1、第2卷第2期2001年6月信息工程大学学报Jo唧alof m眦tion Enginee五“g unive玛ity V012 No，2Jun2001关于矩阵对策的几个基本定理的证明韩中庚(信息工程大学信息安全学院，河南郑州450002)摘要：本文给出了矩阵对策的几个基本定理的详细证明。关键词：矩阵对策；混合策略；策略集；赢得函数中图分类号：022 文献标识码：A 文章编号：167l一06732001)020013一031 引言对策论是实际中研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。它是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。矩阵对策是对策论的重要组成部分，即为二人有限零和对策，矩阵对策
2、的一般模型为c=sl，s2；，其中sI=叭，nz，d。，S2=pt，风分别为局中人I和的策略集，A=(oi)为局中人I的赢得矩阵。矩阵对策在混合策略意义下的一般解法是线性规划方法，在文献1中给出了相关的理论和方法，但没有给出相应的证明，为此，本文给出了几个重要结果的详细证明。2几个主要结果及证明定理l设(q，岛。)和(a|2，辟：)都是对策G的解，则其值相等，即ov，=a。，：。证明 由于(il，1)，(f：，止)都是A的鞍点，所以口，q，。m(对一切i，成立)8。：d。小m：J(对一切i，成立)于是d。IJlml屯Dt出d。iJlmlJI故口。，=口。出(1)(2)(3)定理2设(。r岛。)
3、和(ar岛：)都是对策G的解，则(ar辟：)和(。：，岛)也是G的解。证明实际上，只要证明(f，矗)，(i2，)都是A的鞍点即可。由(1)、(2)、(3)式：o_fr2m，一。山=峨m。J，所以(il，止)是鞍点。同理可证(赴，)也是鞍点，亦即(，甩)和(m，岛)都是G的解，且m【l 2口出2 mIt 2定理3矩阵对策G=5。，s2；A在混合策略意义下有解的充要条件是：存在xs?和ys?，使(t，y)为E(x，y)的一个鞍点。即对任意js?和ysi有E(，)E(x。，y“)E(x，y)。证明必要性设有(x。，y。)是G在混合策略下的解，即使得IIlinE(z，y)=珊丑x工rIinE(x，)和
4、Il诅xE(*，s； ts：T5： ts：，。)=I丑inIn缸E(，y)水s：zs：则由nlaxF(x，y)=min F(x，y)层(x。，y)TE 5： Ts：ma【E(*，y。)=面nF(x。，y)；5： s：所以对任意*，v有E(，y+)ln缸E(z，y。)E(z，y)，5711lin E(g。，)E(z，y)一s：充分性设对任意*，y有E(*，y+)E(#。，y)E(*。，y)则收一日期：20一1220作者篱介：韩中庚(1958一)男河北沧州人信息工程大学刚教授主要研究方向为数学模型的应用。，*E等m屯正=y*Em圬旺哪庄II得万方数据14 信息工程大学学报 2001年因为哪E(x，
5、y)F(*。，Efy)111；n E(，y)又商n王rIaxE(，y)n1缸E(z，y。)，s；，E s? xsjminE(，+，y)111缸IIlin(x，y)ys| z5：T5：所以ITlin maxE(g，y)E(x，y)ys?-E sj埘商n E(z，y)tsj，s?另一方面，对任意z，y有mjn E(x，y)E(#，y)lnaxE(x，y)蚱s? ，sj所以础nlinE(x，y)lIlin Il诅xE(x，y)；5：Ts： ys：zs：故n诅x nlin E(，y)=lIlin I皿E(*，y)=ts：s： ，s：ts：E(x，y“)即(z，y+)为c的解，且其值为=E(#。，y)。
6、定理4设G=s?，s；E是c的混合扩充，且z。sj，ysi，则(z+，y。)是对策G的解的充要条件是：存在数u使得x+和y分别不等式组的解。铲u，2 l，2，n三；：ll。】。x。0，i=l，2，m薯。拼”，i 21，2，“，曼。1儿0，j=1，2，n且其值为u=。(I)()证明必要性设(z+，y)是G的解，由已知结论，则有E(i，y)E(x+，y)E(z+，J)取uc E(z。，y)，则对任意z=(*1，x2，x。)sj，且x。0，芑z；=l有 E(z，j)E(z)E(x，y)=u即zd一，u，=l，2，n，故*是(I)的解。同理y是()的解，且u=。充分性设z+，y分别是(I)，()的解，
7、且u=v。，由(I)可得E(z，J)E(x，j)u(j=1，2，n)由()可得E(f，y)E(i，y。)u(J=l，2，m)于是昱(i，y)E(z+，y)=uE(z，j)故(#+，y)为G的解。定理5对于任一矩阵对策G=s，S2；A的求解均等价于求解一对相互对偶的线性规划问题(P)和(D)。证明关于二者的等价性由文献1中定理4和定理5可知，在此只证明问题(P)和(D)是相互对偶的。由二线性规划问题：P批邳。12一 (P)l* Lz。=1，*。0，f=1，2，m而n uP疥江12一 (D)l。 L竹=l，竹0，J=1，2，n首先，对问题(P)设有m+1个决策变量：z，。2，。，w和n+1个约束条
8、件，则(P)可等价为()，然后，按照线性规划的对偶原则可得到()的对偶问题(D)，即与(D)等价：nm：=0ol+0。02+0。+埘三。乒-一埘o，2 1，2，Z，。=1，*。O，i=1，2tI”无约束戚w 7=0y+0y2+ln幽一”o，i 21+0y。+o2，-m熹”=l，斗巩=1，2，n 。”无约束显然，z=(1，0，O)7E“，w 2胁口lJ和y 2(1，0，0)7F，F=M吼1分别是(P)和(D)的可行解，即二问题的可行域非空，而且是有限的，故知问题一定存在最优解。定理6设有两个矩阵对策GI=s1，S2；I和G2=s1，s2；A2，其中Al=()，2=(+L)，L为任一常数，则万方数
9、据第2期 韩中庚：关于矩阵对策的几个基本定理的证明 15(I)=+L；(2)r(G1)=r(G2)，即二对策的解集相等。证明(1)根据定理4，如果(z。，y)是Gl的解，则*。和y+分别是不等式组(I)和()解，且u2 Vc，即Vc=in庐?=。，。对于c2的解，同理应满足相应的不等式(I)和()，即f：曼(d+三)置K。 (T)Lz=1-=1f，三(+)竹f ()【咒=1J 2I将z，“分别代人(I)，()得VG2善8?+2 K+L，io酊+=，+，故=+L。(2)令Gl和c2的赢得函数为El(z，y)=。毛三n萨和E2(z，y)=邑三(nF+L)z一”2 E，(z，y)+L对任意(z，y)
10、r(G1)，则有El(i，y。)F1(*+，y)目1(z”，j)(i=1，2，m；，=l，2，n)又由E2(i，y)=EI(x，y)+得E2(；，y)E2(x。，y)后2(x。，J)(i=l，2，m；j=1，2，H)故(#，y)r(G2)，即r(G1)r(G2)。同理可证：对任意(x，y)7T(G：)，则(z，+)，(G1)，即丁(岛)c r(GI)。于是r(c1)=r(c2)。定理7设有两个矩阵对策G1=sl，s2；I和岛=s1，s2；d，其中口o为任一常数，则(1)=nK；(2)r(G1)=r(G2)证明如果记G，的赢得函数为E，(x，y)=Za一，则G2的赢得函数为5l毋(z，y)=乏口
11、8一”=口日(，y)，下面仿定理6同理可证。定理8设有矩阵对策G=sl，s2；AI，且A=一7，则(1)=O；(2)rl(c)=咒(G)，其中rl(c)和咒(G)分别为局中人I和的最优策略集。证明(1)首先由A=一A可知A为n阶方阵。因为2：毛。一-“2。毛叩竹另一方面2邑羞(一。口)z册2一毛羞”2故Vc=O。(2)对任意z。丁l(G)有三口dx?=O，且。三*?=l则必存在y咒(G)使，i口d玎=o，且=l同理，对任意y。疋(c)有，三nFyj=o，且，善一21，则必存在zn(使x-=ot且x?=1。l一1故#?=，j(i=l，2，n)，因此五(G)=咒(G)。目前，我们能见到关于矩阵对策
12、的现成参考资料很少，本文中所给出的几个定理是求解一般矩阵对策的重要理论根据和方法，给出它们的证明是必要的，对于教学和科研工作有一定的参考价值。参考文献1钱颂迪运筹学(修订版)M北京：清华大学出版社1998Pmo矗of Several F咖Id删嘲妇l Threms of Matrix Gam髑HAZll“ggBng(IIl丑6mtc 0f Info唧tion secIlrity，Ille PLIn“on ET画眦edng unive搀iy，Zhen曲ou 450002clli眦)Abshc：ni8 pape。presents d科撕ied proofs of seve mI fuIlda雌nt
13、al tbDre鹏of matdl 98me8K吁帅rds：姐tril铲瑚；mixed s砒8舒；set 0f s廿ate百器；win mcti彻万方数据关于矩阵对策的几个基本定理的证明作者： 韩中庚作者单位： 信息工程大学信息安全学院,刊名： 信息工程大学学报英文刊名： JOURNAL OF INFORMATION ENGINEERING UNIVERSITY年，卷(期)： 2001,2(2)参考文献(1条)1.钱颂迪 运筹学 1998本文读者也读过(10条)1. 陈源.CHEN Yuan 矩阵对策的性质以及矩阵对策的一种解法期刊论文-衡阳师范学院学报2006,27(6)2. 瞿勇.宋业新.
14、QU Yong.SONG Ye-xin 具有模糊目标的双矩阵对策及其应用期刊论文-江汉大学学报（自然科学版）2009,37(1)3. 姜殿玉 一种22零化矩阵对策的正赢得效用期刊论文-青岛大学学报(自然科学版)2004,17(3)4. 阮国桢.彭跃辉.Ruan Guozhen.Peng Yuehui 矩阵对策的基线算法期刊论文-邵阳师范高等专科学校学报2001,23(5)5. 姜殿玉.刘广智 矩阵对策的公平性研究期刊论文-运筹学学报2003,7(4)6. 侯建军.许北平.杨宝璋 矩阵对策在船舶避碰中的应用研究会议论文-20077. 王爱武.宋企功.WANG Ai-wu.SONG Qi-gong 求23-三矩阵对策Nash平衡解的方法期刊论文-数学的实践与认识2010,40(3)8. 赵锡英.叶燕文 求解3m矩阵对策期刊论文-甘肃工业大学学报2002,28(2)9. 姜殿玉.张盛开.刘广智 矩阵对策的两个注记期刊论文-运筹与管理2001,10(4)10. 白国仲.BAI Guo-zhong 一类双层规划问题及其在矩阵对策中的应用期刊论文-数学的实践与认识2007,37(24)本文链接：http:/
