1、行列式的计算方法与技巧学生姓名： 指导教师：【摘要】在高等代数中,行列式的求解 是非常重要的,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显，因此熟练的掌握行列式的计算技巧是非常有用的，不同的行列式有不同的计算方法,本文根据行列式的特点,通过例题的形式列举了行列式的几种计算方法:三角形法、递推法、拆行(或列)法、加边法、数学归纳法。并指明了这些方法的使用条件。同时指出求行列式时需要分析行列式的特点选择适当的方法,以便简化计算。关键字：行列式 计算方法 技巧The calculating methods of determinant and skilStudent name
2、: Guidance teacher: Abstract: determinant computational method skillsIn Advanced Algebra, the solutions to determinant are very important. Directly working out the the determinant is usually difficult and finicky, especially when the elements of determinant are graphemes. So skilfully mastering the
3、computational techniques in determinant is fairly useful. Different determinants have different conputational methods.According to different determinantal characteristics,this paper has listed several computational methods by useing examples, such as triangular method、recurrence method、open line met
4、hod or column line method、add adge method and mathematical induction method and clearly figured out their useing requirements. Meanwhile, it has figured out that the proper method should meet the analysed characheristics of determinants when finding their solutions, so as to simplify the computation
5、.一 定义法 1111111121()22()() nnnnnnn nn jDjjijiiaa 按定义计算行列式是最原始的，最基本的方法，理论上，按定义可以计算一切行列式但是由于计算量大，我们一般用在 4 阶或 4 阶以下的行列式的计算中，但是在多阶行列式中零比较多的情况下也可以用列 1 计算行列式 23785104D的结果解 232137185904465D1230149651231230401487870二 化三角法化三角法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形的行列式计算的一种方法是计算行列式的基本方法之一，因为利用行列式定义已求的上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化
6、为三角形行列式计算，原则上每个行列式都能利用行列式的性质化为三角形行列式，但是由于高阶行列式计算比较繁，因此在很多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 列 2 求 n 阶行列式123nxxxa 的值123nxxxa 1 12 23 30nnnnnaxaxxx aax 12312 110()()()()01()0n nniixaxaxaxax 12121()() )()()()(nn nxaxaaxaa 注意 能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行 (列)有尽可能多的相同的元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更
7、多的零,进而化为三角形.三 利用范德蒙行列式122112()nn jiijnnnaaDa 列 3 计算 n 阶行列式的值22111()nnnXD 解令 121,nnaaX 则有上述公式可得 23()()()1()41(32)1)n nDXn 四 拆行（列）法由行列式的性质可得由已知的行列式拆成若干个行列式之积计算其值再得原行列式值 有行列式性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，该行列式可拆成两行列式和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他个行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式这一性质，就可以容易求得其值。列 4 解 n 阶行列式nx
8、aaDax 解nxaaxaaaxD xaxa 11()()(nnaxDn aaaxaxDxxax 11()()(2nnaxaD21)()(2)()()()nnnn nnn xaDaxaDx五 降阶法设 nij为 n 阶行列式，根据行列式按行（列）展开有= 11i iA 或 11njnjaA 此种方法旨在降低行列式的阶数，在一般情况下运算量不会减少很多，但是在当某一行或某一列出现零元素比较多时它才能发挥真正的作用。列 5 计算 n 阶行列式00nxyDxyy 解 以第一列展开的1(1)0000nn nx yyxDyxy 1()nnxy六 递推法利用行列式性质，把 n 阶行列式表示为有相同结构的较
9、低行列式（比如 n-1阶或 n-1 阶与 n-2 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式列 6 求行列式 ()0100n nD 的值解 ()(1) (1)1201000001() 10000()n nn nnnD 12()nD以此类推 122331()nnnnD 2132()nnnD并有 12221()()n nnD若 0便得 否则除以 n后移项1122()()1()()nnnnnD 如 则1nD如 则 ()nn七 开阶法（加边法）加边法一般做法是 112131 11123100nn nnnn nnaabaD 特殊情况下取 或 2 加边法不是随便加一行或一列就可以，关键要观察每行每列是否
10、有相同的因子。利用行列式按行(列)展开的性质,把 n 阶行列式通过加行(列)变成与之相等的 n+ 1 阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算.添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、 (3)末行首列、(4)末行末列.当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置列 7 计算行列式2111222nnnnaa的值解 2111222nnnnaa2 2 211111122 2 22 2 20000n n nn n nnnn naaa 2 2111112222 10000nn nnnnnaaaa
11、 2 211112 22 200n nnnnnaaa 2 1111122222 10000()()()()nn nnnnnaaaa 112 12 222()1()nnnn nnaaa 1 11 122 2212 21 1()1()n nn nn nna aaa 12121()()()n jiijna 八 数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再利用数学归纳法给出猜想证明列 8 证明cos1002cos0cos012n 证明 对二级行列式有2cs1cosonD此时结论成立假设对阶数小于 n 的行列式也成立对于 n 阶行列式 按最后一列展开后的九 利用拉普拉斯定理拉普拉斯的四种情形
12、1）0nnmnmABC2） 0nmnmCAB3）(1)nn4(1)nnmmA列 9行列式计算方法除上述方法外还有许多别的方法只是上述方法常用而已.在计算行列式时, 要根据行列式自身的特点选择待定的方法进行计算, 而且不仅仅局限于某一种算法, 而是多种方法综合运用, 求出其值.参考文献：1杨立英，李成群.n 阶行列式的计算方法与技巧J.广西师范学院学报,2006,23(1):100-105.2王丽霞 .N 阶行列式的几种常见的计算方法J.山西大同大学学报,2008,24(2):11-14.3孔君香 .关于行列式计算的探讨 J.科技信息 ,2007(10):115-125.4陈 林 .求 n 阶行列式的几种方法和技巧 J.科技信息， 2007(8):133-134.5肖艾平 .行列式的计算方法 J.科技信息 ,2007(16):422-423.6张学茂 .行列式计算的几种新方法 J.中国校外教育 ,2008(12):68-78.7杨儒生 ,朱平天.线性代数习题集 M.江苏教育出版社,1996,7.
