB 2所以，在甲从 到 的 800 分 钟内，乙共有 4 次追上甲，即在第 100 分钟，300 分钟，500 分钟和A700 分钟【例 7】 （难度等级 ）甲、乙两人分别从 、 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的 ，AB23二人相遇后继续行进，甲到 地、乙到 地后立即返回已知两人第二次相遇的地点距第三次B相遇的地点是 100 千米，那么， 、 两地相距 千米【 由于甲、乙的速度比是 ，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比

15、也是 第一次相遇时，2:3 2:3两人共走了一个 的长，所以可以把 的长看作 5 份，甲、乙分 别走了 2 份和 3 份；第二次相AA遇时，甲、乙共走了三个 ，乙走了 份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个 ，乙走了236AB份 乙第二次和第三次相距 106=4（份）所以一份距离 为：1004=25 （千米），那么 、2510两地距离为：525125（千米）B3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 5 of 15【巩固】 （难度等级 ）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地 3 千米处相遇，第二次在距甲地 6 千米处相遇(追上也

16、算作相遇) ，则甲、乙两地的距离为 千米【 由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在 处相遇，第二次在 处相遇由于AB第一次相遇时两人合走 1 个全程，小王走了 3 千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走 2 个全程，所以这期间小王走了 千米，由于 、 之间的距离也是 3 千米，所以 与乙地的距离326AB为 千米，甲、乙两地的距离 为 千米；(63)2.561.57BAA B如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在 处相遇，相遇后小王继续向前走，

17、小李A走到甲地后返回，在 处追上小王在这个过程中，小王走了 千米，小李走了 千B63639米，两人的速度比为 所以第一次相遇时小李也走了 9 千米，甲、乙两地的距离为3:91千米9312所以甲、乙两地的距离为 千米或 12 千米7.5【巩固】 （难度级别 ）A，B 两地相距 540 千米。甲、乙两车往返行驶于 A，B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从 A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中 P 地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？【 第一次相遇，甲乙 总 共走了 2 个全程，第二次相遇，甲乙总共走了 4 个全程，乙比甲快，相遇又在P 点，所以可以根

18、据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个 P 点到第二个 P 点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为 3 份，第一次相遇甲走了 2 份乙走了 4 份。第二次相遇，乙正好走了 1 份到 B 地，又返回走了 1 份。这样根据总结：2 个全程里乙走了（5403）4=1804=720 千米，乙 总共走了 7203=2160 千米。【例 8】 （难度级别 ）小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回） ，他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？【 画示意图如下

19、.3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 6 of 15第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.5310.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（322）倍的行程.其中张走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村 1 千米.四、解多次相遇问题的工具柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直

20、接画时间-距离 图，再画上密密麻麻的交叉 线，按要求数交点个数即可完成。折线示意 图往往能够清晰的体现运动过 程中“相遇的次数”， “相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程” ，使用折线示意 图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我 这样的一般人儿来说不容易。【例 9】 （难度级别 ）每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中均要航行七天七夜试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【 这就是著名的柳卡问题下面介 绍的法国数学家柳卡 斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法

21、他先画了如下一幅图：这是一张运行图在平面上画两条平行 线，以一条直 线表示哈佛，另一条直线表示纽约那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用 图中的两组平行线簇来表示图中的每条线段分别表示每条船的运行情况粗线表示从哈佛驶 出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用 实线表示）会与从纽约开出的 15 艘轮船相遇（图中用虚线表示）而且在 这相遇的 15 艘船中，有 1 艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1 艘是到达纽约时遇到（ 刚好从纽约开出），剩下 13 艘 则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和

22、子夜如果不仔细思考，可能认为仅 遇到 7 艘轮船 这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 7 of 15【巩固】 （难度级别 ）一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出问他从乙站到甲站用了多少分钟？【 先让学生用分析间隔的方式来解答：骑车人一共看到 12 辆车，他出 发时看到的是 15 分钟前发 的车

23、，此 时第 4 辆车正从甲发出骑车中，甲站发出第 4 到第 12 辆车 ，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 （分钟）580再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示 5 分钟第二步：因为电车走完全程要 15 分钟，所以 连接图中的 1 号点与 P 点（注意：这两点在水平方向上正好有 3 个间隔，这表示从甲站到乙站的 电车走完全程要 15 分钟），然后再分 别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车第三步：从图中可以看出，要想使乙站出 发

24、的骑车人在途中遇到十 辆迎面开来的电车，那么从 P点引出的粗线必须和 10 条平行线相交， 这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行线从图中可以看出，骑车人正好 经历了从 P 点到 Q 点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了（分钟）5840对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！【例 10】 （难度级别 ）甲、乙两人在一条长为 30 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 1 米，乙的速度是每秒 米如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了 10 分钟后，共相遇0.6几次？【 采用运行图来解决本题相当精彩！首先，甲跑一个全程需 （秒），乙跑一个全程需 （秒）与上 题类似，画运

25、行图30130.65如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 8 of 15从图中可以看出，当甲跑 5 个全程 时，乙刚好跑 3 个全程，各自到了不同两端又重新开始， 这正好是一周期 150 秒在这一周期内两人相遇了 5 次，所以两人跑 10 分 钟，正好是四个周期，也就相遇了 （次）5420【例 11】 （难度等级 ） (2009 年迎春杯复赛高年级组)A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 100 千米处甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发，相向而行，甲船到达 B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来

26、路线返航水速为 2 米/秒，且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距 20 千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒【 本题采用折线图来分析较为简便NMFEDCBA如图，箭头表示水流方向， 表示甲船的路线， 表示乙船的路线，两个交点AEBDF、 就是两次相遇的地点N由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分 别相同，那么两船 顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表 现在图中，就是 和 的长度相同， 和 的长度CEADCF相同那么根据对称性可以知道， 点距 的距离与 点距 的距离相等，也就是说两次相遇地点MBCN与 、 两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距 20

27、 千米，所以第一次相遇时，两船分别AB走了 千米和 千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为1024014066:43:而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍，即 为 4 米/ 秒，可得顺水速度为 米/ 秒，4321那么两船在静水中的速度为 米/ 秒10【例 12】 （难度等级 ）A、 B 两地相距 1000 米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼乙跑步每分钟行 150 米，甲步行每分钟行 60 米在 30 分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇) ？最近距离是多少？一个周期内共有 5 次相遇，其中第1，2，4，5 次是迎面相遇，而第

28、 3 次是追及相遇3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 9 of 15【 甲、乙的运行 图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇在 30 分钟内，两人共行了 (150 60) 30 6300 米，相当于 6 个全程又 300 米，由图可知，第 3 次相遇时距离 A 地最近，此时两人共走了 3 个全程，即 1000 3 =3000 千米，用时 3000（150+60）=100/7 分钟，甲行了 60100/7=6000/7 米，相遇地点距离 B 地 1000-6000/7 143 米【巩固】 （难度等级 ）A 、 B 两地相距 950 米甲、乙两人同时由 A

29、 地出发往返锻炼半小时甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？【 半小时内，两人一共行走 （40 150） 30 =5700 米，相当于 6 个全程，两人每合走 2 个全程就会有一次相遇，所以两人共有 3 次相遇，而两人的速度比 为 40 :150= 4 :15，所以相同时间内两人的行程比为 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的 ，距离 B 地 11/19 个全程；第482159二次相遇甲走了 16/19 个全程，距离 B 地 3/19 个全程；第三次相遇甲走了 24/19 个全程，距离 B 地 5/19 个全程，所以甲、乙两人第二

30、次迎面相遇时距离 B 地最近【巩固】 (2008 年国际小学数学竞赛) 、 两地相距 ，甲、乙两人同时从 地出发，往返 、A950mAA两地跑步 分钟甲跑步的速度是每分钟 ；乙跑步的速度是每分钟 在这段时间B904150m内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离 点的距离最近？B【 （分钟）甲、乙两人合走一个全程需要 分钟，每合走 个全程相遇一次，所5145度 2以总共相遇 次而甲每 分钟走 （ ）并且与乙相遇一次，因 为(2)1010（ ）也就是当甲、乙两人第 次相遇时甲离 地 为最小，在第 次相遇90370m7507时他们离 点距离最近B【巩固】 （难度等级 ）A、 B 两地相距

31、2400 米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动甲、乙两人第几次相遇时距 A 地最近？最近距离是多少？【 第二次， 800 米五、多次相遇问题变道问题3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 10 of 15【例 13】 （难度等级 ）( 仁华入学试题)甲、乙两车同时从同一点 出发，沿周长 6 千米的圆形A跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相

32、遇的地点距离 点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇 )A【 第一次是一个相遇过程，相遇 时间为： 小时，相遇地点距离 点：6(5)0.A千米然后乙车调头，成 为追及过程，追及时间为： 小时，乙车在50.2.75 6(5)0.6此过程中走的路程为： 千米，即 5 圈又 3 千米，那么这时距离 点 千0.3 3275.米此时甲车调头，又成为相遇过 程，同 样方法可计算出相遇地点距离 点 千米，然后A乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走 5 圈又 3 千米，所以此时两车又重新回到了 点，并且行驶的方向与最开始相同A所以，每 4 次相遇为一个周期，而 ，所以第 11 次相遇的地

33、点与第 3 次相遇的地点是1423相同的，与 点的距离是 3000 米【例 14】 （难度等级 ）下图是一个边长 90 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲逆时针每分行 75 米，乙顺时针每分行 45 米两人第一次在 CD 边（不包括 C，D 两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？【 两人第一次相遇需 分，其 间乙走了 （米）由此知，乙每走 135 米两360(754)34531人相遇一次，依次可推出第 7 次在 CD 边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）【例 15】 （难度等级 ）如图所示，甲、乙两人从长为 米的圆形跑道的 点背向出发跑步。0A跑道右半部分( 粗线部分）道路比较

34、泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒 米。两人一直跑下去，问：他们第8 499 次迎面相遇的地方距 点还有 米。A A【 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥 泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间 分别相同，那么两人所用的 总时间也就相同，所以，两人同时出发 ，跑一圈后同 时回到 点，即两人在 点迎面相遇，然后再从 点出AAA发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈 为周期3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 11 of 15在第一个周

35、期内，两人同时出 发背行而行，所以在回到出 发 点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出 发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是点本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与 点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A A点的距离对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度 较快，所以甲从出 发到跑完正常道路时，乙才跑了 米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此 时两208410人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了 米， 这就

36、是第一105次相遇点与 点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与 点的距离AA【例 16】 （难度等级 ）如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有200 米路程相重甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?AABA【 根据题意可知，甲、乙只可能在 右侧的半跑道上相遇AB易知小跑道上 左侧的路程为 100 米,右侧的路程为 200 米,大跑道上 的左、右两侧的路程均AB AB是 200 米我们将甲、乙的行程状况分析清楚当甲第一次到达 点时,

37、乙还没有到达 点,所以第一次相遇一定在逆时针的 某处而当乙第一次到达 点时，所需 时间为 秒,此时甲跑了 米,在离 点20456503米处30210乙跑出小跑道到达 点需要 秒,则甲又跑了 米,在 点左边A121A米处(5)所以当甲再次到达 处时,乙还未到 处,那么甲必定能在 点右边某处与乙第二次相遇BBB从乙再次到达 处开始计算,还需 秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了(405)(6435秒502310所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 米10【例 17】 （难度等级 ）下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30厘米。两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方

38、向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 12 of 15【 我们知道，大小 圆只有一个公共点 (内切)，而在 圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A 点，另一只在过 A 的直径另一直径端点 B，所以在小圆甲虫跑了 n 圈，在大 圆甲虫跑了 m 圈；12于是小圆甲虫跑了 30n，大圆 甲虫跑了 48(m )48m24因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以 30n48m24；即 5n8m4，有不定方程知识，解出有 n4， m2，所以小甲虫跑了 2 圈后，大小甲虫相距最 远。【例 18

39、】 （难度等级 ）如图所示，甲沿长为 米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小40圆八字形跑步( 图中给出跑动路线的次序： ） 。如果甲、乙两人同时从 点1231 A出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒 3 米和 5 米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。43 21BA【 从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在 、 两点 处相遇（本题中， 虽然在 处时两人都是顺时ABB针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）从 到 ，在大圆周上是半个 圆周，即 200 米；在小圆周上是整个小 圆圆周，也是 200 米两人的A速度之比为 ，那么两人跑 200 米所用的时间之比为 设甲跑 200 米

40、所用的时间为 5 个时3:5 5:3间单位，则乙跑 200 米所用的 时间为 3 个时间单位根据 题 意可知，1 个时间单位为3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 13 of 15秒40235可以看出，只有甲跑的时间是 5 个时间单位的整数倍时，甲才可能在 点或 点，而且是奇数倍AB时在 点，是偶数倍时在 点；乙跑的 时间是 3 个时间单位的整数倍 时，乙才可能在 点或 点，BA AB同样地，是奇数倍时在 点，是偶数倍时在 点BA要使甲、乙在 、 两点处相遇，两人所跑的时间应当是 15 个时间单位的整数倍（由于 3 和 5 的奇偶性相同，所以只要是 15 个 时间单位的整数倍

41、甲、乙两人就能相遇），可以是 15 个时间单位、30 个时间单位、45 个时间单位 所以两人第三次相遇是在 过了 45 个时间单位后，也就是 说，出发后 秒两人第三次相遇40563也可以画表如下：ABABABAB甲 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45乙 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45从中可以看出，经过 15 个时间单 位后两人同在 点， 经过 30 个时间单位后两人同在 点，经过45 个时间单位后两人同在 点， 这是两人第三次相遇B【例 19】 （难度等级 ）三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、

42、乙两只爬虫分别从 、 两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，A乙爬虫绕 3、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20厘米和每分钟 l5 厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?321BA【 根据题意，甲爬虫爬完半圈需要 分钟，乙爬虫爬完半圈需要 分2105.221057钟由于甲第一次爬到 1、2 之间要 分钟，第一次爬到 2、3 之间要 分钟，乙第一次爬到. .52、3 之间要 7 分钟，所以第一次相遇的地点在 2 号环形跑道的上半圈处由于甲第一次爬到 2、3 之间要 分钟，第二次爬到 1、2 之间要 分钟，

43、乙第一次爬到 1、2. .7之间要 14 分钟，所以第二次相遇的地点在 2 号环形跑道的下半圈 处当两只爬虫都爬了 14 分钟时，甲爬虫共爬了 米， (米) ，所以甲0480218035在距 1、2 交点 35 米处，乙在 1、2 交点上，还需要 (分钟) 相遇，所以第二次相遇 时，35(两只爬虫爬了 分钟45所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了 厘米201【例 20】 （难度等级 ）从花城到太阳城的公路长 12 公里在该路的 2 千米处有个铁道路口，是每关闭 3 分钟又开放 3 分钟的还有在第 4 千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2 分钟红灯后就亮 3 分钟绿灯小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 14 of 15通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？【 画出反映交通灯红绿情况的 s t 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 0.5 千米分钟，此时恰好经过第 6 千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24 分钟