1、第四章 微分方程1.可分离变量的微分方程 初值问题00)()(yydxxfdyygxx的解为 dxxfxxy00)(g(y)dyy2.一阶线性微分方程 )()( xQyxPdxdy 的通解公式为)( )()( CdxexQey dxxPdxxP3.初值问题00)()(yyxQyxPdxdyxx的解为)( 0)()( 000 ydxexQeyxx dxxPxxxx dxxP4.齐次型方程 )( xydxdy dxduxudxdyuxyxyu 于是有便得到 )(udxduxu 这是一个可分离变量的微分方程。分离变量后积分 xdxuudu)(5.可化为齐次型的方程 bbaacybxa cbyaxdx
2、dy11111其中当 01cc 时方程是齐次型的， 否则是非齐次型的。 在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换kYyhXx ,)()(11111 ckbhaYbXacbkahbYaXdXdY再令 00111 ckbhacbkah可定出 h 和 k 6.伯努利方程 yxQyxPdxdy )()( )1,0(作代换 1yz 则 dxdyydxdz )1( ，于是有)()1()()1( xQzxPdxdz ，这是一阶线性方程。7.可降阶的二阶微分方程(1) )( xfy(2) ),( yxfy 设 py 那么 pdxdpy 从而方程就化为),( pxfp 这是一个关于变量 x， p 的一阶微分方程。 如果我们求出它的通解为 ),( 1Cxpy ，那么再通过积分，可得原方程的通解21),( CdxCxy(3) ),( yyfy 设 py dydppdxdydydpdxdpy 从而方程就化为 ),( pyfdydpp这是一个关于变量 y， p 的一阶微分方程。如果我们求出它的通解 ),( 1Cxpy 那么分离变量并两端积分，可得原方程的通解为 21),(CxCydy
