1、惠州市 2013 届高三第二次调研考试数 学 (理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式：锥体的体积公式 13VSh,
2、其中 是锥体的底面积， h为锥体的高一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数 (1)zi (i为虚数单位），则复数 z在复平面上所对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2集合 4,53,93MmN， ，若 MN，则实数 m的值为（ ）A 或 1 B C 或 3 D 1 3. 等差数列 na的前 项和为 nS，且 36， 14a，则公差 d等于（ ）A1 B. 5 C. 2 D. 34. 已知向量 cos,2si,b，且 /b，则 tan4()等于（ ）A 3 B 3 C 31 D
3、315. “2ab”是“ 22lgla”的（ ）A充分不必要条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D. 必要不充分条件 6若抛物线 2ypx的焦点与椭圆216xy的右焦点重合，则 p的值为（ ）A2 B 2 C4 D47某工厂从 2004 年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量 y与时间 t的函数图像可能是（ ）8已知函数 2()1,()43xfegx，若有 ()fagb，则 的取值范围为（ ）A 2, B , C 1,3 D 1,3二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满
4、分 30 分）（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9函数 6()12logfxx的定义域为 10. 32的展开式中的常数项为 11已知正方体 1ABCD中， E、 F分别为1、 的中点，那么异面直线 A与 1D所成角的余弦值为_12.如图所示的算法流程图中, 若 2(),()xfg则(3)h的值等于 . 13已知变量 xy， 满足约束条件203xy，若目标函数 zyax仅在点 5,3处取得最小值, 则实数 a的取值范围为 （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极
5、点， x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ()4R，它与曲4 8yot4 8yot4 8yot4 8yot 开 始输 入 xf()gh=输 出结 束是 否B ODAC线12cosinxay（ 为参数）相交于两点 A和 B，则 =_.15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆 O外一点 引圆的切线 D和割线ABC，已知 23D， 6C，圆 的半径为 3，则圆心 O到的距离为 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知向量 sin,comA, 3,1,且 mn， A为锐角. （1）求角 的大小
6、； （2）求函数 ()24si()fxxR的值域.17（本题满分 12 分）某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从 3 种服装商品、2种家电商品、4 种日用商品中，选出 3 种商品进行促销活动。（1）试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高 180 元，同时允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金 100 元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。18.（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 1ABC中，侧棱 1A底面
7、 BC, A， D为 AC的中点, 12.(1) 求证： /平面 1D；(2) 若四棱锥 BAC的体积为 3, 求二面角 1的正切值.DC11B1 CBA19（本小题满分14分）已知直线 10xy与椭圆21(0)xyab相交于 A、 B两点， M是线段AB上的一点， MB，且点 在直线 :2lyx上.（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 1上，求椭圆的方程.20（本小题满分 14 分）设 nS为数列 na的前 项和，对任意的 nN，都有 (1)nnSma( 为正常数)（1）求证：数列 n是等比数列；（2）数列 b满足 112,(2,)nba，求数列 nb的通项
8、公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列 n的前 项和 nT21（本小题满分 14 分）已知函数 ()lnfxaxb是奇函数，且图像在点 (,)ef 处的切线斜率为 3（ e为自然对数的底数）（1）求实数 、 的值；（2）若 kZ，且 ()1fx对任意 恒成立，求 k的最大值；（3）当 ,mn时，证明： nmm惠州市 2013 届高三第二次调研考试数学（理科）参考答案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 BACBD BA1【解析】1.提示:因为 (1)zii,所以 (1)zii对应的点在复平面的第二象限. 故选 2【解析】由
9、MN可知 39m或 3,故选 A3【解析】 316()2sa且 12ad， 14， 2d.故选 C4【解析】由 /b，得 cosin0，即 tn，所以 tan()34，故选 B5【解析】注意 ,a的正负号.故选 D6.【解析】椭圆的右焦点为 (2,0)F， 2p，即 4，故选 D7【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随 x的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选 B8.【解析】由题可知 ()1xfe， 22()43()1gxx，若有()fagb，则 ,，即 21b，解得 b。故选A二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415
10、 题是选做题，考生只选做一题9 0,6 10 12 11 3 12 9 13 ,1 14 14 15 59【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 1266000 612loglog6xxxx 。 10【解析】 23()的展开式中的常数项即 2321()TC。11【解析】连接 1,DF，则 /AE,所以 DF与 1所成的角即为异面直线所成的角，设边长为 ，则 5，在三角形 中1543cos2.12【解析】22,()xh，由数形结合可知，当 24x时, 2hx所以有(3)913【解析】目标函数 axyz可变为直线 yaxz，斜率为 a，仅在点 3,5处取得最小值,只须 1a14【解析】直线
11、的普通方程为 yx，曲线的普通方程 22(1)4xy22()41AB15【解析】先用切割线定理求出 BC的长度,然后距离 221()5drBC三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分 12分）解：（1）由题意得 3sinco1mA:2 分2sin()6A， i()62 4 分由 为锐角 ， 得 ,3, ,63A 6 分（2）由（1）可得 1cos 7 分所以 ()2infxx 2siinx 213(sin)x 9分因为 R，则 si1,，当 1sin2x时， ()fx有最大值 32. 当 sin1x时， ()fx有最小值 3， 11分故所
12、求函数 ()f的值域是 ,. 12 分17（本小题满分 12 分）解：（1）从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中，选出 3 种商品，一共有39C种不同的选法，选出的 3 种商品中，没有日用商品的选法有 5C种，2 分所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 3597142CP4 分（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ，其所有可能的取值为0，100，200，300。（单元：元） 6 分表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以 31(0)(28P，7 分同理可得 123 3(0)(),(8PCC ,329 分于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 13
13、1()0050888E11 分故促销方案对商场有利。 12 分18（本小题满分 14 分）（1）证明: 连接 1BC,设 1与 1相交于点 O,连接 D, 四边形 是平行四边形,点 为 1BC的中点 . D为 A的中点， D为 1A的中位线, 1/OB. 2 分 11,CBC平 面 平 面 , 1/AD平 面 . 4 分(2)解: 依题意知， 12， 1 1,BCAC平 面 平 面 , 1 1,ABAC平 面 平 面 且 平 面 平 面作 E，垂足为 E，则 1平 面 ， 6 分设 BCa，在 RtA中， 224ABCa， 24ABaEC:，GFEODC1A1B1 CBA四棱锥 1BACD的体
14、积 11()32VACDBE:2246a。 8 分依题意得， 3a，即 . 9 分(以下求二面角 1CBD的正切值提供两种解法)解法 1: 1,ACB,1B平 面， 1平 面 ， 1ABC平 面 . 10 分取 C的中点 F，连接 D，则 /F,且 2D. 1D平 面 .作 GB，垂足为 ，连接 G，由于 1BC，且 FG， 1CF平 面 . 又 DF平 面 , D. 1DC为 二 面 角 的 平 面 角 . 12 分由 1RtBGFt:,得 1GB,得 1321CFB:,在 tD中, 3tanD.二面角 1CB的正切值为 1. 14 分解法 2: 11,ABC, 1BC平 面 ， 1平面1B
15、， 1平 面 . 10 分以点 1为坐标原点,分别以 11,BCA所在直线为 x轴,y轴和 z轴,建立空间直角坐标系 xyz. 则 (02)B, 1(3,0), (2,), 3(,)D.OzyxDC1B1A1CBA 1(3,20)BC, 3(,01)BD设平面 的法向量为 nxyz, 由 10n及 ,得320z令 2x,得 3,yz.故平面 1BCD的一个法向量为 (2,3)n, 11 分又平面 的一个法向量为 0AB, ()3cos, 22nA . 12 分 31i,1()B. 13 分 tan,3A.二面角 1CBD的正切值为 13. 14 分19（本小题满分 14 分）解：设 A、 两点
16、的坐标分别为 1(,)Axy， 2(,)B（1）由 MB知 是 的中点， 1 分由 201xyab得： 222()0abxab4 分212x，21212()yab5 分M点的坐标为 22(,)ab又 点在直线上： 220 6 分22()abc 2ac ce7 分（2）由（1）知 bc，不妨设椭圆的一个焦点坐标为 (,0)Fb，设 (,0)F关于直线 1:2lyx的对称点为 0(,)xy，8 分则有 002xby解得：0354by11 分由已知 01x， 223()15b， 2b. 13 分所求的椭圆的方程为2xy14 分20（本小题满分 14 分）（1）证明：当 1n时， 11()aSma，解
17、得 11 分当 2时， nn即 ()nma2分又 m为常数，且 0， 1(2)na3 分数列 na是首项为 1，公比为 m的等比数列4 分（2）解： 12b 5 分 1n， 1nb，即 1(2)nb7 分 nb是首项为 2，公差为 1 的等差数列8 分 1()nn，即 2()1nbnN9分（3）解：由（2）知 21nb，则12()nb所以234112nnTbb， 10 分即 2315(3)2(1)nn ， 11分则 234 112()()nnnT ， 12分得 1341()n n ，13 分故12)22(3)6nnT14 分21（本小题满分 14 分）解：（1） )(xf是奇函数，所以 )()
18、(xff，即|ln|ln( baxba1 分，所以 |l ，从而 0 2 分，此时 |l)(xf， |l1)(/ xf 3 分，依题意 32/ae，所以 a 4 分（2）当 1时，设 1ln)(xfg，则 2/ )(ln)xg 5 分设 xhl(，则 01(/xh， )(h在 ) ,1上是增函数因为 03n1)， 4ln2)，所以 4 ,(0，使 ( 7 分) ,x时， )h， 0)/xg，即 )(xg在 ) ,10上为减函数；同理 (g在 0 ,上为增函数从而 )的最小值为 000ln)(x所以 4 ,3(0xk， k的最大值为 3 9 分。（3）要证 mnnm)，即要证 nmnllll 10 分，即证 l)1(l)1(， 1ll 11 分，设 1ln)(x， 12 分，则 2/ )(l设 xxgln1)，则 01)(/xg， )(g在 ) ,10上为增函数， ln)(，从而 0)(/， 在 ,)上为增函数因为 1nm，所以 (m， 1lnl，所以 n)()( 14 分
