1、摘要1摘 要FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分，由于FIR 数字滤波器具有严格的线性相位，因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用。本文介绍了FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件，分析了窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器的思路和流程。在分析三种设计方法原理的基础上，借助Matlab仿真软件工具箱中的fir1 、fir2和remez 子函数分别实现窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器。然后检验滤波器的滤波效果，采用一段音频进行加噪声然后用滤波器滤，对比三段音频效果进而对滤波器的滤波效果进行检验。仿真结果表明，在相频特性上，三种方法设计的FIR滤波
2、器在通带内都具有线性相位；在幅频特性上，相比窗函数法和频率采样法，等波纹逼近法设计FIR滤波器的边界频率精确，通带和阻带衰减控制。关键词：FIR数字滤波器；窗函数法；频率采样法；等波纹逼近法；加噪声；Matlab第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2ABSTRACTIn a digital signal, there will be some interference signal which system does not needed often. So we need to use digital filtert to filter the signal to extract the u
3、seful signal. FIR digital filter is an important component of digital filter.As the FIR digital filters linear phase response is required, it have been widely used in information collection and processing. This paper introduced the concept of FIR digital filters and the general idea of the design, I
4、ntroducting and compareding the advantages and disadvantages of three kinds of the FIR filter design method, and respectively design filter using the window function method, the frequency sampling method and wave approximation method. Especially in digital signal processing, Matlab is widly used whi
5、ch can design requirements It is Intuitive and simple so that greatly reduce the workload. This article is designed by Matlab function and simulated by Matlab software to make the tedious step in the calculation simplify.It also drawed the amplitude-frequency characteristic curve relatly. Finally, t
6、he original signal and filtered signal are contrasted and analied.Key Words:FIR digital filters，Window function，Frequency sampling，Equiripple approximation method，Matlab摘要1目 录第 1 章 绪论 .11.1 数字滤波器的研究背景与意义 1,5.11.2 数字滤波器的应用现状与发展趋势 1,511.3 数字滤波器的实现方法分析 1，5 1第 2 章 数字滤波器的简介 .12.1 FIR 数字滤波器的基本概念 1(2.1 2.3
7、) 2(2.1 2.3).12.2 FIR 数字滤波器的特点 512.3 FIR 数字滤波器种类 512.4 FIR 数字滤波器线性相位条件 31第 3 章 FIR 数字滤波器的设计 .33.1 窗函数法 2,3，5 .33.2 频率采样法 2,3，5 33.3 最优化设计 3,5.33.4 三种设计法之间的对比 1第 4 章 基于 Matlab 的 FIR 数字滤波器设计 44.1 Matlab 简介 2,514.1.1Matlab 简介 2,5.14.1.2 本文用到函数的说明 14.2 窗函数法的 Matlab 实现 2，3 14.2.1 各种窗函数之间的对比 4.14.3 频率采样法的
8、 Matlab 实现 2,3.14.4 等波纹逼近法的 Matlab 实现 2,3 .1第 5 章 滤波器使用的实例说明 55.1 语音信号的采集 1 55.2 语音信号加噪与频谱分析 1 55.3 设计巴特沃斯低通滤波器 1 65.4 用滤波器对加噪语音滤波 1 6第 3 章 FIR 数字滤波器的设计25.5 比较滤波前后语音信号波形及频谱 1 9第 6 章 结论 4参考文献 10致谢 12附录 13附录一：窗函数程序 .13附录二：抽样函数程序 .13附录三：最优化设计程序 .13附录四：实例说明程序 .13外文资料原文 .14译文 15摘要1第 1章 绪论1.1数字滤波器的研究背景和意义
9、当今，数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科；它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化） ，这类模拟信号便成为一维
10、数字信号。因此，数字信号实际上是数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号的经采样和量化后，得到的是数字信号是一个二维离散空间序列。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输时至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。1.2 数字滤波器的应用现状与发展趋势数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备所没有的许多优点，已广泛应用于各个学科技术领域，例如数字电视、语音、通信、雷达
11、、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。随着信息时代数字时代第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2的到来，数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术，但是，模拟电路技术存在很多难以解决的问题，例如，模拟电路元件对温度的敏感性，等等。而采用数字技术则避免很多类似的难题，当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接收到的信号中消除或减弱噪音是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为
12、滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器应用极为广泛。数字滤波器的实现方法分析数字滤波器的实现，大体上有如下几种方法：(1) 在通用的微型机上用软件来实现。软件可以由使用者自己编写或使用现成的。自 IEEE DSP Comm.于 1979 年推出第一个信号处理软件包以来，国外的研究机构、公司也陆续推出不同语言不同用途的信号处理软件包。这种实现方法速度较慢，多用于教学与科研。(2) 用单片机来实现。目前单片机的发展速度很快，功能也很强依靠单片机的硬件环境和信号处理软件可用于工程实际，如数字控制、医疗仪器等。(3) 利用专门用于信号处理的 DSP 片来实现。DSP 芯片较之单片机有着更为
13、突出的优点，如内部带有乘法器、累加器，采用流水线工作方式及并行结构，多总线，速度快，配有适于信号处理的指令等，DSP 芯片的问世及飞速发展，为信号处理技术应用于工程实际提供了可能。摘要1第 2 章 数字滤波器的简介2.1 FIR 数字滤波器的基本概念FIR 滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。数字滤波器是一个离散的系统。它可以对输入的离散信号进行一系列运算处理，从输入的信号中获得所需要的信息。数字滤波器的系统函数通常表示为01()MjjNiibzHza数字
14、滤波器分为有限冲激响应数字滤波器，即 FIR 数字滤波器和无限冲激响应，即 IIR 数字滤波器。从公式的角度来看，FIR 数字滤波器的 始终为零；iaIIR 数字滤波器 至少有一个非零。ia实现数字滤波器的方法一般有两种：一种方法是吧滤波器所要完成的运算编成程序并让计算机执行，也就是采用计算机软件来实现；另一种方法是设计专用的数字硬件、专用的数字信号处理器或采用通用的数字信号处理器来实现。实现一个数字滤波器一般需要三个基本的运算单元：加法器、单位延时器和常数乘法器。这些基本的单元可以有两种表示方法方框图法和信号流程图法。第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2不论软件实现还是硬件实现，在滤波器设
15、计过程中，由同一系统函数可以构成很多不同的运算结构。对于无限精度的系数和变量，不同结构可能是等效的，与其输入和输出特性无关；但是在系数和变量精度是有限的情况下，不同运算结构的性能就有很大的差异。因此，有必要对离散时间系统的结构有一基本认识。FIR 滤波器是指在有限范围内系统的单位脉冲响应 hk仅有非零值的滤波器。M 阶 FIR 滤波器的系统函数 H(z)为0()MkkHzhz其中 H(z)是 的 M 阶多项式，在有限的 z 平面内 H(z)有 M 个零点，在 z 平面kz原点 z=0 有 M 个极点.FIR 滤波器的频率响应 为()je0()Mj jkkHhe它的另外一种表示方法为()()()
16、j jjee2.2 FIR 滤波器的特点有 限 长 单 位 冲 激 响 应 （ FIR） 滤 波 器 有 以 下 特 点 ： （1） 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 在 有 限 个 n 值 处 不 为 零 ； ()hn（2） 系 统 函 数 在 处 收 敛 ， 极 点 全 部 在 z = 0 处 （ 因 果 系 统 ）()Hz0； （3） 结 构 上 主 要 是 非 递 归 结 构 ， 没 有 输 出 到 输 入 的 反 馈 ， 但 有 些 结 构中 （ 例 如 频 率 抽 样 结 构 ） 也 包 含 有 反 馈 的 递 归 部 分 。 设 FIR 滤 波 器 的 单 位 冲 激 响 应
17、为 一 个 N 点 序 列 ， ， 则()hn01nN滤 波 器 的 系 统 函 数 为 ()()Hzz摘要1就 是 说 ， 它 有 （ N1） 阶 极 点 在 z = 0 处 ， 有 （ N1） 个 零 点 位 于 有限 z 平 面 的 任 何 位 置 。优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。缺点：（1
18、）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。2.3 FIR 滤 波 器 的 种 类（1）数 字 集 成 电 路 FIR 滤 波 器一种是使用单片通用数 字 滤 波 器 集成电路，这种电路使用简单，但是由于字长和阶数的规格较少，不易完全满足实际需要。虽然可采用多片扩展来满足要求，但会增加体积和功耗，因而在实际应用中受到限制。设计数字滤波器的任务就是寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数 H(z)具有指定的频率特性。（ 2） DSP 芯 片 FIR 滤 波 器另 一 种 是 使 用 DSP
19、芯 片 。 DSP 芯 片 有 专 用 的 数 字 信 号 处 理 函 数 可 调 用 ， 实 现FIR 滤 波 器 相 对 简 单 ， 但 是 由 于 程序顺序执行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系统的 DSP 芯片，其编程指令也会有所不同，开发周期较长。 第 3 章 FIR 数字滤波器的设计21()FZ2()FZ()NFZ1()FZ2()Z()NFZ()xn . y(n)(a)()xn y(n)(b)图 1 DSP FIR 滤 波 器（ 3） 可 编 程 FIR 滤 波 器还 有 一 种 是 使 用 可 编 程 逻 辑 器 件 ， FPGA CPLD。 FPGA 有 着 规 整 的
20、 内 部逻 辑 块 整 列 和 丰 富 的 连 线 资 源 ， 特 别 适 合 用 于 细 粒 度 和 高 并 行 度 结 构 的FIR 滤 波 器 的 实 现 ， 相 对 于 串 行 运 算 主 导 的 通 用 DSP 芯 片 来 说 ， 并 行 性 和 可扩 展 性 都 更 好 。2.4 FIR 数字滤波器线性相位条件设FIR 数字滤波器脉冲响应的长度为N，则其频率响应可以表示为：（2-4 ）10()()Nj jnnHehe上式通过欧拉恒等式展开可得到 的相位特性 ，有两种线性相位j ()特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。第一类线性相位特性：是一个与 无关的常数()=第二类线性
21、相位特性：摘要1是起始相位0()=0严格地说第二种情况时的 是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都满足群延迟是一个常数，仍可以视为具有线性相位的，在第二类线性相位中是常用的一种情况。0/2对于第一类线性相位，即 ，通过一系列的运算整理之后可得到()=一个三角函数求和公式：（2-5 ）10()sin()0Nnh式中正弦函数 为奇对称，当 时，对称中心为()i=(1)/2N， 需要满足关于 偶对称，即要求：n=(1)/2Nh(1)/2， （2-6 ）(1)nNn0对于第二类线性相位，即 时，通过运算得到公式：(=-/（2-7 ）10)cos()0Nnhn函数 为偶对称，当 时，对称中心也为()c
22、os)hn=1/2。若要使上式成立，则要使 关于 奇对称，即要求：1/2N()hn)/N， （2-8 ）()1)hN0从上述分析看来，线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对 的约束条件，对于第一类线性相位，冲激响应h(n)满足（2-6）式；()hn对于第二类线性相位，冲激响应h(n)满足（2-8 ）式。第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2第 3 章 FIR 数字滤波器的设计3.1 FIR 数字滤波器的窗函数设计法窗函数设计法是FIR数字滤波器里最简单的一种设计法，又叫傅里叶级数法，为了设计简单方便，通常选择所希望逼近的滤波器的频率响应函数为具有片段常数特性的理想滤波器，寻
23、找一组 ，确定其频率响应()jdHe ()hn，然后用 来逼近 1。窗函数法设计FIR滤波10(Nj jnnhe()jHe(jde器是在时域中进行的，那么可以通过傅里叶反变换得到得到频率响应 ，()jdHe即：（3-1 ）1()()2jnddHne在实际中， 一般是处于逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，因(jde而单位脉冲响应 是无限长的非因果序列，不能直接作为FIR数字滤波器的)hn单位脉冲响应，因此需要对 进行阶段，转换为有限长的一段因果序列，也()d摘要1就是用一个有限长度的窗函数序列 来截取 ，即 ，并()n()dhn()=*()dnh将非因果序列转变为一个因果序列。截取的长度和加权
24、窗函数的形状都直接影响到逼近精度。窗函数法设计FIR滤波器过程如图 3-1所示：加窗 ： 计算 开始正确逼近理想滤波器频率响应函数()jdHe求理想滤波器的单位脉冲响应 dhn()jHe选择窗函数 w ( n ) 和窗长度 N()*dh是否满足要求 ()je计算 h ( n ) 或 H ( z )结束是否图3-1 窗函数法设计FIR滤波器流程以截止频率为 ，相位为零的理想低通滤波器为例，其频率特性为：c（3-2 ）1() 0cjdcHe通过傅里叶反变换得到对应的 为：dhn（3-3 ）si()c此时的 是一个无限长的非因果序列，我们需要对其进行截断，变成一()dhn个有限长的因果序列。可以先把
25、 向右平移 个点，得到()dhn(1)/2aN第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2为：()dhn（3-4 ）1sin()2()cddNhna相应的传输函数 为： ()jdHe（3-5 ）()()jjjajaddheHe然后对 截取从0到 的N个点，N为窗函数的长度，所得的结果()dhn1表示为：()n（3-6 ）()*()dhnhn表示窗函数，一般用下标来表示窗函数的类型，矩形窗记为 。() ()Rn3.1.2 吉布斯效应用窗函数对 进行直接截断，得到有限长序列 ，并以 代替()dhn()hn()，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。对于()dhn一个在有限区间
26、分布的信号，其连续频谱在频域上分布往往是无限的，而在实际信号处理时，我们通常只能在有限的区间内做傅里叶分析，也就是说，我们只能用有限区间来代替理论分析中的无限区间，多数情况下，我们总是选择信号的低频部分，而舍弃高频部分。而信号的高频部分往往是反应信号快速变化特征，如果信号本身是连续的，这样做一般不会引起信号的显著变化，但实际中的信号往往是比较丰富的，特别是信号本身存在剧烈变化的，这样做必定会引起一些误差。该误差引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动 8。为了减小吉布斯效应带来的影响，需要调整窗口的长度来控制过渡带的宽度，但要减小带内的波动以及增大阻带衰减，还需要从窗函数的形状上寻找解决方法。为了
27、减少序列因截断而产生的Gibbs效应，窗函数在设计时需要注意：(1)频率特性的主瓣要尽可能的窄，并且尽量把能量都集在主瓣内。(2)窗函数频率特性的旁瓣 趋于 的过程中，其能量迅速减小为零。摘要13.1.3 常见窗函数介绍常见的窗函数有矩形窗（Rectangle Window）、三角形窗（Bartlerr Window）、汉宁（Hanning ）窗升余弦窗、哈明（Hamming）窗 改进的升余弦窗、布莱克曼（Blackman ）窗、凯塞 贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window）。矩形窗的窗函数为：（3-7 ）1 ()20otherwisRNn其频谱的幅度函数为（3-8 ）sin(/2)
28、()gRNW矩形窗的主瓣宽度为 ，用矩形窗设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度4/近似为 。1.8/N三角形窗的窗函数为：（3-9 ）21 0n()12() B NNn其频谱的幅度函数为（3-10 ）22sin(/4)()gBNW三角窗的主瓣宽度为 。8/汉宁窗窗函数为（3-11 ）20.5cos 0()1 HnNntherwis汉宁窗的频谱的幅度函数为第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2（3-12 ）22()0.5().()()11HRRRWWN 汉宁窗的主瓣宽度为 ，汉宁窗在其两个端点都为零，实际中这两个端8/n点的数据是不可用的。哈明窗的窗函数为（3-13 ）20.546cos 0()1
29、 HnNntherwis其幅度函数为（3-14 ）22()0.54().3()()11HRRRWWN 哈明窗是一种改进的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一种高效的窗函数，主瓣宽度与汉宁窗的相同。布莱克曼窗窗函数为（3-15 ）241(0.45cos0.8cos) )112 BnnNnNtherwis其频谱的幅度函数为（3-16 ）22()0.42().5()()1144 .)BRRRWWNN 该窗函数位移不同，幅度函数也不同，会使旁瓣进一步抵消，主瓣宽度为。12/N凯塞窗是一种最优窗函数，不同于前面五种窗函数，凯塞窗是一种参数可调的窗函数，其函数形式如下：（3-17 ）() 01oKInnN其中
30、（3-18 ）21()nN21()()!kokI摘要1一般 取15-25项可以满足精度要求。 参数可以控制窗的形状。一般()oI越大，主瓣越宽，而旁瓣幅度会随之减小，典型的 数据在4到9之间。各种窗函数的性能比较如表3-1所示：表3-1 不同窗函数性能比较窗函数 旁瓣峰值/dB 近似过渡带宽 精确过渡带宽 阻带最小衰减/dB矩形窗 -13 4 /N1.8 /N21三角形窗 -25 8 /N 6.1 /N 25汉宁窗 -31 8 /N 6.2 /N 44哈明窗 -41 8 /N6.6 /N53布莱克曼窗 -57 12 /N 11 /N 74凯泽窗（）865.7-57 10 /N 80虽然窗函数设
31、计法设计思路简单，但是它的边界频率不容易控制，而且窗函数还有吉布斯效应，需要选择不同的窗函数来减小吉布斯效应对结果的影响，但无论哪种窗函数，都无法很好的解决这一问题，所以我们需要通过其他的设计方法来进行滤波，便于满足实际工程中的不同要求。3.2 FIR 数字滤波器的频率采样设计法窗函数设计法是从时域出发来设计FIR数字滤波器的，而频率采样法是从频域出发设计FIR数字滤波器的。和窗函数设计法相同，频率采样法也需要预先构造一个希望逼近的滤波器频率响应函数 ，对其加以等间隔采样后，作为()jdHeFIR数字滤波器的频率响应。对 在 到 之间等间隔采样 点，得到()jd=02N频率采样值 ：()dHk
32、第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2（3-19 ）2() 0,12.jddkNHkeN再对 进行 点IDFT，得到 ：()d (hn（3-20 ）10) 0,12.NkdNkhnW将 作为所涉及的FIR数字滤波器的单位脉冲响应，其系统函数为()为Hz（3-21 ）10()=)NnnHzhz由于滤波器频率响应 是理想的，即 有间断点，那么其单位jde()jde冲激响应 是无限长的。这样，由于时域混叠，引起所设计的h(n)和)(nhd有偏差。d因此，采样点处 与 相等，逼近误差为0，而在采()2/)kjHeN(Hk样点之间， 由有限项的 之和形成。其误差和()j (/（ ）特性的平滑程度有关，特
33、性愈平滑误差愈小；特性曲线间断点处，误差()jdHe越大。误差表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，往往不能满足实际工程中的技术要求。当然，增大N值，可以减小逼近误差，但间断点附近误差仍然最大，且N太大会增加滤波器级数与成本。提高阻带衰减最有效的方法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡。过渡带采样点个数与阻带最小衰减 的关系以及使阻带最小衰减 最大化ss的每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决。其基本思路是将过渡带采样值设为一个自由量，用一种优化算法改变它们，最终使阻带最小衰减 最大。将s过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰
34、减 的经验数据列于表3-2中，我们s可以根据给定的阻带最小衰减 ，选择过渡带采样点的个数m。s摘要1表3-2 过渡带采样点的个数 m与滤波器阻带最小衰减 的经验数据sm 1 2 3s4454dB 6575dB 8595dB3.2.2 频率采样法的设计步骤首先根据阻带最小衰减 按照表3-2选择过渡带采样点的个数 ，再确定过sm渡带宽度 ，估算频域采样点数 ，如果增加 个过渡带采样点，则过渡带宽tBNm度近似变成 。当 确定时，过渡带会随着 的增大而变宽。如果(1)2/m给定的过渡带宽度为 ，则要求 ，滤波器的长度 必须满足t(1)2/tBN以下公式：（3-22 ）()tNm接着，构造一个希望逼近
35、的频率响应函数：（3-23 ）(1)/2()j jNddgHee设计标准型片段常数特性的FIR数字滤波器时，一般构造幅度特性函数为相应的理想频响特性，且满足 的对称情况。()dgH()hn对（3-23）进行频域采样：（3-24 ）12()() 0,2.1NjkjdgkNkeHeN （3-25 ）( =,.-gdg并加入过渡带采样。过渡带采样值一般为经验值，或者用累试法确定，也可以采用优化算法估算。对 进行 点IDFT，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响()HkN应：（3-26 ）10()()() n=0,12.N-NkkhnIDFTHW第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2求出 ：
36、开始确定所逼近的 ， 估算采样点数 N 与过渡带采样点数 m()jdHe采样 ：2/(),1.,jkd插入过渡带采样点数()(),012,.dhnIDFTHknN求出 ：jeh是否满足要求()jH输出设计结果 或 ()hnz结束增加过渡带采样点数改变 N 的值是否图 3-2 频率采样法设计FIR滤波器流程最后检验设计结果，如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带的采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器的边界频率未达到指标要求，则需要微调 的边界频率。频率采样法设计FIR 滤波器流程如图3-2 所示。()dgH频率采样法最大的优点就是直接从频率进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度
37、特性的滤波器。但是频率采样法在边界频率不容易控制，如果采样点数N 增加，对确定边界频率有好处，但同样会增加了滤波器的成本，因此只适合窄带滤波，且这种设计方法理解起来比较困难。3.3 FIR 数字滤波器的等波纹逼近设计法窗函数设计法和频率采样设计法虽然设计方法简单，但都存在滤波器边缘频率不易精确控制缺点，且这两种设计方法设计出来的滤波器的通带和阻带的摘要1波动幅度都是相等的，两种设计方法都不能分别控制通带和阻带的波动幅度，而现实工程中往往对二者都有不同的要求，需要分别进行控制。等波纹逼近法是一种优化设计方法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺陷，是最大误差最小化设计方法，并在整个逼近频段上均匀
38、分布。设 为希望逼近的幅度特性函数，且要求设计线性相位的FIR数字滤波()dH器时， 必须满足线性相位约束条件。用 表示实际设计的幅度特性()gH函数，定义加权误差函数 为()E（3-27 ）()()dgW式中， ，被称为误差加权函数，是由设计者定义的，用来控制不()0同频段的逼近精度。经过推导可把 统一标示为：()gH=QP()式中， 是系数不同的余弦组合式，记 ；P()na)cos(是不同的常数，在设计FIR滤波器时存在四种线性相位，当Q()且奇对称时，N为奇数， 为1；N为偶数时， 为1)hnQ()Q()；而当 偶对称时，不管N为奇数还是偶数， 都cos(/2(1)hn 取 。i第 3
39、章 FIR 数字滤波器的设计2开始设定加权函数 及通带波纹峰值()E()()P设定初始频率计算 ， 并求出 的新极值点多于 个极值选 个最大极值点得到最优化的 个极值计算 的系数结束是否否是1N1N1N极值点位置是否改变图3-3 remez算法搜索最佳频率点流程等波纹逼近的问题就是选择N个系数a(n)，使加权误差 的最大值最()E小。设定误差加权函数、通带波纹峰值及N+1个初始频率 i,i=0,1,2,N，计算各个频率点上的加权误差函数值，如果这些加权误差函数值小于等于给定的通带波纹峰值 ，则为最佳频率点；如果某个频率点上的加权误差函数值大于给定的通带波纹峰值，就用Remez算法更新迭代查找最
40、佳频率点。找到最佳频率点后，计算 系数及 。Remez算法搜索最佳频率点流程如图 3-3所示。P()()借助Remez算法来设计等波纹的FIR数字滤波器的步骤如下：给出所需的频率响应 、误差加权函数 和单位脉冲响应 的()dH()W()hn长度N ， 根据具体情况，进行 统一表达式的转换；设定初始频率点和通g带波纹值，采用Remez 算法计算最佳频率点组，由最佳频率点组计算 及()P摘要1系数，根据求出的 的表达式再利用傅里叶逆变换求得滤波器的单位()P()P脉冲响应 。用等波纹逼近法设计线性相位FIR滤波器的流程如图 3-4所示：()hn输入滤波器技术要求 ：设定误差加权函数及通带波纹峰值
41、,()dNH给出 N + 1 个交错点组频率初始值 ： ,0,2.i调用 r e m e z 算法程序求解最佳极值频率 ， 计算 ()P计算单位脉冲响应 hn输出最佳误差和 ()图 3-4 等波纹逼近法设计FIR滤波器流程利用等波纹逼近法设计FIR滤波器，其误差均匀分布在频带中，可以得优良的滤波特性，它在同样过渡带较窄的情况下，通带最稳定，阻带有最大化的最小衰减。3.4 三种设计法之间的对比窗函数设计法是这三种设计法里操作最简单的，但是窗函数的设计阶数相对其他两种更多，如果降低了设计的阶数，则最后得到的设计结果往往不能达到实际设计的要求和指标，除矩形窗之外，其他窗可以满足一般的设计指标，但在要
42、求精度较高的时候，窗函数设计往往不能很好的达到要求。频率采样法设计滤波器相对于窗函数，其阶数稍微比窗函数要少，但要通过优化过渡带的采样点取值来控制阻带的波纹幅度，所以并不能很好的满足工程中的要求。而等波纹逼近法是这三种方法中阶数最少的，且通带最大衰减是最小的，第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2阻带衰减最大。第 4 章 基于 Matlab 的 FIR 数字滤波器设计1.1 Matlab 简介1.1.1 MATLAB 的发展MATLAB 是英文 MATrix LABoratory（矩阵实验室）的缩写。早期的 MATLAB是用 FORTRAN 语言编写的，尽管功能十分简单，但作为免费软件，还是吸
43、引了大批使用者。经过几年的校际流传，在 John Little。Cleve Moler 和 Steve Banger 合作，于 1984 年成立 MathWorks 公司，并正式推出 MATLAB 第一版版。从这时起，MATLAB 的核心采用 C 语言编写，功能越来越强大，除原有的数值计算功能外，还新增了图形处理功能。Matlab 主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，代表了当
44、今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB 语言被称为第四代计算机语言，其利用丰富的函数资源，使程序员从繁琐的程序代码中解放出来，其最突出的特点就是简洁。MATLAB 用更直观的、符合人们思维习惯的代码，代替了 C 和 FORTRAN 语言的冗长代码，给用户带来最直观、最简洁的程序开发环境，下面简单介绍一下 MATLAB 的主要特点。语言简洁紧凑，使用方便，库函数十分丰富。MATLAB 程序书写的形式自由，利用丰富的库函数避开了繁琐的子程序编程任务，由于库函数都是由本领域的专家编写，所以不必担心函数的可靠性。高效方便的矩阵和数组运算，MATLAB 语言不需要定义数组的维数，并给出了矩阵函数、特
45、殊矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使得在求解信号处理、建模、系统识别、优化和控制等领域的问题时，显得大为简洁、方便、高效，摘要1这是其他高级语言所不能的。MATLAB 既具有结构化的控制语句，又具有面向对象编程的特性。MATLAB 语法限制不严格，程序设计自由度大，通过建立 M 后缀名文件的形式，与用户已经编好的 FORTRAN、C 语言成语混合编程，方便地调用有关的FORTRAN、C 语言的子程序。可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上面运行。MATLAB 的图形功能强大。在 C 和 FORTRAN 语言里，绘图都很不容易，但在 MATLAB 里，数据的可视化非常简
46、单。此外， MATLAB 还具有较强的编辑图形界面的能力。MATLAB 拥有功能强大的工具箱，主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实施交互功能。源程序的开放性强。除内部函数以外，所有 MATLAB 的核心文件和工具箱文件都是可读可改变的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。MATLAB 软件自 1984 年推向市场以来，历经十几年的发展和竞争，现已成为国际公认的最优秀的科技应用软件。它功能强大、界面友好、语言自然、开放性强，很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学乃至科技文字吹不可缺少的基础软件。1.1.1 窗函数法的 Mat
47、lab 实现 实际设计时，一般采用MATLAB工具箱函数实现。步骤（1）由设计者根据设计指标完成，步骤（2）-（4）的解题过程可调用设计函数fir1来实现。Fir1时用窗函数法设计线性相位FIRDF的工具箱函数，调用格式如下：hn=fir1(N,wc,ftype,window) fir实现线性相位FIR滤波器的标准窗函数法设计。“标准”时指再设计低通、高通、带通、带阻FIR滤波器时， 分别取相应的理想低通、高通、)(jwdeH带通、带阻滤波器，故而设计的滤波器的频率响应称为标注频率响应。hn=fir1(N,wc)可得到6dB截至频率为wc的N阶（单位脉冲响应h(n)长度为N+1）FIR低通滤波
48、器，默认（缺省参数windows）选用hammiing窗。其单位脉冲第 3 章 FIR 数字滤波器的设计2响应h(n)为：h(n)=h(n+1),n=0,1,2,N而且满足线性相位条件：h(n)=h(N-1-n)其中wc为对归一化的数字频率，0 wc 1。hn=fir1(N,wc,ftype)可设计高通和带阻滤波器。当ftype=high时，设计高通FIR滤波器；当ftype=stop时，设计带阻FIR滤波器。hn=fir1(N,wc,ftype,window)通过选择wc、ftype和window参数，可以设计各种加窗滤波器。Fir2可以指定任何形状的Hd（ ），用help命令查阅其调用格式。jwe下面给出利用 fir1 函数的窗函数法数字 低通滤波器。
