1、,竹峰学校 冯文华2017年12月20日 星期三 第2节,第15章 轴对称图形与等腰三角形 （复习题教材P149-153）,本章需要理解掌握的知识点有： 一、轴对称图形和轴对称 1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。 3、对称轴都是直线 4、联系： 如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。 二、轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 三、轴对称的判定 如果两个图形
2、上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 （作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）,四、坐标系中的对称 点P（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b） 点P（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）,沪科版八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形复习题,1.已知：点A(a，b)与点B(c,d). （1）如果点A,B关于y轴对称，那么a,b,c,d应满足什么条件？ （2）如果点A,B关于x轴对称，那么a,b,c,d应满足什么条件？,答：（1）a=-c,b=d.（2）a=c,b=-d.,2.直线 与直线y=2x关于y轴对称，写出直线 所表示
3、的函数表达式.,答：y=-2x,五、线段垂直平分线 1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据） 2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据） 3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。就能得到线段相等。 4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等 六、角的平分线 1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。 4、在题目中只要遇到角平分线，就
4、要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。就能得到线段相等。,13.已知：如图，线段CD与AOB,通过作图求一点P,使PC=PD,并且点P到AOB两边的距离相等.,O,B,D,C,A,4.已知：ABC中，AB=AC,AD是BC边上中线，AB的垂直平分线交AD于点O,B的平分线交AD于点. 求证：（1）OA=OB=OC;（2）点到BC,CA,AB的距离相等.,O,D,C,B,A,E,G,F,证明：（1）OG是AB的垂直平线， OA=OB, 又AB=AC,AD是BC边上的中线， AD是BC边的垂直平分线， 点O在AD上， OB=OC, OA=OB=OC.,（2）AB=AC,AD是BC边上的中线，
5、AD是BAC的平分线，又是BC边上的高， OB平分ABC,EAB,FAC, E=F=D, 即：点到BC,CA,AB的距离相等.,5.已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB, DFAC,点E,F为垂足.求证：AD垂直平分EF.,B,C,D,F,E,A,证明：AD是BAC的角平线， DEAB,DFAC, EAD=FAD,AED=AFD=90， 在AED和AFD中，EAD=FAD, AED=AFD，AD=AD, AEDAFD, AE=AF,DE=DF, 点A,D都在EF的垂直平分线上， AD垂直平分EF.,O,七、等腰三角形 （一）等腰三角形性质 性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角） 在
6、一个三角形证明角相等的重要依据。 性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边 也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。 （二）等腰三角形判定： 1、定理：等角对等边 2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形 3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。,6.已知：如图，ABC是等边三角形，BD是中线.点E在BC的延长线上，使CE=CD. 求证：DB=DE.,E,C,B,D,A,证明：ABC是等边三角形， ABC=ACB=60， BD是中线. BD又是ABC的平分线， DBC=30， CE=CD, E=CD
7、E, 又ACB=E+CDE=60， E=30， DBC=E, DB=DE.,7.求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形.,已知：如图，ABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的高，且BD=CE. 求证：ABC是等腰三角形.,D,E,C,B,A,证明：BD,CE分别是AC,AB边上的高， ADB=AEC=90， 在ABD和ACE中，A=A, ADB=AEC,BD=CE, ABDACE, AB=AC, ABC是等腰三角形.,9.已知：如图，在ABC中，AB=AC,A=120，AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F. 求证：BF=2CF.,F,E,B,C,A,证明：连接AF, AB=AC,
8、B=C, A=120， B=C=30， EF是AC的垂直平分线， AF=CF, FAC=C=30， BAF=90， BF=2AF, BF=2CF.,8.已知：如图，ABC中，AD是BC边上的高，AB=AC, BAC=120，垂足分别是E,F. 求证：DE+DF= BC.,F,E,B,C,D,A,证明：AB=AC, B=C, BAC=120， B=C=30， 又DEAB,DFAC, DE=BD,DF=DC, DE+DF=BD+DC=BC.,10.已知：如图，ADDE,BEDE,AC,BC分别平分DAB,ABE,点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.,D,B,E,C,A,F,证明：过C作CFA
9、B,垂足为F, 又AD,CEBE,AC平分DAB,BC平分ABE, CD=CF=CE, 在RtACD和RtACF中，AC=AC, CD=CF, RtACDRtACF, AF=AD, 在RtBCE和RtBCF中，BC=BC,CE=CF, RtBCERtBCF,BF=BE, AB=AF+BF=AD+BE.,11.已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC,点D在BC上，BD=AB,作DEBC,点E在边AC上. 求证：（1）BE平分ABC;（2）AE=ED=DC.,C,D,E,A,B,证明：(1)在RtABE和RtD中，BE=BE,AB=DB, RtABERtDBE, ABE=DBE, BE平分A
10、BC; (2)A=90，AB=AC, C=45， 又DEBC, DEC=C=45， ED=DC, RtABERtDBE,AE=ED, AE=ED=DC.,12.已知：如图，在ABC中，以它的边AB,AC为边，分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,DC. 求证：BE=DC.,E,D,C,B,A,证明：ABD和ACE都是等边三角形， AB=AD,AE=AC, BAD=CAE=60， BAE=DAC, 在ABE和ADC中，AB=AD, BAE=DAC,AE=AC, ABEADC, BE=DC.,14.已知：如图，RtABC中，C=90，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与边AB上
11、的点D重合.要使D恰好为AB的中点，问还需增加一个什么条件？说明你增加的条件及依据.,A,B,D,E,C,可以增加：A=30或BC=AB, 或ABC=60，或ABC=2A.,理由：C=90，A=30， BC=AB, 由折叠可知BC=BD=AB, D为AB的中点.,3.已知：如图，在ABC中，BAC=90，AC=2AB,点D是AC的中点.EAD为等腰直角三角形AED=90.试猜想线段BE和EC的关系，并证明你的猜想.,C,B,D,A,E,猜想：BE=EC, BEEC.,证明：AC=2AB,点D是AC的点，AB=DC, 又EAD为等腰直角三角形， AE=DE, EAD=EDA=45， CDE=13
12、5 BAC=90， BAE=BAC+EAD=135， BAE=CDE, 在ABE和DCE中AB=DC BAE=CDEAE=DE,ABEDCE BE=EC,AEB=DEC, AED=90, BEC=90, BEEC.,1.根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的变换？ （1） （-3，-1） （ 3，-1）； （2） （-5, 6） （-5， 1）； （3） （ 4， 3） （ 4，-3）； （4） （ 2， -3） （ 3，-2）.,B组复习题,答;：(1)关于y轴对称（或沿x轴方向向右平移6个单位）. (2)沿y轴方向向下平移5个单位(或关于直线y=3.5x对称). (3)关于x轴对称（
13、或沿y轴方向向下平移6个单位）. (4)关于直线y=-x对称（或先沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位）.,2. BD是ABC的角平分线，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E.求证：EAB=EBC.,E,D,C,B,A,证明：E在BD的垂直平分线上， EB=ED, EBD=EDB, BD平分ABC, ABD=DBC, 又EAB=EDB+ABD,EBC=EBD+DBC, EAB=EBC,3.已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O,点C,D在直线MN上，1=2=45. （1）若点C与点O重合图(1),请直接写出AC与BD的数量关系和位置关系； （2）若点C,D不重合图(2)
14、,求证：AC=BD,ACBD.,C,O,N,A,N,M,D,O,(C),B,A,M,D,B,2,1,1,2,（1）AC=BD,ACBD.,3.已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O,点C,D在直线MN上，1=2=45. （2）若点C,D不重合图(2),求证：AC=BD,ACBD.,C,O,N,A,M,D,B,2,1,E,证明：过B作BE/AC,交MN于点E, A=OBE, 又O是线段AB的中点， OA=OB, 在OAC和OBE中，A=OBE, AOC=BOE,OA=OB, OACOBE, AC=BE,OCA=OEB, 1=BED BED=2,1=2=45， 2=BED=45， BE=BD,
15、DBE=90， AC=BD,BEBD BE/AC, ACBD,4.已知：如图，在ABC中，ACB=90，D,E是边AB上的两点，且AD=AC,BE=BC. 求证：DCE=45.,A,C,E,D,B,证明：AD=AC,BE=BC, ACD=ADC,BEC=BCE, 又A+ACD+ADC=180，B+BEC+BCE=180， A+2ACD=180，B+2BCE=180， A+B+2ACD+2BCE=360， A+B+2ACD+2BCD+2DCE=360， A+B+2ACB+2DCE=360， 又ACB=90,A+B+ACB=180， 2DCE=90， DCE=45.,5.已知：如图，点D在等边三角
16、形ABC的边AC上，点E在边AB的延长线上，使BE=CD,DE交BC于点P. 求证:PD=PE.,A,B,E,P,D,C,F,证明：过D作DF/AB交BC于F, CDF=A,CFD=CBA,FDP=E, 又ABC是等边三角形， A=CBA=C=60， C=CDF=CFD, CDF是等边三角形， CD=FD, BE=CD, FD=BE,在FDP和BEP中，FDP=E, DPF=EPB,FD=BE, FDPBEP, PD=PE.,6.（1）已知：如图（1），在ABC中，ABC,ACB 的平分线交于点O,过点O的直线DE/BC,DE分别与AB, AC交于点D,E.求证：BD+CE=DE.,C,B,E
17、,O,D,A,(1),证明：DE/BC, DOB=OBC,EOC=OCB, 又OB平分ABC,OC平分ACB, OBD=OBC,OCE=OCB, DOB=OBD,EOC=OCE, BD=DO,CE=OE, BD+CE=DO+OE, BD+CE=DE.,（2）将（1）题条件“ACB的平分线”改为“ACB 的外角平分线”，如图（2）所示.原来的关系式BD+CE =DE还成立吗？如果不成立，你能推断出BD,CE,DE存 在的数量关系式吗？请证明你的推断.,C,B,O,E,D,A,答：不成立. BD-CE=DE. 证明：DE/BC, DOB=OBC,EOC=OCF, OB平分ABC,OC平分ACF,
18、OBD=OBC,OCE=OCF, DOB=OBD,EOC=OCE, BD=DO,CE=OE, BD-CE=DO-OE, BD-CE=DE.,F,C组复习题,1.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC. （1）P为底边BC上任一点，自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值； （2）若点P在底边BC延长线上时，情况如何？,F,E,P,B,A,C,证明：连接AP,设腰上的高为h1, 由SABC=SPAB+SPAC,得ABPE+ACPF=ABh1. 又AB=AC, PE+PF=h1. 故，PE+PF等于定值.,1.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC. （1）P为底边BC上
19、任一点，自点P向两腰作垂线PE,PF, 点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值； （2）若点P在底边BC延长线上时，情况如何？,F,E,P,C,B,A,证明：连接AP,设腰上的高为h1, 由SABC=SPAB-SPAC,得ABPE-ACPF=ABh1. 又AB=AC, PE-PF=h1. 故，PE-PF等于定值.,如果，点P在底边CB延长线上时，有PF-PE=h1.,2.已知：等边三角形ABC. （1）P为ABC内任一点，自点P向三边作垂线PD,PE, PF,点D,E,F为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值； （2）若点P在ABC外时，情况如何？,P,D,F,E,C,B,A,证明：连接PA
20、,PB,PC,设等边ABC的高为h, 由SABC=SPAB+SPBC+SPAC，得 ABPD+BCPE+ACPF=BCh. 又AB=BC=AC, PD+PE+PF=h, 故：PD+PE+PF等于定值.,E,D,F,P,C,B,A,当P在BA与CA的延长线所围成的区域内时， 证明：连接PA,PB,PC,设等边ABC的高为h, 由SABC=SPBC-SPAB-SPAC，得 BCPE-ABPD-ACPF=BCh. 又AB=BC=AC, PE-PD-PF=h,F,E,D,P,C,B,A,当P在BA与BC的延长线所围成的区域内时， 证明：连接PA,PB,PC,设等边ABC的高为h, 由SABC=SPBC+SPAB-SPAC，得 BCPE+ABPD-ACPF=BCh. 又AB=BC=AC, PE+PD-PF=h,当P在AC与BC的延长线所围成的区域内时， 当P在AB与AC的延长线所围成的区域内时， 当P在AB与CB的延长线所围成的区域内时， 当P在CB与CA的延长线所围成的区域内时， 可以用类似的方法计算.,
