1、第十四章 相 对 论14 1 下列说法中(1) 两个相互作用的粒子系统对某一惯性系满足动量守恒，对另一个惯性系来说，其动量不一定守恒；(2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同.其中哪些说法是正确的？ ( )(A) 只有(1)、(2) 是正确的 (B) 只有(1) 、(3)是正确的(C) 只有(2)、(3) 是正确的 (D) 三种说法都是正确的分析与解 物理相对性原理和光速不变原理是相对论的基础.前者是理论基础，后者是实验基础.按照这两个原理，任何物理规律(含题述动量守恒定律) 对某一惯性系成立，对另一惯性系也同样成立
2、.而光在真空中的速度与光源频率和运动状态无关，从任何惯性系(相对光源静止还是运动)测得光速均为 3108 ms-1 .迄今为止，还没有实验能推翻这一事实.由此可见，(2)(3)说法是正确的，故选(C).14 2 按照相对论的时空观，判断下列叙述中正确的是( )(A) 在一个惯性系中两个同时的事件，在另一惯性系中一定是同时事件(B) 在一个惯性系中两个同时的事件，在另一惯性系中一定是不同时事件(C) 在一个惯性系中两个同时又同地的事件，在另一惯性系中一定是同时同地事件(D) 在一个惯性系中两个同时不同地的事件，在另一惯性系中只可能同时不同地() 在一个惯性系中两个同时不同地事件，在另一惯性系中只
3、可能同地不同时分析与解 设在惯性系中发生两个事件，其时间和空间间隔分别为t 和 x，按照洛伦兹坐标变换，在系中测得两事件时间和空间间隔分别为和 21xctv21txv讨论上述两式，可对题述几种说法的正确性予以判断：说法(A)(B)是不正确的，这是因为在一个惯性系(如系)发生的同时(t 0)事件，在另一个惯性系(如系)中是否同时有两种可能，这取决于那两个事件在 系中发生的地点是同地( x0)还是不同地(x0).说法(D)( )也是不正确的，由上述两式可知：在系发生两个同时( t0) 不同地(x0)事件，在系中一定是既不同时(t 0)也不同地(x0)，但是在 系中的两个同时同地事件，在系中一定是同
4、时同地的，故只有说法(C) 正确.有兴趣的读者，可对上述两式详加讨论，以增加对相对论时空观的深入理解.14 3 有一细棒固定在 系中，它与Ox 轴的夹角60，如果 系以速度u 沿Ox 方向相对于系运动， 系中观察者测得细棒与Ox 轴的夹角( )(A) 等于60 (B) 大于 60 (C) 小于60(D) 当系沿Ox 正方向运动时大于60，而当 系沿Ox 负方向运动时小于60分析与解 按照相对论的长度收缩效应，静止于系的细棒在运动方向的分量 (即Ox 轴方向)相对系观察者来说将会缩短，而在垂直于运动方向上的分量不变，因此系中观察者测得细棒与Ox 轴夹角将会大于 60，此结论与系相对系沿Ox 轴正
5、向还是负向运动无关.由此可见应选(C). 14 4 一飞船的固有长度为L ，相对于地面以速度v 1 作匀速直线运动，从飞船中的后端向飞船中的前端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为v 2 的子弹.在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是( ) (c 表示真空中光速)(A) (B) (C) (D) 2112v-L221/cLv分析与解 固有长度是指相对测量对象静止的观察者所测，则题中L、v 2 以及所求时间间隔均为同一参考系(此处指飞船 )中的三个相关物理量，求解时与相对论的时空观无关 .故选(C).讨论 从地面测得的上述时间间隔为多少？ 建议读者自己求解.注意此处要用到相对论时空观方面的规律
6、了.14 5 设系以速率v0.60 c相对于系沿xx轴运动，且在t t0时，x x0.(1)若有一事件，在系中发生于t2.010 7 ，x50m处，该事件在系中发生于何时刻？(2)如有另一事件发生于系中t 3.010 -7 ，x10m处，在系中测得这两个事件的时间间隔为多少？分析 在相对论中，可用一组时空坐标(x ， y， z， t)表示一个事件.因此，本题可直接利用洛伦兹变换把两事件从系变换到系中.解 (1) 由洛伦兹变换可得系的观察者测得第一事件发生的时刻为 s1025./172cxtv(2) 同理，第二个事件发生的时刻为 s105.3/1722cxtv所以，在系中两事件的时间间隔为 s1
7、05.712tt14 6 设有两个参考系 和，它们的原点在t0和 t0时重合在一起.有一事件，在系中发生在t8.010 8 s，x60m ，y0，z 0处若系相对于 系以速率v0.6c 沿xx轴运动，问该事件在系中的时空坐标各为多少？分析 本题可直接由洛伦兹逆变换将该事件从系转换到系 .解 由洛伦兹逆变换得该事件在 系的时空坐标分别为 m93/12ctxvy y 0z z 0 s15.2/17cxtv14 7 一列火车长0.30km(火车上观察者测得) ，以100kmh -1 的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多
8、少？分析 首先应确定参考系，如设地面为系，火车为系，把两闪电击中火车前后端视为两个事件(即两组不同的时空坐标 ).地面观察者看到两闪电同时击中，即两闪电在系中的时间间隔t t 2t 10.火车的长度是相对火车静止的观察者测得的长度(注：物体长度在不指明观察者的情况下，均指相对其静止参考系测得的长度)，即两事件在系中的空间间隔xx 2 x 10.3010 3m. 系相对系的速度即为火车速度 (对初学者来说，完成上述基本分析是十分必要的).由洛伦兹变换可得两事件时间间隔之间的关系式为(1)211212/cxttv(2)211212/cxttv将已知条件代入式(1)可直接解得结果.也可利用式(2)求
9、解，此时应注意，式中 为地12x面观察者测得两事件的空间间隔，即系中测得的火车长度，而不是火车原长.根据相对论，运动物体(火车)有长度收缩效应，即 .考虑这一关系方可利21212/cxxv用式(2)求解.解1 根据分析，由式(1)可得火车( 系) 上的观察者测得两闪电击中火车前后端的时间间隔为 s26.9141212 xctv负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x 2 处.解2 根据分析，把关系式 代入式(2)亦可得1212/cxv与解1 相同的结果.相比之下解1 较简便，这是因为解1中直接利用了 0.30km这一12x已知条件.14 8 在惯性系中，某事件A 发生在x 1处，经过2.0
10、10 6 后，另一事件B发生在x 2处，已知x 2x 1300m. 问：(1) 能否找到一个相对系作匀速直线运动的参考系，在系中，两事件发生在同一地点？(2) 在 系中，上述两事件的时间间隔为多少？分析 在相对论中，从不同惯性系测得两事件的空间间隔和时间间隔有可能是不同的.它与两惯性系之间的相对速度有关.设惯性系以速度v 相对 系沿x 轴正向运动，因在 系中两事件的时空坐标已知，由洛伦兹时空变换式，可得(1)211212/ctxv(2)211212/cxtt两事件在系中发生在同一地点，即 x2x 10，代入式(1)可求出v 值以此作匀速直线运动的系，即为所寻找的参考系 .然后由式(2)可得两事
11、件在系中的时间间隔.对于本题第二问，也可从相对论时间延缓效应来分析.因为如果两事件在系中发生在同一地点，则t为固有时间间隔(原时) ，由时间延缓效应关系式 可直接求得结果.2/1ctv解 (1) 令x 2x 10，由式(1) 可得 ctx50.sm105.1-812v(2) 将v值代入式(2) ，可得s1073./1/1 62221212 ctcxtt vv这表明在系中事件A先发生.14 9 设在正负电子对撞机中，电子和正电子以速度0.90c 相向飞行，它们之间的相对速度为多少？分析 设对撞机为系，沿x 轴正向飞行的正电子为系. 系相对系的速度v0.90c，则另一电子相对系速度u x0.90c
12、，该电子相对系( 即沿x轴正向飞行的电子)的速度u x即为题中所求的相对速度.在明确题目所述已知条件及所求量的物理含义后，即可利用洛伦兹速度变换式进行求解.解 按分析中所选参考系，电子相对系的速度为 cucxx94.012v式中负号表示该电子沿x轴负向飞行，正好与正电子相向飞行.讨论 若按照伽利略速度变换，它们之间的相对速度为多少？14 10 设想有一粒子以0.050c 的速率相对实验室参考系运动.此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为0.80c，电子速度的方向与粒子运动方向相同.试求电子相对实验室参考系的速度.分析 这是相对论的速度变换问题.取实验室为系，运动粒子为系，则 系相对系的速度v0
13、.050c.题中所给的电子速率是电子相对衰变粒子的速率，故u x 0.80c.解 根据分析，由洛伦兹速度逆变换式可得电子相对系的速度为 cucxx817.012v14 11 设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.210 8m -1 i.同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0108m -1 i.问：(1) 此火箭相对宇航飞船的速度为多少？ (2) 如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？ 请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度.分析 该题仍是相对论速度变换问题.(2)中用激
14、光束来替代火箭，其区别在于激光束是以光速c相对航天器运动，因此其速度变换结果应该与光速不变原理相一致.解 设宇航飞船为系， 航天器为系， 则 系相对系的速度v1.2 108m 1 ，空间火箭相对航天器的速度为 ux1.010 8m 1 ，激光束相对航天器的速度为光速c.由洛伦兹变换可得：(1) 空间火箭相对 系的速度为 1-82sm094.1xxucv(2) 激光束相对 系的速度为 cx21v即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的.如用伽利略变换，则有u xc v c.这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度.1
15、4 12 以速度 v沿x 方向运动的粒子，在y 方向上发射一光子，求地面观察者所测得光子的速度.分析 设地面为系，运动粒子为系.与上题不同之处在于，光子的运动方向与粒子运动方向不一致，因此应先求出光子相对系速度u的分量u x、u y 和u z ，然后才能求u的大小和方向.根据所设参考系，光子相对系的速度分量分别为 ux0，u yc，u z0.解 由洛伦兹速度的逆变换式可得光子相对系的速度分量分别为 vxxuc2122/ccuxyv0z所以，光子相对系速度u的大小为cuuzyx22速度u 与x 轴的夹角为 v2arctnrtuxy讨论 地面观察者所测得光子的速度仍为c，这也是光速不变原理的必然结
16、果.但在不同惯性参考系中其速度的方向却发生了变化.14 13 设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c 的速率向东飞行，5.0后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星相碰撞.试问：(1) 飞船中的人测得彗星将以多大的速率向它运动？ (2) 从飞船中的钟来看，还有多少时间允许它离开航线，以避免与彗星碰撞？分析 (1) 这是一个相对论速度变换问题.取地球为系，飞船为 系，向东为x 轴正向.则系相对系的速度v0.60 c，彗星相对系的速度u x 0.80c，由洛伦兹速度变换可得所求结果.(2) 可从下面两个角度考虑：.以地球为系，飞船为系.设x 0x 0 0 时t 0t 00，飞船与彗
17、星相碰这一事件在系中的时空坐标为t 5.0， xvt.利用洛伦兹时空变换式可求出t，则t tt 0表示飞船与彗星相碰所经历的时间.把t 0t 00 时的飞船状态视为一个事件，把飞船与彗星相碰视为第二个事件.这两个事件都发生在系中的同一地点 (即飞船上)，飞船上的观察者测得这两个事件的时间间隔t为固有时，而地面观察者所测得上述两事件的时间间隔t5.0比固有时要长，根据时间延缓效应可求出t.解 (1) 由洛伦兹速度变换得彗星相对系的速度为 cucxx946.012v即彗星以0.946c的速率向飞船靠近.(2) 飞船与彗星相碰这一事件在系中的时刻为 s0.4/12ctvx即在飞船上看，飞船与彗星相碰
18、发生在时刻t4.0.也可以根据时间延缓效应，解得t4.0 ，即从飞船上的钟来看，尚有 4.0 时间允许s0.5/12cttv它离开原来的航线.14 14 在惯性系 中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0 s，从另一惯性系中观察到这两个事件的时间间隔为 6.0 s，试问从 系测量到这两个事件的空间间隔是多少？ 设系以恒定速率相对系沿 xx轴运动.分析 这是相对论中同地不同时的两事件的时空转换问题.可以根据时间延缓效应的关系式先求出系相对 系的运动速度v，进而得到两事件在系中的空间间隔x vt( 由洛伦兹时空变换同样可得到此结果).解 由题意知在系中的时间间隔为固有的，即t 4.0，
19、而t6.0 s.根据时间延缓效应的关系式 ，可得系相对系的速度为2/1cttv ct3512/1两事件在系中的空间间隔为 m104.9txv14 15 在惯性系 中， 有两个事件同时发生在xx轴上相距为1.010 3m的两处，从惯性系观测到这两个事件相距为 2.0103m，试问由系测得此两事件的时间间隔为多少？分析 这是同时不同地的两事件之间的时空转换问题.由于本题未给出系相对 系的速度v，故可由不同参考系中两事件空间间隔之间的关系求得v，再由两事件时间间隔的关系求出两事件在系中的时间间隔 .解 设此两事件在 系中的时空坐标为 (x1 ，0，0，t 1 )和(x 2 ，0，0，t 2 )，且有
20、x 2 x 1 1.010 3m， t2 t 1 0.而在系中， 此两事件的时空坐标为(x 1 ，0，0，t 1 )和( x2 ，0，0，t 2 )，且 |x2 x 1| 2.010 3m，根据洛伦兹变换，有(1)211212/ctxxv(2)211212/ctt由式(1)可得 cx231/12v将v 值代入式(2)，可得 s107.5612t14 16 有一固有长度为l0 的棒在 系中沿x 轴放置，并以速率u 沿xx轴运动.若有一系以速率v 相对 系沿xx轴运动，试问从系测得此棒的长度为多少？分析 当棒相对观察者(为 系)存在相对运动时，观察者测得棒的长度要比棒的固有长度l0 短，即 .式中
21、u是棒相对观察者的速度，而不要误认为一定是 系和 20/1cul系之间的相对速度v.在本题中，棒并非静止于系，因而系与 系之间的相对速度v 并不是棒与系之间的相对速度 u.所以本题应首先根据洛伦兹速度变换式求u，再代入长度收缩公式求l.解 根据分析，有(1)21cuv(2)0/l解上述两式，可得 2/12220vvcucl14 17 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少？ (以光速 c 表示)解 设宇宙飞船的固有长度为l 0 ，它相对于惯性系的速率为v，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为 ，根据洛伦兹长度收缩公式，有2/0l 20/12/clv
22、可解得v 0.866c14 18 一固有长度为4.0 m 的物体，若以速率0.60c 沿x 轴相对某惯性系运动，试问从该惯性系来测量，此物体的长度为多少？解 由洛伦兹长度收缩公式m2.3/10cl2v*14 19 设一宇航飞船以a 9.8 m 2 的恒加速度，沿地球径向背离地球而去，试估计由于谱线的红移，经多少时间，飞船的宇航员用肉眼观察不到地球上的霓虹灯发出的红色信号.分析 霓虹灯发出的红色信号所对应的红光波长范围一般为620nm760 nm，当飞船远离地球而去时，由光的多普勒效应可知，宇航员肉眼观察到的信号频率 0 ，即 0 ，其中 0 和 0 为霓虹灯的发光频率和波长.很显然，当 062
23、0 nm，而对应的红限波长760 nm 时，霓虹灯发出的红色信号，其波长刚好全部进入非可见光范围，即宇航员用肉眼观察不到红色信号.因此，将上述波长的临界值代入多普勒频移公式，即可求得宇航员观察不到红色信号时飞船的最小速率v，再由运动学关系，可求得飞船到达此速率所需的时间t.解 当光源和观察者背向运动时，由光的多普勒效应频率公式 2/10vc得波长公式 2/10vc式中v 为飞船相对地球的速率.令 0 620 nm，760 nm，得宇航员用肉眼观察不到地球上红色信号时飞船的最小速率为 1-820sm6.v飞船达此速率所需的时间为 a.20s1.6at14 20 若一电子的总能量为5.0MeV，求
24、该电子的静能、动能、动量和速率.分析 粒子静能E0 是指粒子在相对静止的参考系中的能量， ，式中为粒子在相20cmE对静止的参考系中的质量.就确定粒子来说，E 0 和m 0均为常数(对于电子，有m 0 9.1 1031 ，E 00.512 MeV).本题中由于电子总能量E E 0 ，因此，该电子相对观察者所在的参考系还应具有动能，也就具有相应的动量和速率.由相对论动能定义、动量与能量关系式以及质能关系式，即可解出结果.解 电子静能为 MeV512.020cmE电子动能为 E K EE 0 4.488 MeV由 ，得电子动量为202cp1-212/102 smkg06.cp由 可得电子速率为2/
25、10cEv cEc95.02/12v14 21 一被加速器加速的电子，其能量为3.00 109eV.试问：(1) 这个电子的质量是其静质量的多少倍？ (2) 这个电子的速率为多少？解 (1) 由相对论质能关系 和 可得电子的动质量m 与静质量m 0之比为2c20c3200186.5E(2) 由相对论质速关系式 可解得/120cmvc985.1/10v可见此时的电子速率已十分接近光速了.14 22 在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射.假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E.分析 在相对论中，粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律，因此辐射总能量应等于
26、电子偶湮没前两电子总能之和.按题意电子偶湮没前的总能只是它们的静能之和.解 由分析可知，辐射总能量为 MeV1.02J64.1230cmE14 23 若把能量0.50 106 eV给予电子，让电子垂直于磁场运动，其运动径迹是半径为2.0cm 的圆.问：(1) 该磁场的磁感强度B 有多大？ (2) 这电子的动质量为静质量的多少倍？分析 (1) 电子在匀强磁场中作匀速圆周运动时，其向心力为洛伦兹力F evB，在轨道半径R 确定时，BB (p)，即磁感强度是电子动量的函数.又由相对论的动能公式和动量与能量的关系可知电子动量p p(E 0 ,EK)，题中给予电子的能量即电子的动能E K ，在电子静能已
27、知的情况下，由上述关系可解得结果.20cmE(2) 由相对论的质能关系可得动质量和静质量之比.本题中电子的动能E K 0.50 MeV 与静能E 00.512 MeV 接近，已不能用经典力学的方法计算电子的动量或速度，而必须用相对论力学.事实上当E K 0.50 E 0 时，用经典力学处理已出现不可忽略的误差.解 (1) 根据分析，有E E 0 +EK (1)(2)22cp(3)RvmBe联立求解上述三式，可得 ecEkk02(2) 由相对论质能关系，可得 98.100Emk本题也可以先求得电子速率v 和电子动质量m ，但求解过程较繁.14 24 如果将电子由静止加速到速率为0.10c，需对它作多少功？ 如将电子由速率为0.80c 加速到0.90c，又需对它作多少功？分析 在相对论力学中，动能定理仍然成立，即 ，但需注意动能E K 12kkW不能用 表示.2vm1解 由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从v1 增加到v2 时，电子动能的增量为 2/12/120 00ccmcmEkk vv根据动能定理，当v 1 0，v 2 0.10c 时，外力所作的功为eV1058.23kEW当v 1 0.80 c，v 20.90 c 时，外力所作的功为 .5k由计算结果可知，虽然同样将速率提高0.1 c，但后者所作的功比前者要大得多，这是因为随着速率的增大，电子的质量也增大.
