1、组合数学试题（第 1 页 共 5 页）2014-2015-1组合数学试卷（A）答案一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）1 所有项的系数和是（ 64 ）.6()xy2将 5 封信投入 3 个邮筒，有（ 243 ）种不同的投法.3在 棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格） ，有 （ 22 ）种不同的选取方法.4把 9 个相同的球放入 3 个相同的盒，不允许空盒，则有（ 7 ）种不同方式.5把 5 个不同的球安排到 4 个相同盒子中，无空盒，共有种（ 10 ）不同方法.6一次宴会，5 位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（ 44 ）种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子.7
2、. 在边长 为 a 的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于（ ）.288棋盘多项式 R( )=（ x2 +3x+1 ）.二、单项选择题（每小题 3 分，共 24 分）9 （ B ） ， 010pqpqrrmin,rpqA、 ； B、 ； C、 ； D、 .1r1r10. 的展开式在合并同类项后一共有（ B ）项.()nabcdA、 ； B、 ； C、 ； D、 .34n!n11多项式 中项 的系数是（ C ）.40123()xx201xA、 78 ； B、 104 ； C、 96 ； D、 48.12有 4 个相同的红球，5 个相同的白球，则这 9 个球有（ B
3、 ）种不同的排列方式.、 63 ； 、 126 ； 、 252 ； 、 378.组合数学试题（第 2 页 共 5 页）13. 设 均为正整数且 ，则这样的有序数对 共有（ D ）个.,xy10xyyx,A. 100 ； B. 81 ； C. 50 ； D. 45.14. 递推关系 的特解形式是（ B ） （ 为待定常数）.1243()nnaA、 ； B、 ； C、 ； D、 .232n2n15递推关系 的一般解是（ B ） （ 为任意常数）()6)9()fffn12,C.A、 ； B、 ； C、 ； D、 .123nnC12()3n1()3n123n16. 数列 的普通母函数是（ D ）naA
4、、 ； B、 ； C、 ； D、 .1t1t2-(1)t2(1)t三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 17. 用数字 1、2、3、4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个 1、偶数个 2 且至少含一个 3 的 n 位数 ( n 1 ).解：由指数母函数 4!21!2! 323 tttetttttA = ， 的系数 即为所求. 10 分!1410ntnn 43nn18. 解递推关系： 1201274956(),.nnaaa，解：递推关系 （1）的特征方程为 ，特征根为 故其通解为02x.3,21x（4 分）.21nnnca因为（1）式无等于 1 的特征根，所以递推关系（2）651nn组
5、合数学试题（第 3 页 共 5 页）有特解 ，其中 A 和 B 是待定常数，代入（ 2）式得na )(6)1(5nBn化简得 所以 ,272BA解之得 于是.41,（8 分）,41231ncann其中 是待定常数. 由初始条件得21,c4912371c解之得 所以 （10 分）.,321).(2nann19. 求 1 到 1000 之间不能被 5、6 或 8 整除的自然数的个数.解：设 A 为 1 至 1000 的整数中能被 5 整除的数的个数；B 为 1 至 1000 的整数中能被 6 整除的数的个数；C 为 1 至 1000 的整数中能被 8 整除的数的个数. 则8120,4120,254
6、0 ,3,50,6, CBACBA 所以 8316BAA即所求为： . 10 分040四、证明题（每小题 11 分，共 22 分）20. 设 ， 分别为第一、第0:,:(1),kxxk Ns(,),nkS二类 Stirling 数，定义为： ， . 证明：0(,nkksx0,nkkx（1）第二类 Stirling 数满足递推关系： ；1,)(,1)(,)1SSn7A组合数学试题（第 4 页 共 5 页）（2）两类 Stirling 数满足关系： .0,(,),1nkmmnSsk 证明：（1） 10 001 111(,)()(,)(,), ,(,)n nnn k kkk knk knkmkxSx
7、xSxxS 因为 ，所以比较两等式的 的系数，即得递推关系：10(,)nkkxSxkx. 6 分1,(,1)(,)1Snn（2）因为 ，所以0 0(,),nkmkk mxSxsx000(,)(,)(,)n nmk kmSskx比较两等式的 的系数，即得：mx. 11 分,(,),1nkmnSsk 21. 考虑 n 个数 的乘积 ，依据乘法的结合律，不改变其顺序，只12,na 123na用括号表示成对的乘积. 设 为 n 个数乘积的 n-1 对括号插入的不同方案数.p（1）证明 的递推关系为： ；np121,(2)npp（2）用母函数方法证明： ,().np证明：（1） n 个数 的乘积的最后一次乘法运算是前 k 个数的积与后 n - k 个12,na数的积之间进行，其中 . 前 k 个数可以有 种不同的方法加括号，而后1k kpn-k 个数可以用 种不同的方法加括号. 这样，当 k 取遍 时，集所有可能nkp 1,2n性，于是我们得到5 分121,().nnnpp组合数学试题（第 5 页 共 5 页）（2）显然 ，设 ，由递推公式 12p1()nGxp1,2.nkp有 1122111 2() ()nnnnn nk kknknkGxxxxxppG ，解得 2 ()()0xx4().2xGx因为 ，所以“+”舍去， . 又因为(0)G1()所以，当 时，1nnp11 分
