1、0第七讲 非黎曼积分（反常积分）1、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.1、 一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间 或有限闭区域 ，ba,D如果将积分区间 换成无限区间 或非闭区间 （ 是被积函ba, ),a(数的瑕点）或 ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的， “反常”指将黎曼积分
2、中的有限闭区间 换成ba,无限区间 或非闭区间 （ 是被积函数的瑕点 ,即函数 在),a,(ba)(xf点 处无界）.x定义 1 函数 在无限区间 连续，则定义)(xf),a，如果极限 存在，我们称反Aaa dxfdxf)(lim)( Aadxf(lim常积分 收敛.定义 2 函数 在非闭区间 连续，而在点 右邻域内无界)(f,(b1（ 是被积函数 的瑕点）即函数在点 无界，则定义a)(xfa,如果极限bkababa dxfddxf )(limli)(0存在，我们称反常积分 收敛.lim0函数 在点 右邻域内无界的意思是： .注意: 函数)(f )(lixfax在点 没有定义 ,但函数 在点
3、右极限 可以存在 ,这时 不a)(xfaa是被积函数 的瑕点.)(f例如,函数 在点 处没有定义 ,但 ,所以 不是xsin01sinlm0x0x积分 的瑕点. 不是反常积分. 将积分 看作10d10sidx0sind推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数 在闭区间 上仅有有限个第)(fba,一类间断点, 则积分 为推广的黎曼积分,它也是收敛的.baxf)(定义 3 函数 在开区间 内连续， 都是函数 的瑕点，),)(xf则定义, bccabccaba dfdxfdxfxfdxf )(lim)(li)()()( 00如果极限 和 均存在，我们称反常积分lim0bcfli0收敛.baxf)(定义
4、 4 函数 在无限区间 连续， 是函数 的瑕点，)(f),(aa)(xf则定义,如 Abbabbaa dfdfdxfxfdxf )(lim)(li)()()( 0果极限 和 均存在，我们称反常积分lim0Ali2收敛.adxf)(积分区域无限且被积函数 有瑕点（了解）.),(yxf2、一元函数反常积分的性质与收敛判别请同学们切记如下例子中的结论.例 讨论积分 和 的敛散性.dxp10p1解 显然 和 均发散.在区间 上, 当 时, 函数 , 即前者的图像在后者的图1(xp1像下方,这时 收敛(请同学给出证明). 当 时, 函数 , dxp0 xp1即前者的图像在后者的图像上方,这时 发散(请同
5、学给出证明).dxp10在区间 上, 当 时 , 函数 , 即前者的图像在后者的)1图像上方,这时 发散(请同学给出证明). 当 时, 函数dxp1 1p, 即前者的图像在后者的图像下方,这时 收敛(请同学给出xp dx10证明). 结论: 和 时当 时 ，当， 1,110pdxp .1,11 时当 时 ，当， pdxp(1) 无穷积分的性质与收敛性判别无穷积分的性质(a)若 与 收敛, 则 也dxfa)(1dxfa)( dxfkxfa)()(213收敛, 且 .dxfkdxfkdxfkxf aaa )()()()( 2121 (b)若 在任何有限闭区间 上可积, , 则 与ub同敛态(同时收
6、敛或同时发散),并且dxfb).dxffbbaa )()(c) 若 在任何有限闭区间 上可积, 且有 收敛，(xuadxfa)(则 收敛，且 .dfa) xfxfa)()(当 收敛时, 称 绝对收敛. 我们称收敛而不绝对x(d收敛者为条件收敛.无穷积分的收敛判别(a) 柯西收敛准则对无穷积分 的敛散性用以下准则可以作出dxfdxfuaa)(lim)(判断.定理 1(柯西收敛准则) 无穷积分 收敛的充要条件是 : 对fa)(, , , 当 时, 有00UUu21,. dxfdxfxf uuaua )()()(2121无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到.(b) 比较法则定理 2(
7、比较法则) 设定义在 上的两个函数 和 都在任),a)(xfg何有限区间 上可积,且满足 , ,则当ua(xgfa收敛时 必收敛; 当 发散时dxga)(dxfa)( dxfa)(4必发散.dxga)(考虑当 收敛时 必收敛是否正确? 当a)(dxfa)(发散时 必发散是否正确?xfa)(xg推论 1 设定义在 上的两个函数 和 都在任何有限区间),)(xfg上可积, , 且 , 则有u0(xgcgfx)(lim当 时, 与 同敛态; cdfadxa)(当 时, 由 收敛可推知 也收敛; 0x)(f当 时, 由 发散可推知 也发散.cgaxa)(利用不等式 ，即cxf)(可证上述结论.)(gf
8、xgc推论 2 设 是定义在 ( )的函数,且在任何有限区间)(,a0上可积,则有:ua当 , ,且 时, 收敛;pxf1)()1pdxfa)(当 , ,且 时, 发散.a利用结论 可证上述结论. 时当 时 ，当， 1,11 pdxp推论 3 设 是定义在 ( )的函数,在任何有限区间)(f,a0上可积,且ua5, 则有:cxfpx)(lim当 时, 收敛;0,1dxfa)(当 时, 发散.cp利用不等式 ，即cxgf)(可证上述结论.)(fxgc(c) 狄利克雷判别法定理 3(狄利克雷判别法) 若 在 上有界,uadxfF)()()在 上当 时单调趋于 ,则 收敛(了解).(xg,ax0g(
9、d) 阿贝尔(Abel)判别法定理 4(阿贝尔(Abel)判别法) 若 收敛， 在 上dxfa)()(),a单调有界,则 收敛(了解).dxgfa(2) 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质(a) 若 与 都以 为瑕点， 为常数，则当瑕积分)(1xf2fax21,k与 收敛时, 瑕积分 必定收敛, dfba)(1ba dxfxfba)()(且 .kdxfkdxfkba)()( 212(b) 设函数 以 为瑕点， 为任一常数，则瑕积分),(bc与 同敛态(同时收敛或同时发散),并且dxfba)(xfca)，其中 为定积分.dfbc)(xfbc6(c) 设函数 以 为瑕点， 若 在 的任一内闭区间
10、)(xfa)(xf,ba上可积,则当 收敛时， 也必收敛，且budbadba.xfdxfa)()(当 收敛时, 称 绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收b xfba)(敛者为条件收敛. 瑕积分的收敛判别(a) 柯西收敛准则对瑕积分 的敛散性用以下准则可以作出判dxfdxfbuaba)(lim)(断.定理 1(柯西收敛准则) 瑕积分 （瑕点为 ）收敛的充要条件fba)(a是: 对 , , , 当 时, 有0uu210,0.dxfdxfxf ububu )()()(2121瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到.(b) 比较法则定理 2(比较法则) 设定义在 上的两个函数 和 ，瑕点,(b
11、a)(xfg同为 ， 和 都在任何有限区间 上可积,且满足ax(f)xg,bau, ,则当 收敛时 必收敛; 当)(fbdxba)(dxfa)(发散时 必发散.dxbaxa)(考虑当 收敛时 必收敛是否正确? 当 发散gbfba)( xfba)(时 必发散是否正确?xba)(7推论 1 又若 , 且 , 则有0)(xgcxgfax)(lim当 时, 与 同敛态; c0dfbaba当 时, 由 收敛可推知 也收敛; x)(dxf)(当 时, 由 发散可推知 也发散.cgbaba利用不等式 ，即cxf)(可证上述结论.)(gfxgc推论 2 设 是定义在 的函数,瑕点为 ， 且在任何有限(baax
12、区间 上可积，则有:,(,bau当 ,且 时, 收敛;pxf1)10dxfba)(当 ,且 时, 发散.paf)(fba)(利用结论 可证上述结论.时当 时 ，当， 1,110pdxp推论 3 设 是定义在 的函数,瑕点为 ， 且在任何有限)(f(baax区间 上可积，且 , 则有:,bau)(limfxpa当 时, 收敛;0,1pdb当 时, 发散.xfa)(2、多元函数的反常积分8(1)积分区域无限且被积函数 没有瑕点),(yxf函数 在无限区域 上的反常积分),(yxfz:D),ca定义 5 函数 在无限区域 连续，则定义,如果极限 AaBcBacD dyxfdyxfdxyf )(lim
13、),(),(存在， 我们称反常积分 收敛.acf),( 函数 在无限区域 上的反常积分),(yxfz:D,(yx定义 6 函数 在无限区域 连续，则定义 ,如果极 xAyBBxyD dfdfdyxf )(lim),(),(限存在， 我们称反常积分 收敛.xyf),(由于式中 的积分上限中的 与被积函数中的xydf),(yx,不同,所以 经常表示为 . 这种积yx dtuf),(分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数 的积分, 即(yxF,其中 .xydfF)(),( ),(f 函数 在无限区域 上的反常积分 z ),(请同学给出其定义). 函数 在无限区域 上的反常积分(请同),(yxfz)
14、,(),a学给出其定义). 函数 在无限区域 上的反常积分(请同学),(fz ),c9给出其定义).上述积分在概率中经常用到.已知随机变量 ,函数 是随机YX),(yxf变量 的概率密度函数, 表示随机变量 的分布函数,则概YX),(yxF率,xydfP)(),(),(, xXX dyfFxYxX )(),(, yYyYfy),()(,(其中 , 分别称为 边缘概率密度函数 , ,)(yxfX)fY, )(xFX分别称为 边缘分布函数.,FY例如(考研 2010 年数学一)设二维随机变量 的概率密度函数为),(YX, , ,22,yxAeyxfxy求常数 及条件概率密度 .)(fXY解: 因为
15、 ,所以1),(FdyAedx dyAedxxfyx x2 22)(),1作变量替换 ， ， ，即sincorr020.sicoryx10则 . rryrxJ cossininco),(所以 , 进而AdedAedxryx02)( )(22.1A22222211(,)()(,)xyxyYXXeefxyfyfdd2 2 2222222() 01 (,)11xyxyxyt teeextydtd 2 2 222 2 21100 1(,)1xyxyxyuueeetudtdd222221,.xyxyee注: 由余元公式 得: . 还可以)10(sin)(ss 2用以下方法计算 .余元公式 的21 )10
16、(sin)(s证明过程很繁杂,在此证明略.先计算 , 其中区域 : .dxyeD)(2 Dayx,011因为 , . 则22:ayxDa22:ayx,dxyededeaa DD 2222 )()()(即.dxyedxeyedxxye aa DaaaD 222222 )(000)(令 , . 则sincory,r.2214)( aDxedea 令 , . 则sincory 20,ar.222)(14aDxedea 所以 . 因为222014aaxed, , 所以 , 41lim2aaelim2aa 202dxe进而 .dx02上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这
17、种方法.(2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握）(1) 含参量反常积分的概念和定义12(2) 含参量反常积分性质与收敛性判别二、解证题方法1、反常积分的计算反常积分的计算题在考研中很少出现, 如果出现, 一般用变量替换法求解.例 1(南京农业大学 2004 年)求 .dx10ln解 令 ,则 . 进而texdt.021ln0000 0221 dteudteue dtetdtttt例 2(南京大学 2000 年)求 .tx120coslim解 令 ,则 ,所以xt1dt2. 1sini1snli1sinl1coslicoslim2120 ttxtx
18、dttx例 3(南京农业大学 2004 年)求 .dx041解 作变量替换 ,则xt1 dttdxxdx 2014104141040413dxxdxxdx 102210421042104 1102102dxdx102102.4201arctnarctn例 4(上海理工大学 2003 年)已知积分 ,计算sidx.dx02sin解 dxxdxdx 0210202 cosinsin)(sinsin2siilm)(iilm20020 ababbaba.2sinil220 ba例 5(兰州大学 2005 年)求 .10lxd解 首先判断积分 反常性。10ln因为 在 上有间断点 ，并且 ，所以积分lx
19、,0limnx是反常积分。10dn1411 1000lnlimlnlinla aaxdxdxdxaaaaa 1limnlilili 00010.1li1nlilinli 20000 aaaa(2) 反常积分的收敛性判别例 1(数学(一)2010 年)设 为正整数，则反常积分 的nm, 102)(lnmx收敛性A. 仅与 的取值有关；B. 仅与 的取值有关;C.与 的取值都有n,关；D. 与 的取值都无关 .n,解 选 D.理由如下：反常积分 可能有两个瑕点 .所dxnm102)(l 1,0以,dxdxdxcnmcnmnm 1202102 )(l)(l)(l其中 . c(1)先讨论积分 的收敛性
20、.dxcnm02)1(l因为 ，所以当 时， 不nmnxnx12020li)(li n10x是 的瑕点，进而 收敛. 当 时，dcnm02)1(l dxcn02)(lm2是 的瑕点, 由于xxcn02)(l15, cxxxnmxnmn 1li)1(l0li 21021, 由瑕积分比较判别法知, 收敛.p dxcn02)(l再讨论 的收敛性.dxcnm12)(l作变量替换 ,则t. 因为dtdtdxcnmcnmcnm 10201212 ll)(l，所以 是积分 的瑕点。nttli20t tcn102l可找到满足 的 ,使得1p)(m, 2213210001lnlnlimili0mnt t tt
21、tc 其中 . 由瑕积分的敛散性判定的比较法则知, c收敛. dxcnm12)(l综上所述, 反常积分 的收敛性与 的取值都无关 .102)(lnmxnm,例 2 (汕头大学 2003 年)判断无穷积分 的敛散性,并证明dxp0)1(你的结论.16解 因为 ,所以, 1lim1li)1(limpxpxppx当 时, 收敛, 当 时, 发散.1pdxp0)(dxp0)(例 3 (中山大学 2007 年)判断积分 .ex02解 因为2222 34limlilimli xxxxx ee.0li24li2xxxe所以, 由比较判别法知积分 收敛.dxe02例 4 (中国地质大学 2005 年) 讨论
22、( )的敛散性.1lnqp0,解 因为 , 所以 是 的瑕点. 将qpxln1limx1lqpxd化为: 1lqpd.2111 Ixdxdxeqpeqpqp lnlnl因为 , 111 pxqpqxqpqx lim)()(lim)(l)(lim所以由瑕积分收敛的比较判别法知, 当 时 收敛, 当 时 发散. 1I1I17下面讨论反常积分 的敛散性.2I(1)当 时, 如果 , 则由1q1p和 , 反常积分0)(lnim)(ln1i)(lnlim qxqxqpx收敛 .2I(2) 当 时, 如果 , 则 收敛, 即反常1q1peqeqpxdxdlnl积分 收敛.2I(3) 当 时, 如果 , 不好判断.1q1p
