1、- 1 -分数的四则运算分数的加减法（含习题）1.负分数一个分数是可以“扩分”与“约分”的。例如：) 28 ( 78 ) 2 (4 ) 1 (123 。也就是说，一个分数的分子与分母，同时乘以一个不是0的整数，这样的步骤叫做“扩分”。而一个分数的分母与分子，同时除以它们的公因子时，这样的步骤叫做“约分”。如果一个分数的分子与分母互质时，称此分数为“最简分数”。且“约分”或“扩分”后的分数与原分数相等。例如：83、43、23、32都是最简分数。利用约分、扩分可知：4343 ；而4343)1(4 )1(343 。通常我们尽量不用43来表示，而用43或43表示。【动动脑】想一想，431431 ，对吗
2、？对于，带分数431而言，431)431()431( 4314747。但431431 。而且带分数以假分数形式来表示即可。2.分数的比较大小在数线单元，我们提过：在数在线愈右边的点所代表的数愈大。因此，分数要比较大小可以运用“通分”，便可知哪一个分数会比较偏向数线的右边，这个数也就较大。所谓“通分比较大小”，就是运用扩分或约分，让几个分数的分母一样时，只要比较分子的大小，便可知分数的大小。但是，两分数比较大小，当通分母或通分子都相当困难时，别忘了：化为小数也是方法之一。- 2 -【例】比较43与65的大小？解：通分母得：12943 ；121065 ，因为109 ，所以6543 。对于几个“正分
3、数”要比较大小，可用下列方法与判断原则：(1)通分母，(2)通分子，(3)特殊方法（以举例说明之）。即(1)同分母的正分数，当分子愈大，此分数愈大。(2)同分子的正分数，当分母愈大，此分数愈小。然而，要比较“负数”的大小时，可先比较其绝对值的大小，最后再改变大小符号的方向即可。(1)即a、b、c为正数，若cba ，则cba 。(2)即a、b、c为负数，若cba ，则cba 。（因为绝对值表示与原点的距离，在数线的负向上，离原点最近的数越大。）3.分数的加减法几个分数相加或相减时，通常先将它们通分，即先求出它们的分母的最小公倍数，当作公分母，再将每一个分数扩分，然后分子部分相加或相减，得到一个分
4、数后，再约分为最简分数。在运算过程中，应优先注意正负符号判断，才能避免计算错误。【动动脑】(1) )3121( 与3121是否相等。(2) )3121( 与3121是否相等。去括号的原则：(1)如果括号前面是“”，去括号时，括号内的、符号，不需要变号。即baba )(，baba )(。(2)如果括号前面是“”，去括号时，括号内的、符号，必须变号。即“”变为“”号，“”变为“”号。即baba )(，baba )(- 3 -事实上，上述去括号的原则，可以用“乘法分配律”解释之。例如：bababababa )()()1()1()()1()( bababababa )()()1()1()()1()(。
5、【 例 1】比较负分数32、43、65的大小？【 例 2】比较253、274、325的大小？【 例 3】比较87、98、109的大小？【 例 4】已知某一矩形宽与长之比为11：13，现在将矩形的宽与长同时加上同一长度后，则其宽与长之比值可为下列何者? (A) 43 (B) 54 (C) 76(D) 85。- 4 -【 例 5】计算下列各式的值：(1) 31)32( (2) )512(541 (3) 45)83(21 (4) )94()43(65)32( (5) 85227323 (6) )43142651()43132658(12 (7) 4019833)9.021(5.0)1( (8) )1
6、435(21313)216(724748 (9) 1037833)10721(2115 笔记栏- 5 -【自我评量】一、选择：( )1.已知28119甲乙、14339丙丁，且甲、乙、丙、丁均为正整数，若甲乙、丙丁都是最简分数，则甲乙丙丁？(A) 13(B) 14 (C) 15(D)16。( )2.已知甲29993004、乙19992004、丙9991004，试问甲、乙、丙的大小关系？(A)甲乙丙(B)乙甲丙(C)丙甲乙(D)丙乙甲。( )3.已知甲54、乙65、丙76，试问甲、乙、丙的大小关系为何？(A)甲乙丙(B)乙甲丙(C)丙甲乙(D)丙乙甲。( )4.求134(85 )139(83)之值
7、为何？(A)1 (B) 21 (C)1 (D)0。( )5.求9 216( 57 )2 2115513之值为何？(A)12(B)4 (C)16(D)17。( )6.求1411(92 )(143 )31 之值为何？(A) 91 (B)1 (C)2 (D) 910。( )7.有一分数介于1413与1615之间，且分子为195，试求此分数的分母是多少？(A)208(B)209 (C)210(D)211。( )8.若x为一正整数，且356105x215，则下列何者不可能是x的值？(A)18(B)19 (C)20(D)21。( )9.已知a54、b1512、c108，试问a、b、c三数的大小关系为何？(
8、A)abc(B)bca (C)cab(D)abc。( )10.小龙、小千、小玉合买了一个12吋的比萨，已知小龙先吃了全部的41，小千再吃了全部的83，小玉再把剩下的吃完，试问谁吃得最少？(A)小龙(B)小千(C)小玉(D)三人吃得一样多。( )11. 21与41之间，共有多少个分数？(A)1个(B)2个(C)3个(D)无限多个。- 6 -( )12.某校有52的学生参加大队接力比赛，有41的学生参加大会舞表演，有81的学生前两项活动都有参加。下列何者可用来表示该校学生中“参加大队接力比赛却没有参加大会舞表演”的比例？【92.基本学测(一)】(A)141(B) 5241 (C)181(D) 52
9、81。( )13.已知棒球选手的打击率總打數安打數，若甲、乙、丙、丁四位选手的打击次数分别是24、19、29、33次，安打数分别是11、6、16、20支，则下列何者是甲、乙、丙、丁四位棒球选手打击率的高低顺序？(A)甲乙丙丁(B)乙甲丙丁(C)丙丁乙甲(D)丁丙甲乙。( )14.已知甲、乙为正整数，且e甲乙、f甲1乙、g1甲乙、h1甲1乙，则：e、f、g、h四数之中，何者最小？(A)e(B)f(C)g(D)h。( )15.将65和109分别乘上同一个正整数x之后，两分数都变成整数，则x的最小值是多少？(A)60(B)30 (C)20(D)10。( )16.求87(3 61 )123241561
10、9的值。(A) 83(B) 65 (C) 41(D) 21。( )17.将16524的分子减去8，那么分母应减去多少，其值才会不变？(A)8 (B)24 (C)55 (D)165。( )18.求59802( 2014835930 )( 355920 )(A) 23 (B) 37 (C) 58 (D) 6061。( )19.求917171515131311之值是多少？(A)1 (B)0 (C)1 (D) 98。( )20. 21222324428？(A)0 (B) 21 (C)1 (D)21。( )21.在数在线有A、B、C、D、E，五个点所代表的数，分别为3、1 31、0、21、2，则下列哪一
11、个线段的长度最短？(A) AB(B)BC (C)CD(D)DE。- 7 -二、填充：1.如图，试回答下列问题：(1) A的相反数为。(2) B的相反数为。(3) C的相反数为。(4) D的相反数为。2.计算下列各式的值。(1) 74(19574 )。(2) 1110(137111 )。(3) (1310 )151(133 )。3.计算下列各式的值。(1) 1 41(2 6131 )。(2) 2 92(11273 65 )。(3) (32 )61 97(43 )。4.计算下列各式的值：(1) 19 3221 5113 21 )。(2) 2.52552。(3) (5 712 21 )3.2。5.在
12、下列空格内填入适当的数：(1) 86（ ）316（ ）。(2) 3 316（ ）（ ）1018（ ）。(3)1688（ ）（ ）16。(4)6 214（ ）6（ ）。6.试比较下列各组分数的大小关系：(1)52，31。答：。- 8 -(2) 151，161，171。答：。(3) 1514，1615，1716。答：。(4)991，1001，1011。答：。7.已知：A53B85，则A与B的大小关系为何？答：。8.小轩家的花园是一块正方形的空地，小轩把空地的21种红色的玫瑰花，空地的31种黄色的玫瑰花，其余种白色的玫瑰花，试问：(1)红色的玫瑰花和黄色的玫瑰花一共占了此块空地的。(2)红色的玫瑰花
13、比黄色的玫瑰花多了此块空地的。(3)白色的玫瑰花占了此块空地的。9.小轩、小华、小岚分别购买了不同包装的矿泉水。已知小轩买的矿泉水是500c.c.、价格是20元；小华买的矿泉水是800c.c.、价格是24元；小岚买的矿泉水是1200c.c.，价格是30元。谁买的矿泉水最便宜？答：。10.已知轩轩国中一年甲班的学生之中，血型为O型者占全班人数的41，星座是射手座者占全班人数的121，试问：(1)若血型为O型且星座是射手座者占全班人数的361，则血型不是O型且星座不是射手座者，占全班人数的。(2)若血型不是O型且星座不是射手座者占全班人数的97，则血型是O型但星座不是射手座者，占全班人数。11.已
14、知点点讲义共170页、售价190元，线线讲义共160页、售价240元，面面讲义共240页、售价280元，则哪一本讲义平均单页的价格最便宜？答：。- 9 -三、计算：1.今年兴兴国中的毕业生之中，录取高中者占31，录取高职者占21，两者皆录取者占61，则：(1)今年录取高中或录取高职者占全校毕业生人数的几分之几？(2)今年两者皆未被录取者占全校毕业生人数的几分之几？2.兴兴班上第二次月考成绩的结果，有43的学生数学及格，有52的学生英文及格，已知有61的学生两科都及格，试问：(1)数学及格而英文不及格的学生有几分之几？(2)至少有一科及格的学生有几分之几？3.计算99163135115131 ？
15、4.已知：S131517191111，试说明：0S1。- 10 -5.试求 100991002100154535251434241323121之值。【挑战难题】我们知道介于3697和3596之间的所有分数有无限多个。但是这些介于3697和3596之间的分数中，请问：哪一个分数具有最小的分母？关于分数的小故事虽然古埃及人跟我们一样用十进记数法，他们在分数计算的处理真叫人莫名其妙。他们习惯把一般在0与1之间的分数（即真分数）写成若干个相异单位分数（Unit fraction）的和。所谓单位分数，是指分母是正整数，而分子是1的分数。兰德纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）中
16、有更详细关于单位分数之和来表示真分数的介绍。例如：。试试看：你能将分母为10以下，且分子比1大的所有最简真分数表示为若干个相异单位分数的和吗？- 11 -分数的四则运算分数的加减法（含答案）2.负分数一个分数是可以“扩分”与“约分”的。例如：) 28 ( 78 ) 2 (4 ) 1 (123 。也就是说，一个分数的分子与分母，同时乘以一个不是0的整数，这样的步骤叫做“扩分”。而一个分数的分母与分子，同时除以它们的公因子时，这样的步骤叫做“约分”。如果一个分数的分子与分母互质时，称此分数为“最简分数”。且“约分”或“扩分”后的分数与原分数相等。例如：83、43、23、32都是最简分数。利用约分、
17、扩分可知：4343 ；而4343)1(4 )1(343 。通常我们尽量不用43来表示，而用43或43表示。【动动脑】想一想，431431 ，对吗？对于，带分数431而言，431)431()431( 4314747。但431431 。而且带分数以假分数形式来表示即可。2.分数的比较大小在数线单元，我们提过：在数在线愈右边的点所代表的数愈大。因此，分数要比较大小可以运用“通分”，便可知哪一个分数会比较偏向数线的右边，这个数也就较大。所谓“通分比较大小”，就是运用扩分或约分，让几个分数的分母一样时，只要比较分子的大小，便可知分数的大小。但是，两分数比较大小，当通分母或通分子都相当困难时，别忘了：化为
18、小数也是方法之一。- 12 -【例】比较43与65的大小？解：通分母得：12943 ；121065 ，因为109 ，所以6543 。对于几个“正分数”要比较大小，可用下列方法与判断原则：(1)通分母，(2)通分子，(3)特殊方法（以举例说明之）。即(1)同分母的正分数，当分子愈大，此分数愈大。(2)同分子的正分数，当分母愈大，此分数愈小。然而，要比较“负数”的大小时，可先比较其绝对值的大小，最后再改变大小符号的方向即可。(1)即a、b、c为正数，若cba ，则cba 。(2)即a、b、c为负数，若cba ，则cba 。（因为绝对值表示与原点的距离，在数线的负向上，离原点最近的数越大。）3.分数
19、的加减法几个分数相加或相减时，通常先将它们通分，即先求出它们的分母的最小公倍数，当作公分母，再将每一个分数扩分，然后分子部分相加或相减，得到一个分数后，再约分为最简分数。在运算过程中，应优先注意正负符号判断，才能避免计算错误。【动动脑】(1) )3121( 与3121是否相等。(2) )3121( 与3121是否相等。去括号的原则：(1)如果括号前面是“”，去括号时，括号内的、符号，不需要变号。即baba )(，baba )(。(2)如果括号前面是“”，去括号时，括号内的、符号，必须变号。即“”变为“”号，“”变为“”号。即baba )(，baba )(- 13 -事实上，上述去括号的原则，可
20、以用“乘法分配律”解释之。例如：bababababa )()()1()1()()1()( bababababa )()()1()1()()1()(。【 例 6】比较负分数32、43、65的大小？答：通分母，32 43 65。【 例 7】比较253、274、325的大小？答：通分子，253 274 325。【 例 8】比较87、98、109的大小？答：87 98 109。【 例 9】已知某一矩形宽与长之比为11：13，现在将矩形的宽与长同时加上同一长度后，则其宽与长之比值可为下列何者? (A) 43 (B) 54 (C) 76(D) 85。答：C。- 14 -【 例 10】计算下列各式的值：(1
21、) 31)32( (2) )512(541 (3) 45)83(21 答：(1)-1；(2)2/5；(3)17/8。(4) )94()43(65)32( (5) 85227323 答：(4)17/36；(5)45/56。(6) )43142651()43132658(12 (7) 4019833)9.021(5.0)1( 答：(6)20；(7)-4.8。(8) )1435(21313)216(724748 (9) 1037833)10721(2115 答：(8)11/7；(9)-83/8。笔记栏- 15 -【自我评量】一、选择：( )22.已知28119甲乙、14339丙丁，且甲、乙、丙、丁均
22、为正整数，若甲乙、丙丁都是最简分数，则甲乙丙丁？(A) 13(B) 14 (C) 15(D)16。( )23.已知甲29993004、乙19992004、丙9991004，试问甲、乙、丙的大小关系？(A)甲乙丙(B)乙甲丙(C)丙甲乙(D)丙乙甲。( )24.已知甲54、乙65、丙76，试问甲、乙、丙的大小关系为何？(A)甲乙丙(B)乙甲丙(C)丙甲乙(D)丙乙甲。( )25.求134(85 )139(83)之值为何？(A)1 (B) 21 (C)1 (D)0。( )26.求9 216( 57 )2 2115513之值为何？(A)12(B)4 (C)16(D)17。( )27.求1411(92
23、 )(143 )31 之值为何？(A) 91 (B)1 (C)2 (D) 910。( )28.有一分数介于1413与1615之间，且分子为195，试求此分数的分母是多少？(A)208(B)209 (C)210(D)211。( )29.若x为一正整数，且356105x215，则下列何者不可能是x的值？(A)18(B)19 (C)20(D)21。( )30.已知a54、b1512、c108，试问a、b、c三数的大小关系为何？(A)abc(B)bca (C)cab(D)abc。( )31.小龙、小千、小玉合买了一个12吋的比萨，已知小龙先吃了全部的41，小千再吃了全部的83，小玉再把剩下的吃完，试问
24、谁吃得最少？(A)小龙(B)小千(C)小玉(D)三人吃得一样多。( )32. 21与41之间，共有多少个分数？(A)1个(B)2个(C)3个(D)无限多个。- 16 -( )33.某校有52的学生参加大队接力比赛，有41的学生参加大会舞表演，有81的学生前两项活动都有参加。下列何者可用来表示该校学生中“参加大队接力比赛却没有参加大会舞表演”的比例？【92.基本学测(一)】(A)141(B) 5241 (C)181(D) 5281。( )34.已知棒球选手的打击率總打數安打數，若甲、乙、丙、丁四位选手的打击次数分别是24、19、29、33次，安打数分别是11、6、16、20支，则下列何者是甲、乙
25、、丙、丁四位棒球选手打击率的高低顺序？(A)甲乙丙丁(B)乙甲丙丁(C)丙丁乙甲(D)丁丙甲乙。( )35.已知甲、乙为正整数，且e甲乙、f甲1乙、g1甲乙、h1甲1乙，则：e、f、g、h四数之中，何者最小？(A)e(B)f(C)g(D)h。( )36.将65和109分别乘上同一个正整数x之后，两分数都变成整数，则x的最小值是多少？(A)60(B)30 (C)20(D)10。( )37.求87(3 61 )1232415619的值。(A) 83(B) 65 (C) 41(D) 21。( )38.将16524的分子减去8，那么分母应减去多少，其值才会不变？(A)8 (B)24 (C)55 (D)
26、165。( )39.求59802( 2014835930 )( 355920 )(A) 23 (B) 37 (C) 58 (D) 6061。( )40.求917171515131311之值是多少？(A)1 (B)0 (C)1 (D) 98。( )41. 21222324428？(A)0 (B) 21 (C)1 (D)21。( )42.在数在线有A、B、C、D、E，五个点所代表的数，分别为3、1 31、0、21、2，则下列哪一个线段的长度最短？(A) AB(B)BC (C)CD(D)DE。- 17 -二、填充：12.如图，试回答下列问题：(1) A的相反数为2 32。(2) B的相反数为0.75
27、。(3) C的相反数为-0.5。(4) D的相反数为-1 54。13.计算下列各式的值。(1) 74(19574 )195。(2) 1110(137111 )136。(3) (1310 )151(133 )1516。14.计算下列各式的值。(1) 1 41(2 6131 )127。(2) 2 92(11273 65 )36174。(3) (32 )61 97(43 )3619。15.计算下列各式的值：(1) 19 3221 5113 21 )30115。(2) 2.52552534。(3) (5 712 21 )3.270409。16.在下列空格内填入适当的数：(1) 86 (4)316(12
28、)。(2) 3 316(20)(3)1018(60)。(3)1688(20)(-32)16。(4)6 214(-26)6(-39)。17.试比较下列各组分数的大小关系：(1)52，31。答：3152。- 18 -(2) 151，161，171。答：151161171。(3) 1514，1615，1716。答：171616151514。(4)991，1001，1011。答：10111001991。18.已知：A53B85，则A与B的大小关系为何？答：BA。19.小轩家的花园是一块正方形的空地，小轩把空地的21种红色的玫瑰花，空地的31种黄色的玫瑰花，其余种白色的玫瑰花，试问：(1)红色的玫瑰花和
29、黄色的玫瑰花一共占了此块空地的5/6。(2)红色的玫瑰花比黄色的玫瑰花多了此块空地的1/6。(3)白色的玫瑰花占了此块空地的1/6。20.小轩、小华、小岚分别购买了不同包装的矿泉水。已知小轩买的矿泉水是500c.c.、价格是20元；小华买的矿泉水是800c.c.、价格是24元；小岚买的矿泉水是1200c.c.，价格是30元。谁买的矿泉水最便宜？答：小岚。21.已知轩轩国中一年甲班的学生之中，血型为O型者占全班人数的41，星座是射手座者占全班人数的121，试问：(1)若血型为O型且星座是射手座者占全班人数的361，则血型不是O型且星座不是射手座者，占全班人数的25/36。(2)若血型不是O型且星
30、座不是射手座者占全班人数的97，则血型是O型但星座不是射手座者，占全班人数5/36。22.已知点点讲义共170页、售价190元，线线讲义共160页、售价240元，面面讲义共240页、售价280元，则哪一本讲义平均单页的价格最便宜？答：点点。- 19 -三、计算：6.今年兴兴国中的毕业生之中，录取高中者占31，录取高职者占21，两者皆录取者占61，则：(1)今年录取高中或录取高职者占全校毕业生人数的几分之几？(2)今年两者皆未被录取者占全校毕业生人数的几分之几？答：(1)2/3；(2)1/3。7.兴兴班上第二次月考成绩的结果，有43的学生数学及格，有52的学生英文及格，已知有61的学生两科都及格
31、，试问：(1)数学及格而英文不及格的学生有几分之几？(2)至少有一科及格的学生有几分之几？答：(1)7/12；(2)59/60。8.计算99163135115131 ？答：5/11。9.已知：S131517191111，试说明：0S1。答：参考P.59(略)。- 20 -10.试求 100991002100154535251434241323121之值。答：2475。【挑战难题】我们知道介于3697和3596之间的所有分数有无限多个。但是这些介于3697和3596之间的分数中，请问：哪一个分数具有最小的分母？答：19/7。【自我评量解答】一、选择：1.ADADC 6.DBADA 11.DDDCB 16.DCDDA 21.C二、填充：请参考题目之答案格。三、计算：请参考题目之答案栏。关于分数的小故事虽然古埃及人跟我们一样用十进记数法，他们在分数计算的处理真叫人莫名其妙。他们习惯把一般在0与1之间的分数（即真分数）写成若干个相异单位分数（Unit fraction）的和。所谓单位分数，是指分母是正整数，而分子是1的分数。兰德纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）中有更详细关于单位分数之和来表示真分数的介绍。例如：。- 21 -试试看：你能将分母为10以下，且分子比1大的所有最简真分数表示为若干个相异单位分数的和吗？
