1、1.2.2 组合,问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？,问题1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题2只要求选出2名同学，是与顺序无关的。,思考：问题1与问题2的本质区别是什么？,从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 并成一组,问题2,从已知的3个不同元素中每次取出2个元素按照一定的顺序排成一列.,问题1,有顺序,无顺序,概念1.组合的基本概念,定义：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元
2、素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合。,说明：,1.不同元素。注意mn时的要求。,2.“只取不排”就是与位置无有关，这是判断一个问题是否是组合问题的关键。无序性,3.两个组合相同，当这两个组合中的元素相同,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,例判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(2)高二10个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班46人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的
3、选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？,练习：判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?,组合问题,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排
4、列问题,组合是选择的结果排列是选择后再排序的结果.,概念2.组合数,从n个不同的元素中，任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中，任意取出m个元素的组合数。用符号 表示。,从3个元素中任取2个元素的组合数表示为：,组合,排列,abc,abd,acd,bcd,abc bac cabacb bca cba,abd bad dabadb bda dba,acd cad dacadc cda dca,bcd cbd dbcbdc cdb dcb,概念3.组合数公式的推导,从a,b,c,d四个元素中取出三个元素,易推导,注意：规定,例.计算下列各式：(1) (2) (3)(4)
5、(5),练习.计算下列各式：(1) (2) (3)(4) (5)(6) (7),概念4.组合数的两个性质,练习：计算下列各式(1) (4)(2) (5)求(3),例,练习,练习1. 2.,布置作业,课本第22页，练习A 3练习B 1,例.按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选。,练习1.一个口袋中有5个红球,4个白球,从中任取4个球:(1)共有多少种不同的取法?(2)其中恰有一个白球,共有
6、多少种不同的取法?(3)其中不含白球,共有多少种不同的取法?(4)其中有2个白球,2个红球,共有多少种不同的取法?,练习2：在产品检验时，常从产品中抽出一部分进行检查。现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (1)共有多少种不同的抽法？；(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？；(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？；(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放到展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？。,一、分类组合,隔板处理,练习：从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子
7、不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法” 得:,例：4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？,将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：,练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？,2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？,采用隔板法:,对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n1份。,例2、某城新建的一条道路上
8、有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有多少种？,二、不相邻问题插空法,练习：停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？,三、利用对应思想转化法,某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？,四、等分组与不等分组问题,例1、6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法；（1）将6本书分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本；（2）将6本书分给三个人,甲一本,乙两本,丙三本；（3）将6本书分给三个人,一人1本,一人2本
9、,一人3本（4）将6本书平均分给三个人,每人两本（5）将6本书平均分成三堆,每堆两本；（6）将6本书分给甲,乙,丙三人，甲四本，乙丙各一本；（7）将6本书分成三堆，一堆四本，其余两堆各一本,问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？,问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？,问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？,平均分成m组要除以,分组问题,分配问题,问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？,问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？,问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？,多个分给少个时，采用先分组再分配的思路,练习：(1)
10、今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,解: (1),(2),3、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,4、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,1、今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?2、今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,练习：,五
11、、混合问题，先“组”后“排”,例3 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，直到区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有多少种可能？,练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,例 ：抽奖箱里有100张奖券，其中有6张能中不同的奖，按下列条件，各有多少种不同的情况？（1）从中取5张，恰有一张中奖；（2）有5人依次每人取一张,恰有一人中奖；（3）有人一次买一张，发现没中奖再买，直至中奖3次为止，他恰好在买了第5张后停止了；,六、抽奖问题,结论：一次性抽取问题是一个组合问题一一抽取问题是一个排列问题,七、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?,
