1、1 第03讲：导数中的二次求导问题 【知识要点】 1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高 考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高 考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、 概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与 一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题 “一次求导” ，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找 到导数的正负，找到原
2、函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综 合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新 途径. 【方法讲评】 方法 二次求导 使用情景 对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度 较大甚至根本解不出. 解题步骤 设 ，再求 ，求出 的解，即得到函数 的单调性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得 到函数 的单调性. 【例1】(理2010全国卷第20题)已知函数 . （）若 ，求 的取值范围；（）证明：化简得 ，2 所以两边同乘 可得 ，所以有 ，在对 求导有 ，即当 时， 0， 在区间 上为增函数；当 时， ；当 时， 0， 在区
3、间 上为减函数. 所以 在 时有最大值，即 .又因为 ，所以 . 当 时，同理，当 时， ，即 在区间 上为增函数，则 ，此时， 为增函数，所以 ，易得 也成立. 综上， 得证. 方法二：（） ，则 题设 等价于 . 令 ，则 . 当 时， ；当 时， ， 是 的最大值点，所以 . 综上， 的取值范围是 . （）由（）知， ，即 .3 当 时， 因为 0，所以此时 . 当 时， . 所以 【点评】 （1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来 得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用 了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们
4、不易想出.（2）大家一定要理解二次求 导的使用情景，是一次求导得到 之后， 解答难度较大甚至解不 出来. （3）二次求导之后，设 ，再求 ，求出 的 解，即得到函数 的单调性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即 可得到函数 的单调性. 【例2】设函数 （）若 在点 处的切线为 ，求 的值；（）求 的单 调区间； （）若 ，求证：在 时， 【解析】（） ， 在点 处的切线为 ，即 在点 的切线的斜 率为 ， ， ，切点为 ，4 将切点代入切线方程 ，得 ，所以 ， ；（） ， ， 要证：当 时， ，即证： ， 令 ，则只需证： ， 由于 ，（由于不等式 是超越不等式,所以此处解不等式 解
5、答不出，所以要构造函数二次求导.） 设 所以函数 在 单调递增，又因为 . 所以 在 内存在唯一的零点，即 在 内存在唯一的零点，设这个零点 为 .5 【点评】（1）由于不等式 是超越不等式,所以不等式 解答不 出，所以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因. （2）仅得到函数 在 单调递增是不够的，因为此时 ，所以 ，所以 的单调 性还是不知道，所以无法求 .所以必须找到这个零点和零点所在区间，这个零点和 零点的区间找到很关键很重要，直接关系到 的单调性和 . 【反馈检测1】 【2017课标II，理】已知函数 ，且 . (1)求 ；(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 . 【反馈检测2】
6、已知函数 R 在点 处的切线方程为 . （1）求 的值；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围； （3）证明：当 N ，且 时， .6 高考数学热点难点突破技巧第03讲： 导数中二次求导问题参考答案 【反馈检测1答案】 （1） ；（2）证明略. 【反馈检测1详细解析】 （1） 的定义域为 设 ，则 等价于 因为 若 ，则 .当 时， 单调递减；当 时， 0， 单调递增.所以 是 的极小值点，故 ，综上， . 又 ，所以 在 有唯一零点 ，在 有唯一零 点1，且当 时， ；当 时， ，当 时， . 因为 ，所以 是 的唯一极大值点. 由 ，由 得 . 因为 是 在（0,1）的最大值点，由 得
7、 ，所以 . 【反馈检测2答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析. 【反馈检测2详细解析】 （1）解： ， .7直线 的斜率为 ，且过点 ， 即 解得 . 令 ，则 . 当 时， ，函数 在 上单调递增，故 从而，当 时， ，即函数 在 上单调递增，故 . 因此，当 时， 恒成立，则 . 所求 的取值范围是 . 解法2：由（1）得 . 当 时， 恒成立，即 恒成立. 令 ，则 . 方程 （）的判别式 . （）当 ，即 时，则 时， ，得 ，8 故函数 在 上单调递减. 由于 ， 则当 时， ，即 ，与题设矛盾. （）当 ，即 时，则 时， . 故函数 在 上单调递减，则 ，符合题意. 而 由（）知，当 时， ，得 ，从而 . 故当 时， ，符合题意. 综上所述， 的取值范围是 . （3）证明：由（2）得，当 时， ，可化为 ， 又 ， 从而， . 把 分别代入上面不等式，并相加得，9.
