1、1 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 一、 行列式与矩阵 行列式的定义 ( )12121212121 121(.)21222 ()1,12()1nnnnnnniiinn jjjnjjn iiinjj iinnnnaaaaaaDaa aaaaaatt=LLLLMMML1 (), nTArAnAAAxxAxAxA AAAEooobb=可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 总有唯一解 0是正定矩阵 R12,sinnAppppnBABEABEA= =是初等阵存在阶矩阵使得 或 的列（行）向量是的一组基是的某两组基的过渡矩阵RR评 注 全体n维实向量构成
2、的集合 叫做n维向量空间. ()0ArAnA AAAxAol的矩阵必可分解为两个满秩矩阵之积。特别地，当 ( )rA=1时，必有分解形式： TA ab= 其中 , ab是单行或单列矩阵。 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 11 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 一般
3、初等矩阵指初等行矩阵。因为初等列矩阵变换的集合与初等行矩变换的集合相等，这是关键。 对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A. 2,. .kkmnmnAkkkmknkAAkmnAkCC在矩阵中任取行列（ ）位于这些行列交叉处的个元素不改变它们在 中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式 矩阵的阶子式共有 个 矩阵的定义 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作 ()rAr= 向量组的秩 向量组 12,naaaL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.
4、记作 12(,)nr aaaL 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：AB=% 向量组等价 12,naaa 和 12,nbbb 可以相互线性表示. 记作：( ) ( )1212, ,nnaaabbb =% 矩阵A与B等价 PAQB= ， ,PQ可逆 ()(),rArBABAB=为同型矩阵 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 评 注： ()().()0.,. ,0().123ij iijrr rkrrrrrrrrrkrABRARBRArArDABAB DDDDDDDkDDRBrABDiDijDi +=先 证明：若 经一次初等行变换变为，则 设 ，且的某个 阶子式当 或 时，在
5、中总能找到与 相对应的子式由于 或 或 因此 ，从而当 时，分三种情况讨论：（）中不含第行；（）中同时含第行和第行；（）中含第行但不(1),(2 0,(). (3 ,0, ,().0,0,(). ()()., (rrrrijijrrrrrrrjBDDDRBrDrkrrkrDkDDDiAirRBrDDDRBrABRARBBAR=+=+=+=MMMMMM含第行；对 两种情形，显然 中与 对应的子式 故对情形 ， 若因 中不含第 行知 中有不含第 行的阶非零子式若 则 也有 若 经一次初等行变换变为，则又由于 也可经一次初等变换变为 故也有 )(). ()().,()(). ,()(),()(),(
6、)(),()().,(),()().TTTTBRARARBABRARBBABRARBRARARBRBRARBBABRARB=Q因此设经初等列变换变为 也有设经初等列变换变为 则 经初等行变换变为且综上若 经有限次初等变换变为即 则12 矩阵A与B作为向量组等价 1212(,)(,)nnrraaabbb =1212(,)nnr aaabbb 矩阵A与B等价. 评 注： .ABsrsrrssr=设向量组 与向量组的秩依次为和因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故 与 ，所以 向量组 12,sbbb 可由向量组 12,naaa 线性表示 AXB= 有解 12(,)=nr aaa 1212(
7、,)nsr aaabbb 12(,)sr bbb 12(,)nr aaa . 评 注： 11(,),(,),()(,)()(,)()()mlABbbRARABRBRABRBRAaa=LL记 有又 故 向量组 12,sbbb 可由向量组 12,naaa 线性表示,且sn ，则 12,sbbb 线性相关. 评 注： 0000.(),srijBBBAAABAKk=因组能由 组线性表示，组能由 组线性表示，组能由 组线性表示故 组能由 组线性表示即存在系数矩阵 使得 1 1111110(,)(, 0 (0)() (,)0 .rrssrssrrkkxbba rsKKxkRKsraaKxBrsrs=LLL
8、MMML；如果 ，则方程组 简记为有非零解（因 ），从而方程组 有非零解，这与 组线性无关矛盾，因此 不能成立，所以向量组 12,sbbb 线性无关,且可由 12,naaa 线性表示,则sn. 向量组 12,sbbb 可由向量组 12,naaa 线性表示,且 1212(,)(,)snrrbbbaaa = ,则两向量组等价；p教材94,例10 评 注：010100011.:,:,(,)(,)(,).()(,),( ().(rrrrrrrrABrABAaaBbbBABArKbbaaK RbbrRKRbbrRKrRKrKa=LLLLLL只要证明向量组能由向量组线性表示设两个向量组的秩都为，并设组和组
9、的最大无关组依次为 和 因 组能由 组线性表示，故 组能由 组线性表示，即有阶方阵使 ;因组线性无关，故有 但 ，因此 于是矩阵可逆，并有11 00,)(,) . .rrrabbKABAB=LL即组能由 组线性表示从而 组能由 组线性表示0. ,(,).(,),(,). (,),(, (, , (,).ABrBAABABAAA AABABAABrBrBBrBA ABBAB设向量组 和 的秩都为 因 组能由 组线性表示故组和组合并而成的向量组 能由 组线性表示而 组是 组的部分组故 组总能由 组线性表示所以 组与 组等价因此 组的秩也为 又组的秩为 故 组的最大无关组 含个向量 因此 组也是 组
10、的最大无关组 故 组与 组等价从而 组与 组等价13 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 评 注：极大无关组与向量组可相互线性表示，于是等价。由等价的传递性，两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 评 注：1212s1212s1212, ,(1,2),;iiiriiiniiinikikiiinaa aaaaaaaa aaaaknaaaasttsst=如果向量组(I) 与向量组(II)都是向量组 的极大线性无关组因为 是 的极大线性无关组，所以 ，于是可由 线性表示；从
11、而向量组(II)可由向量组(I)线性表示又因向量组(II)是极大线性无关组，所以 同理有 ，所以 设A是mn 矩阵, mAXE=有解的充分必要条件是 ()rAm= ，A的行向量线性无关； p教材81,19 nYAE=有解的必要条件是若 ()rAn= ，A的列向量线性无关,即 12,naaa 线性无关. ()(),()()()()()()mmTTTnnnAXERARAEAmnRAmmRERAERARAmYA AYEAnmYAErAn=有解的充分必要条件是 ， 是 矩阵 由秩的性质有， ；所以对 两边转置，有 是 矩阵.有上的证明有 有解的充要条件是 ,(),AmnAXAYRAnXY=设 是 矩阵
12、，若 且 则 ( ) ( )0()00AXAYAXYRAnAXYXYXY=由 ，有 ，由 ，则矩阵方程 只有零解 ，即 从矩阵A划去一行（列）得B问 ,AB的秩的关系（任意矩阵每减少一行或一列，其秩减少不超过1） ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,(),1()1A aABaRARBaRBRBaRBRBRARB=+:不妨改为从矩阵中划去一列得 记划去的一列为 从而由秩的性质有： ，所以有 ()1,TTR abAab=的充要条件是存在非零列向量及非零行向量使得 ( ) ( )121212(,),(,)()0,()()1,1()()min(),() 1()1()1,11001,
13、00,000TTTTn ijTTTnaaaabbbbabAababRaRbRARabRaRbRAAmnR m PQAPQPQppp= =LLLLM充分性： ，由于，非零，故且 从而 ；必要性：设 为 矩阵，因 ，故存在 阶可逆矩阵 ，使得( )121111101,000,TTTTnTTqqpqqapbqPQab = =LM M令 注意到 ，是可逆矩阵，从而不可能有全为零的行与列从而， 就是满足条件的非零向量14 12121212:(,):(,)(,)(,)()rsrsBbbbAbbbKKsrABRKraa aaa =设向量组 能有向量组 线性表示为：其中为 矩阵，且 组线性无关。证明 组线性无
14、关的充要条件是： 12121122(,)(,),()()(),(),()()min(,).()0.0.,0;()0rsrrBBbbbABAKRBRAKRK RBrRKrKsrRKsrrRKrxbxbxbBxBAKAKxARAsAKxaaa= = =+=L必要性：设 组线性无关记 ， 则有 由秩的性质有由 组线性无关，则 故 又 为 矩阵。故充分性： 记方程为 代入 则 组线性无关.方程 只有零解. 0,()00KxRKrKxxB=则，方程 只有零解.则 。所以 组线性无关矩阵 mnA lnB的行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 00AxBx=与 同解。p教材101,例14 也可表述为 0
15、0AxBx=与 可互推的充分必要条件是它们同解 评 注( )000 0,()(),()(),TTTTAxBxAxAxStntBxBARARBRRARBRABABABB=条件的必要性是显然的，下证明充分性：设方程 与 同解，从而也与方程，即 同解，设解集的秩为,则三个系数矩阵的秩都为 故即 所以与的列向量等价，即 与的行向量等价15 矩阵的秩的性质： ()AOrA若 1 ()0AOrA=若 0 ()mnrA min(,)mn ()()()TTrArArAA= p教材101,例15 0,0TAAA=若 则 p教材51,例16 评 注：( )( ) ( ) ( )( )0,()0,00 0,0000
16、()()TTTTTTTTTAmnxnxAxAAxAAxxAAxxAAxAxA AxAxAA rAArA=设为矩阵，为维列向量若满足 则有 即若满足 则有 即 ；从而可推知综上可知 与 同解，因此 ()()rkArAk= 若 0 ()(),() 0mnns rArBnABrAB BAx += =若 若 0的列向量全部是 的解 p 及附（5）教材101例13 评 注：121212(,)(,)0,0(1,2,)00(,),()().()()lliilSSSBbbbAbbbAbilB AxAxSbSRbbbRRBRRARnRARBn=+记 则 即表明矩阵的个列向量都是齐次方程 的解；记方程 的解集为，
17、知有 即 。又 + 故有 ()rAB min(),()rArBp教材78定理8 若AB均为n阶方阵 ( ) ( ) ( ) RABRARBn+ ()()()()ArABrBBrABrA=若可逆若 可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. 可逆矩阵为满秩矩阵 ( ) ( ) ( )GHrGArAHrA=为列满秩； 为行满秩 若 ()()()mnAxrABrBrAnABOBOAABACBCo= = = =只有零解在矩阵乘法中有左消去律p教材81，20 若 ()()()ns rABrBABOAOrBn ABCBAC =在矩阵乘法中有右消去律. () rrEOEOrArAAO OO= 若 与唯一的 等价，称
18、 为矩阵的等价标准型. ()rAB ()()rArB+ max(),()rArB (,)rAB ()()rArB+ p教材70 p 教材71 ()()AOOArrrArBOBBO=+()()ACrrArBOB+( ) ( )RAERAEn+= 16 121212,0, ()(),Ann AnAxAnAxAxrArAAxAnbaaabaa bbbaaa=+(i)非负性：当 时 当 时(ii)齐次性： (iii)三角不等性a是单位向量 (,)1aaa=. 即长度为1的向量. n维向量的夹角 ,0,0,arccos;xyxynxyxyq=当 时 称为维向量与的夹角。 正交向量组的概念 若一非零向量组
19、中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组 向量空间的正交基 121212, ,.rrrVaa aaaaaaLLL若 是向量空间的一个基且 是两两正交的非零向量组则称 是向量空间的正交基 规范正交基 1 1212, (), .nneeeVVReeeeeeVL设维向量 是向量空间 的一个基如果 两两正交且都是单位向量则称 是的一个规范正交基 施密特正交规范化 123,aaa线性无关, 几何解释见教材P117 25 112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)baabbabbbababbabbbbbb= =正交化 单位化： 111bhb= 222bhb= 333b
20、hb= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 例如： 123xxx+=0取 ( )1 Tb=1,1,0 ，2(1,1,2)Tb= . 特征值的l定义：AXXl= （针对方阵） A的特征矩阵 EAl. A的特征多项式 ()EAljl= . ( )( ) ( )( )1 12132 231 131 12321 2 3 212 23323 313321223132331231 2 331 1213123212 233132331 naaaaaaaaaEAaa aaaaaaaaaaaaaaaTrAaaaaaaAaaal
21、lllllllll=+=+=根据韦达定理，马上可以得到两个重要公式：评 注：特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为： ( ) ( )33232321 2 3 1231, 0iiiEAaa atrAtrAllllllllll=+= 韦达定理一般形式为：( )12 102120110; 1; nnnnnnnniiijiji nnaaaaxaxaxaxxxx =+=L ()fl是矩阵A的特征多项式()fAO=见教材124 111111,(,),()()()()nnAPPAPdiagffAPfP PPOPOfllll=LO若与相似，即有可逆矩阵使 有A的特征方程 EAl=
22、0. Axx Axxl= ( 为非零列向量) 与线性相关 26 12 nA lll= L 1ni Al= tr ， Atr 称为矩阵A的迹. 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素. 若 0A= ,则l=0为A的特征值,且Ax o= 的基础解系即为属于l=0的线性无关的特征向量. ()1rA= A一定可分解为A= ( )1212,nnaa bbbaLM 、2 1122()nnAabababA=+L ,从而A的特征值为： 11122 nnAabababl=+Ltr , 23 nlll=L 0 . 评 注 ( )12, TnaaaL 为A各行的公比，( )12,nbbbL 为A
23、各列的公比. 若A的全部特征值 12,nlllL ， ()fA是多项式,则: 若A满足 ()fAO= A的任何一个特征值必满足 ()ifl =0 ()fA的全部特征值为 12(),(),()nffflllL ； 12()()()()nfAffflll= L . 初等矩阵的性质： (,)Eij =1 ()Eikk= ,()Eijk =1 (,)(,)TEijEij= ()()TEikEik= ,(),()TEijkEjik= 1(,)(,)EijEij= 1 1()()kEikEi= 1,(),()EijkEijk= 1 *(,)(,)EijEij= * 1()()kEikkEi= *,(),(
24、)EijkEijk= 设 1 10() mmmmfxaxaxaxa=+L ，对 n阶矩阵A规定： 1110() mmmmfAaAaAaAaE=+L 为A的一个多项式. 123112 2,TAm mkkAabaAbEAA AAAAllllllllllll +=L是的特征值则: 分别有特征值.27 12112 2,nAm mkkAabaAbEAxAxAlllllllllll + =L是关于的特征向量则也是 关于 的特征向量. 2 , mAA的特征向量不一定是A的特征向量. A与 TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. p教材138,6 ( ) ,TTTAEAEAEAAlll= 即与的特征多项
25、式相同，故特征值相同 设n阶矩阵 ,AB满足 ()()RARBn+则 ,AB有公共的特征值，有公共的特征向量. p教材138,7 ( ) ()12()()()()00,0,0,0,00nRARBnRAnRBnABAABABA AxB ABAAAxB xRRARBnBBlll+= =+L由题设 ，知 ， ，故 ， 于是根据特征值的性质都是特征值0，从而 具有公共的特征值。又由于 对应与特征值0的特征向量 的非零解；因此证明 有公共的特征向量的问题，转化为 是否有公共的非零解，考虑齐次方程组 因为 ，故齐次方程组有非 0,0,0,AxBxABAB=零解，此非零解使得 也使得 ，即使 对应与特征值的
26、公共特征向量，从而 具有公共的特征向量。设A为正交矩阵，且 1,1A l=则 是A的特征值p教材138,9 ( ) 20,0TTTTTAAEAEAAAAEAEAEAAEAEAE=+=+=+=+=+=+=+=因 故 从而 ，设 0l 是m阶矩阵 mnnmAB的特征值，则l也是n阶矩阵 nmmnBA的特征值p教材138,10 证明：因 0l 是m阶矩阵 mnnmAB的特征值，设x是对应的特征向量，即有( )ABxxl= 用矩阵B左乘上式两端，的( )( ) ( ) BABxBABxBxBxll= 于是只需要说明 0Bx ， 则有特征值的定义有 nBABxl是阶矩阵的特征值，是对应的特征向量，若 0
27、Bx = ，代人( )ABxxl= 即得 0xl = ，因特征向量 0x ，推出 0l = ，与已知 0l 矛盾 28 特征值和特征向量的性质 12121 12, ,., ,.mmAmppppppllllllLL设 是方阵的个特征值 依次是与之对应的特征向量如果 各不相等则 线性无关 ( )( )12112 112211122 111222, 0.0,0 0.1,2,1mm mmkkkmm mmmxxxxpxpxpAxpxpxpxpxpx xpxpxpkmllllll+=+=+=+=LLLLL设有常数 使 则 即类推有 把上列各式合写成矩阵形式，得 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1
28、111221122111221211, 0,0,0,1,0,., 0,0,0,01,2,.0,01,2,.,mmmmmmmimmj jjmxpxpxpxpxpxpxpjmpxjmppplllllll=LLLLMMMLLLLL上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式当各 不相等时该行列式不等于 从而该矩阵可逆于是有即 但 故 所以向量组 线性 .无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 对于不同的特征值 ,l则 ( )112212 ,kxkxkk+ 不全为零不是 l的特征向量。 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一
29、个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值 ( )( )121212121212,0,0,0,.xAAxxAxxx xxlll lllll ll=因为如果设同时是的属于特征值 的 的特征向量即有由于 则 与定义矛盾 1 1212ppppAll +设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 和 ，则 不是的特征向量 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1211122 1211221 121212112211221212, 12,0, 0 0ppAppAppApppppp Appppppppppppllllllllllllllllllll=+=+=+
30、=+=线性无关按题意有 故用反证法：假设 是的特征向量，则存在数，使于是 即 知 线性无关；A与B相似 1PAPB = （P为可逆矩阵） 记为： AB 设,AB都是n阶矩阵，且A可逆，则ABBA与 相似p教材138,13 ( ) ( )( )11AABAAABAEBABAABBAAP=从而与相似，此处取 作为 A与B正交相似 1PAPB = （P为正交矩阵） A可以相似对角化 A与对角阵相似. 记为： A （称是A的相似标准形） A可相似对角化 ()iinrEAkl= ik为il的重数，( ) 0EAXl =的解空间的秩 ()RS k=。 29 （注意： ( ) ( ) ( )REAnkRSn
31、RAEkll=。） A恰有n个线性无关的特征向量. n阶方阵存在n个不等的特征值 1 , nllL （即特征值只有单根）这时,P为A的特征向量拼成的矩阵， 1PAP 为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设ia 为对应于 il的线性无关的特征向量,则有： 121212112 12(,)(,)(,)(,)nnnnnnPPAAAAllaaaaaalalalaaaal=LLLLO14424431442443144424443. n阶方阵有n个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下： ( ) ( ) ( )1112112 111, , ,00nn nnnnaaalalalaa aaaal=QLL
32、LOLL， 令 ( )1,nP aa= L （注意P为特征向量组） 则 1 PAPA=，由于要求P可逆， 故n阶方阵必须存在n个线性无关的特征向量。 评 注当 il = 0为A的重的特征值时，A可相似对角化 il的重数 ()nrA= Ax o= 基础解系的个数. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值 A可相似对角化. 若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算） ()rA= . 若 A kA = 1kPP ，1211()()()()()ngggAPgPPPglll=O 相似矩阵的性质： EAEBll=,从而 ,AB有相同的特征式和值,但特征向量不一定相同. 注x是A关于 0l 的特征向量, 1Px 是B关于 0l 的特征向量. AB=trtr AB= 从而 ,AB同时可逆或不可逆 ()()rArB=
