1、第 1 页 共 12 页相似图形及特殊四边形知识点一、三角形相似1. 比例线段的有关概念：在 比 例 式 ： ： 中 ， 、 叫 外 项 ， 、 叫 内 项 ， 、 叫 前 项 ，abcddabcac()b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，使 AC2=ABBC，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2. 比例性质： 基 本 性 质 ： abcdbc 合 比 性 质 ： d 等 比 性 质 ： abcdmnbnacmbdnab()03. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两
2、条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1l 2l 3。则 ， ， ， ABCDEFBCAEFD推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4. 相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似第 2 页 共 12 页平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
3、三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1.小华的身高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长 2m，此刻测得某建筑物的影长是 18米，则此建筑物的高是_米。例 2. 如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式错误的是：_ADBECBCEFA. .D例 3. 如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60，BPCDABC123，
4、 ， 求 的 边 长例 4. 如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形，（1）求证：AEFCEA（2）求证：AFB+ACB=45例 5. 已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于点 O，EF 经过点 O 且和两底平行，交 AB 于 E，交 CD 于 F第 3 页 共 12 页求证：OE=OF例 6. 已知：如图，ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F求 证 ： AEFCB例 7. 如图，D 为ABC 中 BC 边上的一点，CAD=B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC 的长。第 4 页 共 12 页例 8. 如图，
5、在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G，求证：AG 2=AFFC例 9. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHAB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。课堂练习一、填空题：1. 已知 ，则 _ab295ab： 2. 若三角形三边之比为 3：5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是_cm3. 如图，ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6，则 DE=_；ADE 与第 5 页 共 12 页ABC 的面积之比为：_。4. 已知线段 a
6、=4cm，b=9cm，则线段 a、b 的比例中项 c 为_cm。5. 在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=_6. 已知三个数 1，2， ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是3_7. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，EFBC，若 AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=_8. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，BDCD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：_二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的比是 3：4，那么它们的对应高的比是_A. 9：16 B. ：2C.
7、3：4 D. 3：72. 在比例尺为 1：m 的某市地图上，规划出长 a 厘米，宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是_米 2A. B. C. D. 04ab04abbm10424103. 已知，如图，DEBC，EFAB，则下列结论：第 6 页 共 12 页 AECBFADBFC DE其中正确的比例式的个数是_A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个4. 如图，在ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一点，AD=12，在 AB 上取一点 E，使A、D、E 三点为顶点组成的三角形与ABC 相似，则 AE 的长是_A. 16 B. 14 C. 16 或 14 D
8、. 16 或 95. 如图，在 RtABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，AEAD，交 CB 的延长线于点E，则下列结论正确的是_A. AEDACB B. AEBACDC. BAEACE D. AECDAC三、解答题：1. 如图，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求 GF 的长。2. 如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。第 7 页 共 12 页3. 如图，BE 为ABC 的外接圆 O 的直径，CD 为ABC 的高，求证：ACBC=BECD4. 如图，RtABC 中，ACB=90，AD 平分CAB 交
9、 BC 于点 D，过点 C 作 CEAD 于E，CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G，AEAD=16，AB ，45（1）求证：CE=EF（2）求 EG 的长第 8 页 共 12 页知识点二、特殊四边形平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1 对边平行且相等。2 对角相等，邻角互补。3 对角线互相平分1 四个角都是直角。2 对角线相等。1 四条边都相等。2 两条对角线互相
10、垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。1 两腰相等两底平行2 同一底上的两角相等3 两条对角线相等判定1 定义：2 判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行1 定义：2 判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。四边形1 定义：2 判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。(1)先证明是矩形再证明一组邻边相等。（2）先证明是菱形再证一个角是直
11、角。1 定义：先判断是梯形在证明两腰相等。2 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3 对角线相等的梯形是等腰梯形。例题解析一、命题判定型注意题中的关键字，一般只会出选择题，此类题型简单，但是出错率高，往往有很多陷阱，为此需将四个选项全部看出后在选择正确答案，防止掉入出题人设的陷阱1、下列说法中，不正确的是（ ）（A）有三个角是直角的四边形是矩形; （B）对角线相等的四边形是矩形（C）对角线互相垂直的矩形是正方形; （D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形2、菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补3、下列命题是真命题的是（ ）第
12、 9 页 共 12 页A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.两边相等的平行四边形是菱形二、应用性质求值型充分利用特殊四边形对角、对边、对角线之间的关系；常见的辅助线类型：中线（包括延长线中线） 、中位线、垂线、对角线以及其他根据题目情况设定特殊等分线；充分利用线段中垂线、角平分线的性质找到全等、相似图形，再根据全等、相似图形的性质进行求解例 1、 （求边长）已知菱形的边长是 4，若较短的一条对角线等于边长，则另一条对角线的长是 ；变式 1：菱形的面积为 24cm2，边长为 5cm，则该菱形的对角线长分别为 。变式
13、:2：正方形的对角线长为 10 cm，则正方形的边长是_.变式 3：如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AOB60，AB6cm,则 AC= ；变式 4：如图，矩形 的周长为 ，两条对角线相交于 点，过点 作 的垂ABCD20cmOAC线 ，分别交 于 点，连结 ，则 的周长为（ ）EF， EF， CEDA5cm B8cm C9cm D10cm例 2、 （求角度）如图 7，在四边形 ABCD 是正方形，CDE 是等边三角形，则AED=_变式 1：如图， 是菱形 的一条对角线，若 ，求 的度数.BDAC065ABDCBCDEF(6)ODCBA第 10 页 共 12 页例 3、 （
14、求面积）若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 变式 1：菱形的周长为 100 cm，一条对角线长为 14 cm，它的面积是（ ）A.168 cm2 B.336 cm2 C.672 cm2 D.84 cm2变式 2：菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 12，此菱形的面积为（ ）A.4 B.8 C.10 D.123333变式 3：菱形的两条对角线的和等于 他们的比为 求这个菱形的面积.49,cm4:,变式 4：菱形的周长为 ，一条对角线的长为 ，求另一条对角线和菱形的面积. 40cm16cm第 11 页 共 12 页变式 5：如图，已知菱形 中， 是 的中
15、点，且 求：ABCDEAB,DEAB.a（1） 对角线 的长；（2） 菱形 的面积.三、矩形中的翻折问题例 1、如图，四边形 为矩形纸片把纸片 折叠，使点 恰好落在 边的ABCDABCDBCD中点 处，折痕为 若 ，则 等于（ ）EF6FA B C D433428变式 1：如图，将矩形 纸片沿对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于ABCDBCBAD，若 ，则在不添加任何辅助线的情况下，图中 的角（虚线也视为角E2.5 45的边）有（ ）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个变式 1 变式 2变式 2：如图，正方形 的面积为 1， 是 的中点，ABCDMAB则图中阴影部分的面积是（ ）A B C D3102549 E2.DACBM第 12 页 共 12 页变式 3：如图所示，把一长方形纸片沿 MN 折叠后，点 D、C 分别落在 的位置，若C、，则 等于（ ）6DAMNFA B.14126C. D.087
