1、1 第一部分 高级宏观经济学的数学基础 高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。 动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论、动态规划。 第一讲 变分法 本讲主要介绍古典的动态最优化理论 变分法。 一、动态最优化 的几个基本概念 注：静态最优化的解是一个最优点；动态最优化的解是最优 路径 。 （一）动态最优化问题的基本要素 2 3 （三）泛函的变分 二、泛函的极值与变分 法 4 # 变分问题就是求泛函的极大值或极小值，求泛函极值的方法就是变分法。 变分问题的一般形式： 三、泛函极值的必要条件（一阶条件 欧
2、拉方程 ） 证明略 # 欧拉方程 （ 5-19）就是欧拉方程，可以看出欧拉方程是二阶微分方程，求泛函的极值就转化为解这个二阶微分方程，它的解就是极值曲线 x*= x*(t)。 利用欧拉方程解出极值曲线，也就解出了动态最优化问题。 5 注： 欧拉方程的推导： 6 四 、泛函极值的 充分 条件（ 二 阶条件） 五、例题 【例 1】：求极值曲线 2 20 ( 1 2 )V y ty y d t . . (0) 0s t y ， (2) 8y 解： 欧拉方程 yy dFF dt 12yFt ， 2yFy ， 2yd Fydt ， 由欧拉方程有 2 12 0yt 2 13y t c 3 12y t c t c 7 再由两个约束 条件确定 312 0c c y t 需要说明的是，欧拉方程仅仅是一阶条件。和静态优化问题一样，一阶条件只是说明了极值的特征。由于对本课程的学习而言，找到一阶条件就是够了，所以我们不会涉及到二阶条件的讨论。有兴趣的 同学 可以参见蒋中一动态优化基础。 此外，对于其他扩展形式下的泛函极值问题，也可参见蒋中一动态优化基础 以及 Kamien & Schwartz Dynamic Optimization 。 【例 2】 Ramsey 模型 中 消费者 最优 问题 8
