1、2019 年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.当 时，若 与 是同阶无穷小，则 （ ）0xtanxk k（A）1 （B）2 （C）3 （D）42.已知方程 有 3 个不同的实根， 则 k 的取值 范围是（ ）50k（A） （B） （C） （D）)4,(),()4,(），(3.已知微分方程 的通解为 ，则 a，b，c 依次为（ ）xcebya xey)21（A）1, 0, 1 （B）1, 0, 2 （C）2, 1, 3 （D）2, 1, 44.若 绝对收敛， 条件收敛，
2、则（ ）1nu1nv（A） 绝对收敛 （B） 绝对收敛1nv1nvu（C） 收敛 （D） 发散1nu1n5.设 A 是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax=0 的基础解系中只有 2 个向量，则 （ ）)(*r（A）0 （B）1 （C）2 （D）36.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 ，且 ，则二次型EA4的规范形为（ ）xT（A） （B）2213y 2321y（C） （D）2 27.设 A，B 为随机事件，则 P(A)=P(B)的充分必要条件是（ ）（A） （B）()()PP )()(BPA（C） （D）)()(ABP )()(ABP8.设随机变量
3、X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 ，则 （ ）,2N1-YX（A）与 无关，与 2 有关 （B）与 有关，与 2 无关（C）与 、2 都有关 （D）与 、2 都无关二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。9. 。11lim()23(nnA10.曲线 的拐点坐标为 。)23cossi xxy11.已知函数 ，则 。dtf14)(10(df12.以 PA, PB 分别表示 A, B 两个商品的价格，设商品 A 的需求函数，则当 PA=10, PB=20 时 ，商品 A 的需求量对自身价格弹性2250AQ为 。)(A13.已知矩阵 若线性方程组 Ax=b 有无穷多解，则 a=
4、。.10102aba，14.设随机变量 X 的概率密度 为 F(X)为 X 的分布函数，EX 为 X 的数，其 他 ,02)(xxf学期望，则 。1)(EFP三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分 10 分）已知函数 求 ，并求 的极值。， 0,1)(2xexf )(f)(xf16.（本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数，函数 ，求),(vuf ),(),(yxfxyg22.ggxy17.（本题满分 10 分）设函数 是微分方程 满足条件 的特解。)(xy21xey ey)1(（1）求 ；（2）设平面区域 ，求 D 绕
5、 x 轴旋转所得旋转体的体积。)(0,21),(xyxyD18.（本题满分 10 分）求曲线 与 x 轴之间图形的面积。)(sinex【19.（本题满分 10 分）设 )2,10(120ndxan（1）证明：数列 单调减少，且n ；),32(na（2）求 .lim1na20.（本题满分 11 分）已知向量组 2123=(,4)(1,04)(1,)TTTI a： 212(,a+3,-a=+I：若向量组与向量组等价，求 a 的取值，并将 3 用 1, 2, 3线性表示。21.（本题满分 11 分）已知矩阵 与 相似210Ax201By（1）求 x, y；（2）求可逆矩阵 P，使得 1.A22.（本题满分 11 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 1 的指数分布，Y 的概率分布为令(1),()1(0).PYpp ZX（1）求 Z 的概率密度；（2）p 为何值时，X 与 Z 不相关；（3）X 与 Z 是否相互独立；23.（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 ，其中 是已知参数， 是2(;)Afxe2(),0x 0未知参数，A 是常数， 是来自总体 X 的简单随机样本。12,n（1）求 A；（2）求 的最大似然估计量。2
