1、2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 1 页 共 10 页北京市西城区（北区）2012 2013 学年度第二学期学业测试高一数学 2013.7试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟三题号 一 二17 18 19 20 21 22本卷总分分数一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1在数列 中， ，且 ，则 等于 ( )na12na14aA. 8B. 6C. 9D. 72将一根长为 米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于 米的概率是( 3 1)A. 14B. 1C. 12D. 233在 中，若 ，则 的形
2、状是( )ABC22abcABCA.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定4若 ，则下列不等式成立的是( )0abA. 3B. abC. 1abD. 1ab5若实数 满足 则 的最小值是( ),xy10， 2zxyA. 2B. 0C. 1D. 16执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ s）A. 2B. 1C. 3i0,3is输出 s结束是否4i1s开始2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 2 页 共 10 页D. 237已知在 100 件产品有 5 件次品，从中任意取出 3 件产品，设 表示事件“3 件产品全A不是次品” ， 表示事件“3 件产品全是次品” ， 表
3、示事件“3 件产品中至少有 1 件次BC品” ，则下列结论正确的是( )A. 与 互斥CB. 与 互斥C. 任意两个事件均互斥 D. 任意两个事件均不互斥8口袋中装有三个编号分别为 1，2，3 的小球. 现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次. 则“两次取球中有 3 号球”的概率为（ ）A. 59B. 49C. 25D. 129设 为坐标原点，点 ， 是 正半轴上一点，则 中 的最大值为（ O(,3)ABxOAB）A. 43B. 5C. 54D. 4510. 对于项数为 的数列 和 ，记 为 中的最小值.mnabk12,(1,2)kam 给出下列判断:若数列 的前 项是
4、，则 ；nb5,343若数列 是递减数列，则数列 也一定是递减数列；na数列 可能是先减后增数列；n若 ， 为常数，则 .1+=(,2)kmbaCkm C(1,2)iabm其中，正确判断的序号是（ ）A. B. C. D. 10.略解：关于.由已知 ，所以 ， ，+1kb1mkmkCa1kmka即 为不严格减数列，na所以 .(,2)i二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 3 页 共 10 页11. 不等式 的解集为_.20x12. 在 中， ，则 _.ABC,3,150bcAa13. 某校高一年级三个班
5、共有学生 名，这三个班的男、女生人数如右表所示.2已知在全年级学生中随机抽取 1 名，抽到二班女生的概率是 .则 _；现用分层抽02x样的方法在全年级抽取 名学生，则应在三班3抽取的学生人数为_. 14. 甲、乙两人各参加了 5 次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图.已知甲、乙二人得分的平均数相同，则 _；乙得分m的方差等于_.15. 已知 是等差数列， 为其前 项的和.nanS且 ， ，则 _；当 取得最小值时， _.53271anSn16. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是_.1,9x23xkxk三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，
6、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 13 分）在等比数列 中，已知 ， .na126a231a（）求数列 的通项公式；（）设 是等差数列，且 ， ，nb2b4求数列 的公差，并计算 的值.12310b18.（本小题满分 13 分）一班 二班 三班女生人数 20 x y男生人数 20 20 z78 2 2760甲 乙284m32013,7 北京西城区高一数学试卷 第 4 页 共 10 页某市某年一个月中 30 天对空气质量指数的监测数据如下:61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 8
7、5 75 71 49 45（）完成右面的频率分布表；（）完成右面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中 的值；a（）在本月空气质量指数大于等于 91 的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间 内的概率.10,)19.（本小题满分 13 分）分组 频数 频率41,5)2306,7)418630,9)01,)23051 7161 81 101410分数频率/组距a91 1112013,7 北京西城区高一数学试卷 第 5 页 共 10 页在 中， 分别为角 所对的边，已知 ， .ABC,abc,ABC3cC（）若 ，求 的值；sin2iab（）求 的最大值.20.（本小题满分
8、 14 分）已知函数 .()1)(fxax（）当 时，求 在区间 上的值域；f1,2（）若函数 在区间 上是减函数，求 的取值范围；f,)a（）解关于 的不等式 .x(0fx21.（本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，且 ， .nanS12()n*N（）求数列 的通项；（）设数列 ，(215)nnba（）求数列 的前 项和为 ；nT（）求 的最大值.n22.（本小题满分 13 分）对于数列 ，定义“ 变换”： 将数列 变换成数列123:,(,12,3)iAaNTA，其中 ，且 . 这种“ 变换”记作123:,Bb|ib31|baT，继续对数列 进行“ 变换”，得到数列 ，依此类推，当
9、得到的数()TBT2:,Cc列各项均为 时变换结束.0（）写出数列 经过 5 次“ 变换”后得到的数列；:2,64A（）若 不全相等，试问数列 经过不断的“ 变换”是否会结束，13,a123:,AaT并说明理由；（）设数列 经过 次“ 变换”得到的数列各项之和最小，求 的最小:0,kTk值.2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 6 页 共 10 页北京市西城区（北区）2012 2013 学年度第二学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2013.7一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A
10、 9. B 10. B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. 12. 13. ，x1021324914. ， 15. ， 16. 8.46(,13注：一题两空的试题，第一空 2 分，第二空 3 分；三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.17. 解：（）设等比数列 的公比为 ，naq由已知 ， ， 2 分16aq21两式相除，得 . 4分所以 ， 612a分所以数列 的通项公式 . 7n2na分（）设等差数列 的公差为 ，nbd则 ， ， 9 分14d136解得 ， ， 112分12 分123410234910()()()bbbb . 13 分50d18
11、. 解：（ ）如下图所示. 4分（）如下图所示. 6分2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 7 页 共 10 页由已知，空气质量指数在区间 的频率为 ，所以 .8 分71,8)630.02a分组 频数 频率 81,9)03 （）设 表示事件“在本月空气质量指数大于等于 的这些天中随机选取两天，这两天A91中至少有一天空气质量指数在区间 内” ，10,)由已知，质量指数在区间 内的有 天，93记这三天分别为 ，,abc质量指数在区间 内的有 天，)2记这两天分别为 ，,de则选取的所有可能结果为：.(,),(),(),(,)abcabcde,(),ced基本事件数为 . 10 分10事件“至
12、少有一天空气质量指数在区间 内”的可能结果为：10,.(,),(),dee(),()ce基本事件数为 ， 127分所以 . 13 分()01PA19. 解：（）因为 ，由正弦定理可得 ， 3sin2iBA2ba分由余弦定理 ， 52coscabC分得 ， 72294分解得 ， 823a分所以 ， . 923ba分（）由余弦定理 ，得 ， 102coscbC29ab分又 ， 112ab分51 7161 81 101410分数频率/组距a91 1112013,7 北京西城区高一数学试卷 第 8 页 共 10 页所以 ，当且仅当 时，等号成立. 12218abab分所以 的最大值为 . 13 分22
13、0. 解：（）当 时， ，2()1fx函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，()fx,00,)所以， 在区间 上的最小值为 ， 21(f分又 ，(2)f所以 在区间 上的最大值为 . 3 分x1,2(2)3f在区间 上的值域为 . 4 分()f 1,（）当 时， ，在区间 上是减函数，符合题意. 5 分0a()fx,)当 时，若函数 在区间 上是减函数，则 ，且 ， 71a分所以 ， 90分所以 的取值范围是 . a1,（）由已知，解不等式 .()0ax当 时， . 100分当 时， ，解得 . 11a1()1xa分当 时， ，0()10xa若 ，即 时， ； 121x分若 ，即 时，
14、 或 ； 131a1xa分若 ，即 时， 或 . 140ax分2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 9 页 共 10 页综上，当 时，不等式的解集为 ；0a1xa当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；11x或,当 时，不等式的解集为 ；a当 时，不等式的解集为 .,xa或21. 解：（）由已知，当 时， . 11n1aS分当 时， 22nnaS分， 3 分121()()()2nnn综上， ， . 41()na*N分（） （） ，1(25)nnb所以 ， 52113(9)(5)2nT 分， 6211()()(7)+(5)2 2nnn 分两式相减，得 82113()()(nnnT
15、分211()()5)(2nn.135n所以 . 10 分1(2)nnT（）因为 .11 分11()2)(72)(nnnnb令 ，得 . 1210n17分所以 ，且 ，即 最大， 13129b 10b 9b分2013,7 北京西城区高一数学试卷 第 10 页 共 10 页又 .89133()256ba所以， 的最大值为 . 14n分22. 解：（）依题意，5 次变换后得到的数列依次为； ； ； ； ； 3 分4,2,02,0,2,所以，数列 经过 5 次“ 变换”后得到的数列为 ， 4:,6AT分（）数列 经过不断的“ 变换”不可能结束. 5 分设数列 ， ， ，且 ， .123:,Dd123:
16、,Ee:0,F()TDE()F依题意， ， ， ，所以 .0e1e123e即非零常数列才能通过“ 变换”结束. 6T分设 （ 为非零自然数）.123ee为变换得到数列 的前两项，数列 只有四种可能：ED； ； ； .11:,Dd11:,de11:,de11:,2Dde而任何一种可能中，数列 的第三项是 或 .02即不存在数列 ，使得其经过“ 变换”成为非零常数列. 8T分由得，数列 经过不断的“ 变换”不可能结束.A（）数列 经过一次“ 变换”后得到数列 ，其结构为 .:398,401B,3a数列 经过 次“ 变换”得到的数列分别为： ； ；B6Ta6； ； ； ,93a,129a15,2a,5所以，经过 次“ 变换”后得到的数列也是形如“ ”的数列，变化的是，,除了 之外的两项均减小 108分因为 ，所以，数列 经过 次“ 变换”后得到的数列39812B6213T为 2,5接下来经过“ 变换”后得到的数列分别为： ； ； ； ； ；T,0,1,0； ，. 0,至此，数列和的最小值为 ，以后数列循环出现，数列各项和不会更小12 分2所以经过 次“ 变换”得到的数列各项和达到最小.136T即 的最小值为 . 13 分k
