1、Page - 1 - of 11第三章 一元积分学第三节 定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：（i）若 ，则 .),( )(baxgfbabadxgxf)()(（ii） .baadfd|（iii ）若 ,则 .bcxf),( 0) badcxfxf)()(iv)(柯西不等式) aaba gxfgf )(222(2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法 .(3)利
2、用二重积分、级数等值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法例判断积分 的符号20sindx分析：这个积分值是求不出来的如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值） 本题中被积函数 在积分区间上有正、有负，2sinx先作换元： ，把积分变为 后，问题更清晰，因而想到2xtdtdx20201sintd2020i1sin0i(t)sin2t至此积分的符号凭直觉已经能判断
3、了但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较有了这些分析和思路后，解答就容易了解：令 ，则2xtdtd020sin1sin0sin(21dxt)si2t对上式右端后一积分换元 得ut 00sinini dtdut从而 20sindx0sin(21dxt)si0tPage - 2 - of 110sin)1(210tdt注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（）将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间，特别是二等分） （）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较例设 ，
4、证明：0a4320sin0sindxax分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式 变为 上的积分，再用柯西不等式便可得结200 )(sin)(sin xfdxf 2,0论。解： 20sin0sinaxax 4)1()()( 320202sin20si20sin0sin dxaddxx例设 在 上有一阶连续导数，且 ，证明：)(xf,baf（） |)(|max2)(| ,fdfbba （） dfxfaba 22 )()()分析：（）该不等式实际上给出了左边积分的一个界。若令 ，则有|)(|max,fMb，即给出了导数的界，再加条件 ，可估
5、计出 ，Mxf|)(| 0)(af ,| bax进而估计出积分的界。 （）不等式两边分别有 和 ，而等式x)(f可将两者联系起来，这里 要根据具体问题具体选择，本题中容易)()()(00xfdfxf 0想到 a证明：（）令 ，由拉氏中值定理知|)(|ma,xfMbx)(afxf 从而 ,),(|)| bxxPage - 3 - of 11所以 MabdxMdxfdxfbababa 2)()(|)(|)(| （） ，则aa tfftff baxx dtfxdtd 2222 )()(1)()(故 xfatff babbaba 2222 ) 注：（）中，若将条件 改为(i) ，结论仍成立，(ii)
6、,右端0)(f 0)(f 0)2(baf改为 ,(iii) 且 ,右端改为 ,|max4)(,2fbbafbf |mx4)(,2fbba另外本题也可利用等式 去证:xaxa dtffdtff )()()( bbtbaxba tdtdf ()(所以 MabdtMdtftxffbabababa 2)()(|)(|)| (2)中右边作为左边积分的一个界有点粗( 证明过程中能感觉到这一点),我们可以更精细一点： xxfdxfdxf bababa 22222 )(1)()() 不做(2)的证明过程中的第二步放大,便可证出上面结论：,再分部即可2)()()()( 222 adtfxtfxf baxbaxa
7、ba 例设 在 上有二阶连续导数， ，证明：, |m,Mbx3)(24|)()(| bfbdxfba 方法一：利用上一节中的例 10 中的（2） ，或练习题 21 可证出结论。方法二：由泰勒公式有 2)(1)()2() baxfaxffxf 两边在 上积分并注意到 得,babad02，从而得 ba xxffdxf 2)()()( 24)()2(|21| 32 abMdxaxMdbafbfaf bbaba Page - 4 - of 11方法三：令 ，则 ，且xadtfF)()( )(),(),( xfFxfxfF，由泰勒公式有：bdtfba（1）312)2(6)(21)()2() ababab
8、 （2）32)()()()() FFFbaF （1）（2）得 )()(48)()(2)( 213abab 所以 3213 )(4|)()(|)()(| abMfffdxfba 例设 在 上连续且单调增加，求证：f,baba dxfdx)(2)(分析：本题有多种证明方法，思路一：这里有两个参数 ，把 改成变量 ，欲证ba,xxaxa tftf)()(左右两边均是函数，可利用导数这一工具去证明思路二：变形为 0)(2(badxfx被积函数中因子 关于积分区间中点具有某种对称性，而 又单调，因此可想到前2bx )f面介绍的利用对称性计算积分的有关公式去处理思路三：基于思路二的考虑，将积分区间二等分，
9、然后用积分中值定理或其它方法去证思路四：由于 故0)2()(babfx0)(2(badxfx 0)2)(2( ba dfxx就一目了然思路五：变形为 baba dff )(2)( baba dxfxf)()(1那么看过例 6 后就知道怎么做了证：令 ，则 且)(xFxaa tfdtf)()( ,0)(F2121 dtftfxa从而 ,0)(bxPage - 5 - of 11取 ，便得 ，结论得证bx0)(F或： baa dxbafxbaxfxdxf )()2()2(12( 0)(1dxb（或： 20 )2()2()()2()(2(abba dxbafxbaxfbaxdxf）0)()(0 b
10、dffx或： xfbaxxfbabab )(2()(2(2 dxfbab)(2(21)()badf 0)()() 122 ffdfba注：第一种方法我们称之为变易常数法，即把某个常数（在积分中一般是积分上限或下限）换成变量，从而化为一个函数不等式，再利用微分学的知识及其它知识去证明，这是一种常用的技巧。本题若把条件“连续且单调增加”改为“单调且有界” ，结论仍成立。但变易常数法不能用（为什么？） 。例 6设 在 上连续且单调增加，求证：)(,xgf,babaaba dxgxfdf )()(分析：右端出现了两个积分，若将两个积分的积分变量换成不同符号则可化为二重积分： babaxgdxf)()(
11、 bababa dyfyf )()()( badxygf)(而左边亦可化为二重积分： baxgfdxgbaxyf)(这样就化为二重积分的比较了。证：令 I bababa dxgxfdxfg)()()()(则 bayxfybadxygf)(同样可得 Ibaxf)()(两式相加得 0)(2 dygyfxPage - 6 - of 11故 I bababa dxgxfdxfg)()()()( 0结论得证。注：本题是通过化为二重积分来证明，这也是有用的方法。仔细体会这个证明过程并用此方法去证一下柯西不等式。凹凸性及平均值等式例 7设 在 上连续，且为凹函数即对 ，及 有)(xf,ba1,0,21bax
12、)(1)( 1 22 xfxf证明： )( badabf证明： dxbafxfxdx aba 2)()()2(2(1 fbf ba从而得左过得不等式，下证右过不等式，有,baxbxx从而 )()()(faff两边积分得 2dxba于是得右过不等式注：能看出该不等式的几何意义吗？个正数 的算术平均、几何平均、调和平均有如下关系：nn,21nini aa1211我们把以上关系推广到积分形式：设 正值连续，则)(xf（）badxfabba dfedxf 1)(1)(ln1上面不等式中的第一项称为 在 上的调和平均，第二项称为 在 上的几何)(xf, )(xf,ba平均，第三项称为 在 上的算术平均还
13、可推广到加权平均的形式：f,baPage - 7 - of 11，其中 为正值连续函数 （） bababa dxpfdxpfdxfp )()(ln)e)( )(xp下面证一下（）对于任意 ，有 0,u )()(!2)( 0200 00 ueueueuu 取 ，则badxpf)(ln0 baba dxpdxfp)()(ln0，从而)(l)( 0)(ln0ufeexfuxf )(n0 xpxpp两边在 上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得,babauba dxedxf)()(0即 bauba dxpfxpf )()(lne0下证左过不等式：左过不等式等价于 )(1ln)exp()(ba
14、ba dxfdf把右边不等式的 换成 ，便得上式)f)(1f分析上面证明过程， 可以发现关键用到了： 的二阶导大于零及 因此有下xe)(ln(xfef面更一般的结论：设 在 上连续，且 ， 在)(,xpf,ba 0)(,0)(,)( badpMfm)(上有二阶导数，且 ，则,Mm0)(x（）baba dxpfdxpf)()(注： ，则上面不等式变号同学可仿（2）的证明去证一下（3）0Page - 8 - of 11练习题:证明: edx0sin2( ,而 )0sin2ex20sin2sindx2sinxe20cosdxe证明: 201idx021co（左右 ，然后用利用对称性计算积分的有关公式
15、）x202)4sin(证明: 102id102cosdx（通过换元将左、右积分分别比为 和 ，然后比较被积函数的大小0)s(int20)si(codt便可得结论）设 表示椭圆 的周长，证明：l12byax)()(l（由弧长公式可得 ，dtbta2022cossin4由 可tbta2cosin tbtatt 2222 cossincoin得左边不等式，再用积分的柯西不等式可得右边不等式）设 在 上有一阶连续导数，证明：)(xf1,0 |)(|,)(|ma| 101010 dxfxfd（若 在 上不变号，不等式成立；若变号则存在 ，使得 ，由 )(xf, 1,0x0)(xf，可得结论 ）10|)(
16、|0 dtftfx设 在 上连续可导，证明对 ，有)(,ba,baxbaafxff |)(|)(|1|（由积分中值定理知 ，再由 可badxf)(1,00 )()(00xfdtffx得结论）设 在 上连续可导，且 ，证：)(xf,ba)(fPage - 9 - of 11baba dxfdxf 232)()()(（利用 ）atff(设 在 上连续可导，且 ，证：)(x,b0)(fdxdfbaba 2|（ ,xxatft|)(|)(|)(| 22|)(|1|)(|21| dtfdtfxf baxabaaba 再用柯西不等式)设 在 上连续可导，且 ， ，证：(xf, 0)(f)(fbabadxf
17、d)()32（令 ，利用导数证明）(xFaxtft(32 （）设 在 上有二阶连续导数，且 ，证明：)(f,b Mxfbfaf |)(|,0)(3)(12|Mdxba（）设 在 上有 阶连续导数， ，)(f,n )1,()( nkffkk ，证明：xn|)2(122)(!)(|)(| nba abndf（1）利用上一节中例 10 的（1） ， （2）是（1）的推广，先证明：，其中 ）babann dxfxgf )(!()()2( nnxbag)()(设 在 上有二阶连续导数，且 证明：对 有,a ,0ff ),(babadxfxfxb|)(|)()(|（左 ）|)(|)(| dtffff设 在
18、 上有二阶连续导数，且 ，证明：)(xf,ba ,0ba),(baxPage - 10 - of 11abdxfba4|)(|（ ，利用上题有0|m| fc dxfcfdxfbaf baba |)(|)(|)()(|)|1 而当 时总有 ）,c4|(|设 在 上连续可导，且 ，证明：)(xf1,0 Mxf|)(|nkfndf2|)(| 110（左 |)(|1dxfkn |)(|1dxnkfkn而 ）21|)(| Mkfxnk14设 在 上连续且单调增加， 且连续，求证：,gf,ba0)(xpbabaaba dxgdfdxfxpd )()()()(15设 在 上连续，且 ，证明：f1,02008
19、9)()(dxfxf（左边不等式可用二重积分或柯西不等式去证，左边不等式与条件“ 2)(1xf”无关，但需“ ”。右边不等式的证明有一定难度： 02)(1xf0)(xf）211001010 )()(2)(3)(1 dxffdfxfff设 在 上连续，且单调减少，证明：x,102)(dxf102)(dxfPage - 11 - of 11（用二重积分证明）证明： 54)1(402dxe（ ， ，其中 ，102dxeI dxyeyIDx)(10)( 22 0,1:2yxyxD便可得左边不等式当 时有 ，u 21!321uuu故 两边积分可得右边不等式）2142xex设 在 上有二阶导数，且 ， 在 上连续，且 ，)(g,ba0)(xg)(f,babxfa)(证明：)(1)(1baba dfgdxf（本题是均值不等式中结论（）的特例）设 在 上有二阶导数，且 ，证明：)(f,0 0)(xf)( 110 fdxf（本题可视为上题的特例）设 在 上连续，且 ，证明：)(f,01)(0xf1010 )()(dxfdxf（可视为 18 题的特例，其中 ，也可用二重积分证明）g1
