1、DDBB 初中数学解与思 【 问题 】 若x 1 ;x 2 是关于x 的方程x 2 +bx+c=0 的两个实数根， 且| x 1 | +| x 2 | =2| k| (k 是整数 ) ， 则称方程x 2 +bx+c= 0 为 “偶系二次方程” 。 如方程x 2 6x 27=0;x 2 2x 8=0;x 2 +3x 27 4 =0;x 2 +6x 27=0;x 2 +4x+4= 0 ，都是“偶系二次方程” 。 (1) 判断方程 x 2 +x 12=0 是否是“偶系二次方程” ，并说明理由。 (2) 对于任意一个整数 b ， 是否存在实数 c ， 使得关于 x 的方程 x 2 +bx+c=0 是
2、“偶系二次方程” ， 并说 明理由。 【 问题来源 】 这是厦门市 2013 年的中考压轴题 （第 26 题， 满分 11 分） ， 现在各个主流的教辅上都有这 道题，解答都惊人的相似。本文主要分析第（2 ）问的解答。 【 整体分析 】 这是一道新定义题。 这种先给出一个 （或一系列） 对象的定义， 并在此基础上研究该对象的 性质， 是数学研究中的常见方法。 大到某个数学学科或方向， 小到某个具体的图形 / 概念， 这种研究模式 无处不在。 本题中先给出 “偶系二次方程” 的定义以及一些偶系二次方程的例子， 在此基础上要求考生判断给定 的方程是否是偶系二次方程； 问题 （ 2 ） 是要求考生在
3、给定二次项与一次项系数的基础上， 构造出 “偶系 二次方程” ，也就是要求构造出一个用一次项系数 b 表示的偶系二次方程的常数项的公式。 【 解题分析 】 【 分析一 】 待定系数法。 题目要求我们构造出一个公式即可， 也就是 c 是关于 b 的一个代数式， 根据经 验， 我们不妨假设这个代数式是一个二次多项式 mb 2 +nb+q 。 接下来， 如果能够用已知的偶系二次方程 的例子确定出 m;n;p 的值， 并验证该多项式对一般情况均成立， 则问题即可得到解决。 下面的解答利用 了这个思路， 是各种教辅、 网络上流行的解答， 虽然得出了正确的结果， 但这个结果的得到有一定的偶然 性。 因为在
4、待定系数的过程中， 选择不同的偶系二次方程， 得到的系数是不一样的， 很多时候得到的二次 三项式并不满足条件。 *x 2 6x 27=0 与 x 2 +6x 27=0 是偶系二次方程， ) 设 c=mb 2 +n ， 当 b= 6;c= 27 时，有 27=36m+n 。 *x 2 =0 是偶系二次方程， )n=0 时，m= 3 4 ; 即有 c= 3 4 b 2 *x 2 +3x 27 4 =0 是偶系二次方程， 当 b=3 时，c= 3 4 3 2 = 27 4 ) 可设 c= 3 4 b 2 。 1DDBB 初中数学解与思 对于任意一个整数b;c= 3 4 b 2 时， * =b 2 4
5、c=4b 2 ，原方程有解 x 1 = b 2 ;x 2 = 3 2 b )| x 1 | +| x 2 | =2| b| . *b 是整数，) 对于任何一个整数 b;c= 3 4 b 2 时，关于 x 的方程 x 2 +bx+c=0 是偶系二次方程。 【 分析二 】 求根公式法。 偶系二次方程涉及到方程两个根， 自然会想到使用一元二次方程的求根公式来处 理。 使用求根公式方程来处理本问题的难点在于绝对值符号的处理。 按照一般情况， 需要分四种情况来处 理，可能有些同学会因为分类太复杂而放弃。但实际上，经过尝试可知道，最终的分类只有两类。 由一元二次方程求根公式知原方程两根分别为x 1 = b
6、+ b 2 4c 2 ，x 2 = b b 2 4c 2 。 如果 x 1 ;x 2 同号， 则 | x 1 | +| x 2 | =| b| ， 由于 b 是任意整数， 故此时方程不一定是偶系二次方程。 【 方 程两根是否同号， 与 c 的值有关， 注意 c 是由我们自己来选择的， 我们可以完全可以适当选择， 使方程两 根不同号来避免此种情况。 】 如果 x 1 ;x 2 异号，则| x 1 | +| x 2 | = b 2 4c=2| k| ，由于 k 为任意整数，因此不妨设 k=b ， 则 b 2 4c=2| b| ，此时 c= 3 4 b 2 。 这样原方程变为x 2 +bx 3 4
7、b 2 =0 ， 它有两个实数根 b 2 ; 3 2 b ， 其绝对值之和为 2| b| ， 为偶系二次方程。 【 分析三 】 使用根与系数关系法。 偶系二次方程涉及到的是一元二次方程两个根之间的关系， 我们可以利 用根与系数的关系来解决问题。 但根与系数的关系涉及到的是两根的和与积， 并不涉及到绝对值。 因此如 何去除条件| x 1 | +| x 2 | =2| k| 中的绝对值符号是此种解答方式成败的关键。 不妨设方程两个根为 x 1 ;x 2 ，由一元二次方程根与系数的关系，有 x 1 +x 2 = b;x 1 x 2 =c 将| x 1 | +| x 2 | =2| k| 两边平方得：
8、 【 通过平方去除绝对值符号是一种常用的技巧 】 (| x 1 | +| x 2 | ) 2 =x 2 1 +x 2 2 +2| x 1 x 2 | =(x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 +2| x 1 x 2 | =b 2 2c+2| c| =4k 2 如果 c 0 ， 则上式变为 b 2 = 4k 2 ， 但 b 是任意整数， 故此时 k 不一定是整数， 也就是此时方程不一 定是偶系二次方程。 【 同样，由于 c 是由我们自己选择的，我们完全可以避免这种情况。 】 如果 c0 ，则上式变为 b 2 4c=4k 2 ，不妨设 k=b ，则有 c= 3 4 b 2 ，此时原方程变为
9、x 2 +bx 3 4 b 2 =0 ，它有两个实数根 b 2 ; 3 2 b ，其绝对值之和为 2| b| ，为偶系二次方程。 【 分析四 】 构造方程法。 根据题意， 两根绝对值的和是个偶数并且与 b 有关， 而与 b 有关的偶数最简单的 当然是 2| b| 了， 因此， 如果我们能够构造出一个这样的方程， 使得它们两根的和 x 1 +x 2 = b ， 两根绝对 值之和| x 1 | +| x 2 | =2| b| ，则我们也可以完成任务。 易知 x 1 = b 2 ;x 2 = 3 2 b 满足要求， 这样方程就可以构造 出来。 不妨假设方程的两根分别为x 1 = b 2 ;x 2 =
10、 3 2 b ，则| x 1 | +| x 2 | =2| b| 满足偶系二次方程的定义。 2DDBB 初中数学解与思 此时有：x 2 +bx+c=(x x 1 )(x x 2 )=(x b 2 )(x+ 3 2 b)=x 2 +bx 3 4 b 2 因此对任意整数 b ，取 c= 3 4 b 2 ，则原方程有两个根 b 2 和 3 2 b ，此时方程为偶系二次方程。 【 解后反思 】 本题在方法二至方法四中， 均将 k 与 b 联系起来， 从而有效的降低了题目的难度， 加快了题目的解决 过程。 这是解决这种有关存在性问题的技巧， 即不追求问题的完整解答， 只需要在所有可能的解答中找到 一个即
11、可。 实际上， 在方法二和方法三中， 我们完全可以假设 k=2b;4b;: 或 2b+2;: 等； 方法四中， 我 们也可以设 x 1 = 3 2 b;x 2 = 5 2 b 等， 这样也都可以得到不同的 c 的表达式。 在实际解题过程中， 我们选择 的是最简单的情形。 方法三中用平方法去绝对值符号是一种有用的技巧，值得留意。 一般在解决含参数的一元二次方程根的存在性问题时， 都要验证一下最后得到的方程的判别式是否非 负 。 但在方法二至方法四的解题过程中， 我们都没有做这个工作。 这是因为在解答的过程中， 已经自然得 到了方程的实数解，因此这个验证工作也就没有必要了。 【DDBB;20170310 】 3
