1、 2. 6 舒勒原理 对于近地面运行的运载体来说 ，我们比较关心的是人工水平面的建立问题。解决了这一问题，就能解决加速度计的敏感轴始终保持水平等一系列问题。一个指示垂线的装置 ，如果固有振荡周期等于84.4min，则当运载体在地球表面以任意 方式运动时，此装置将不受运载体加速度的干扰。这个原理是德国数学家舒勒 (Schuler)于 1923年提出的，称为 舒勒原理（休拉原理） 。通过选择参数使之满足舒勒原理，则称之为 舒勒调谐 。舒勒原理及舒勒调谐在陀螺罗经和近地惯性导航系统中有着重要的应用。 只有使平台系统成为舒勒调谐的系统，才不受运载体加速度的干扰而精 确地重现当地水平面，从而使惯性导航原
2、理的实现成为可能。 1 数学摆跟踪垂线的舒勒原理 在运载体上悬挂一个数学摆 (单摆 )，摆的质量为 m，摆长为 l，摆绕支点的转动惯量为 J 。假设地球是一个不转动的球体，运载体沿球面大圆弧运动， 不计运载体离地面的高度。 A 点为运载体的起始位置，AA 为 A 点垂线，运载体以加速度 ar航行，经一段时间后到达 B 点，BB 为 B 点垂线。此外，假设a 为到达 B 点的摆与起始垂线 AA 的夹角，b 为当地垂线 BB 与起始垂线 AA 的夹角， 为摆偏离当地垂线BB 的角度。 图 数学摆与地垂线 单摆的运动方程式（动量矩定理）为 aJmalcosmglsin =&或aJmalcosmgls
3、in0+ =&(质点系的达朗伯原理 ) 当 为小角度时，有 1cos 和 sin ，考 虑 到ab = + ，ab =+& & &且 Rab/=&(R 为地球半径 )，则上式可写为 mgl ml 1()aJJR+=&因单摆的转动惯量，故又可以进一步写为 g11()allR+=&上式右端反映了运载体加速度对单摆运动的影响。但是，如果单摆的参数满足条件 Rl = 在此情况下，单摆的固有振荡角频率为 Rgs= 而单摆的固有振荡周期为 min4.842 =gRT 假定单摆相对当地垂线的初始偏角为0 ，初始角速度为0&，可得 ttsss sincos00&+=)sin(22020 += tss&其中22
4、0200arcsins&+= 。 表明单摆将绕当地垂线以偏角22020s&+ 作等幅振荡，振荡周期 T84.4min。若是初始条件 00 和 00=&，则有 ts cos0= 表明单摆将绕当地垂线以初始偏角0 作等幅振荡，振荡周期 T84.4min。 若是初始条件0 =0 和 00=&，则有 0= ，表明单摆始终指示当地垂线。 由此可见，当单摆的固有振荡周期为 84.4min 时，其运动将不受运载体加速度的干扰，而始终跟踪当地垂线。Rgs= 的角频率称为舒勒频率， min4.842 =gRT 表示的振荡周期称为舒勒周期， Rl = 即为单摆的舒勒调谐条件。 舒勒调谐的物理概念可从 aRJmlJ
5、mgl)1( =+ &看出，bR/ &a 是随运载体运动的垂线的转动角加速度，而 J/mla 是单摆在加速度 a 作用下绕其支点的转动角加速度，当这两个角加速度相等时，单摆便始终跟踪当地垂线。 2 实现舒拉调谐的可能途径 2.1 物理摆 2.1.1 物理摆的舒勒调谐 现在说明用物理摆 (复摆 )实现舒勒原理的可能性， 设物理摆的转动惯量为 J ，摆长为 l 。不难看出，物理摆的运动方程具有与单摆相同的形式，只是其中的 J 代表的是物理摆的转动惯量。现重写如下： sincosmaJamgll &亦可进一步写成 aRJmlJmgl)1( =+ &如果适当选择物理摆的参数，使之满足条件 RJml 1
6、= 则物理摆的运动同样不受运载体加速度 的干扰，而始终跟踪当地垂线。RJml 1= 即为物理摆的舒勒调谐条件。 图 物理摆与地垂线 以圆环形物理摆为例，设想有一 个质量集中在圆环上的物理摆如图所示，圆环半径 mr 5.0= 。现在求摆长为多少时才能满足舒勒调谐 l图 圆环性物理摆 条件。圆环形物理摆的振荡周期由下式表达： 2mrJ = glrmglJT222 =其摆长 l与振荡周期 T 的关系为 2224gTrl=实际上，圆环绕支点的转动惯量为 22mlmrJ += 因 rl ， 2mrJ = 理论依据 平行轴定理：刚体对于任一轴的 转动惯量，对于刚体通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量， 加
7、上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 2mlIIzCz+= 图 平行轴定理 若要求振荡周期 T 达到 84.4min，则摆长 l (即支点到质心的距离 )只有5104 mm。这是一个分子晶格的数量级， 显然是无法实现的。 2.1.2 物理摆控制方块图 在惯性导航系统中，是用加速 度计和陀螺仪实现舒勒摆的工作原理。为了对此便于理解，下面从控制角度来分析物理摆的舒勒原理。 当物理摆相对当地垂线的偏角 为小角度时， 其运动方程式可改写成 )( gaJmlgJmlaJmla=&再考虑 +=ba和 Rab/=&，则可画出物理摆控制方块图。 R121sm lJ121sg+ab&a&ab图 物理摆控制方块图
8、 从上图看出，若能做到ba = ，则物理摆相对当地垂线的偏角0= 。如果适当选择物理摆的参数使之满足 RJml /1/ = ，则上图变为如下图所示。可见只要满足舒勒调谐条件，就能做到ba = 。 R121sg+ab&a&abR121s图 满足舒勒调谐条件的物理摆方块图 1Rs1Rs1s+b&a&a图 满足舒勒调谐条件的物理摆方块图（移出1s后） 由上图可知 11s (s) (a(s) g (s) a(s)ss= R R2gs(s) (s)0+=R回到时域， (t) (t) 0+=&gR2.2 陀螺摆和陀螺罗经 略。 陀螺摆和陀螺罗经都可以实现 舒拉调整，都是由一个高速旋转的机械转子组成，转子的
9、重心和平衡环架支撑中心不重合，都具有下摆性，在重力的作用下，它们的角动量能分别自动寻找当地的地垂线和子午面方向。 图 活动支座上的陀螺摆 2.3 舒拉摆在单轴惯导系统的实现 下图为单轴惯导系统的基本构 成，陀螺外环轴是平台稳定轴的敏感轴。设地球为球体、不转动，飞机沿子午线等高度向正北飞行，且只有俯仰而无倾斜和偏航动作。平台上装有一个北向加速度计NA ，与飞机纵轴方向一致，可以测量飞机沿纵向的加速度分量N&V 。 图 单轴惯导系统结构图 为保证加速度计的测量精度， 平台必须始终处于水平状态，即平台系的水平轴应与地理系的水平轴始终重合或 平行。假设起飞前，平台已经处于当地水平面内（通过初始对准过程
10、调整） ，poy 轴既指北又水平。当飞机沿子午线由 A 点运动到 B 点，如不对平台进行控制， 图 惯导平台的运动 则由于地球是圆的，且陀螺是相对惯性空间稳定的，平台将不再与当地水平面平行。惯导系统为了保证平台系与地理系相重合，平台必须经历两种运动，即平动和转动。平动，就是把平动由 A 点平移到 B点，如图中的虚线所示，它由平台的稳定回路实现；转动，就是平台沿逆时针方向转动一个角度，到 B 点实线所示的位置，它是平台修正回路实现的。 1、稳定回路 由陀螺、信号器、放大校正网 络和稳定电机组成的系统称为稳定回路。 它的任务是隔离飞机俯仰角运动和抵消沿平台轴方向的干扰力矩，保证平台轴相对惯性空间的
11、稳定，使其仅做平台运动，不作转动运动。下图画出了这个回路的结构图，它的输入端是平台轴的干扰力矩dM ，输出端是稳定电机沿平台轴产生的稳定力矩sM 。图中1s、sK 、(s)A 和maKR分别为陀螺、信号器、放大校正网络 和稳定电机的传递函数。其工作原理属于平台几何稳定状态下的工作过程。 N&V +AKisK+N0V1RtKcM1H21sRg+2p1sJmaKR(s)AsK1ssdM+pp&c&sVsM图 单轴惯导系统的稳定回路与修正回路 2、修正回路 由加速度计、积分器、除法器 和陀螺力矩器组成的系统称为修正回路， 它的任务是给陀螺提供施矩信号， 使平台工作在空间积分状态，以跟踪由于飞机运动造
12、成的当地垂线（当地水 平面）的偏离运动，保证平台始终与当地水平面平行。这时它所控制的是只是作转动运动，而不是平动运动。 上图中的上通道代表的是修正回路。 当飞机有线加速度N&V 时，加速度计信号器将输出与N&V 成比例的电信号，经积分后输出与飞行速度NV 成比例的电信号，该信号经除法器后，输给力矩器。这个指令信号与当地垂线的转动角速度NVR成比例。 在指令力矩cM 作用下，通过稳定回路的作用，使平台绕平台稳定轴pox 的负向进动，其进动角速度应等于指令角速度NVR，从而使平台跟踪当地水平面的转动。图中AK 为加速度计的传递系数，iK 为积分器的传递系数， R为地球半径，tK 为陀螺力矩器的传递
13、系数， H 为陀螺的角动量。 环节21sR是在N&V 作用下，当地垂线偏离角度 的传递函数。只有当p = 时，平台才真正水平，即 0 = 。否则 0 ，重力加速度要影响加速度计的输入。 从以上分析可知，修正回路的 工作最终要借助稳定回路来完成。由于稳定回路是一个快速跟踪系统， 它的过渡过程是零点几秒的数量级；而修正回路是一个周期长达 84.4min 的慢速跟踪系统，所以两者可以彼此独立工作，互不影响。研究修正回路时，对于其中的稳定回路可以用静态传递函数1s代替。这是由于平台在稳态时，其转动角速度p& 应等于指令角速度c& 。按这样简化后，上图可用由下图表示。 N&V +AKisK 1RtKH2
14、1sRg1s1s1R+0pNS图 单轴惯导系统的原理框图（简化后的修正回路） 作为导航系统，再计算出距离 和位置就更加完整。因飞机只沿地球子午线向北飞行，所以载体在地球上只有距离和纬度变化，当引入这些参数的运算后，就是一个单轴稳定系统的完整框图。 3、单摆和单轴惯导系统跟踪当地垂线运动的比较 都是使研究对象摆和平台 能跟踪当地垂线的运动；二者所感受的信号都是飞机的加速度，输出的都是由力矩转化为角度的量，只是它们产生力矩的方法有所不同： 一个是通过惯性力及摆长产生的转矩；一个是通过给陀螺力矩器输入指令电流产生力矩。另外，受力矩作用后，摆的运动形式也不同，摆以一定的摆长围绕悬挂点作直观的单摆运动；
15、而惯导系统却无明显的摆长，只是平台绕稳定轴的进动。 既然单摆可以在满足舒勒调谐 时不受加速度的干扰，使摆始终处于当地水平面。那么，平台能否满足舒勒调谐的条件，使平台不受加速度的干扰，使始终保持当地水平面内。 Ait NN 22()s =&KKK VVgRH RsAit AitN221ss+=&KKK KKKgVRHRHR若Ait1=KKKH，则 0+=&gR此时，平台偏角 不受加速度N&V 的影响，运动规律与单摆完全相同。平台绕当地地平面作等幅振荡，振荡周期sT 84.4min= 。可见，利用惯导系统的水平修正回路完全可以实现舒勒摆原理， 其要求远不如物理摆那么苛刻。 在近地惯性导航系统中，平台必须精确地跟踪当地水平面 (即平台竖轴（方位轴）必须精确跟踪当地垂线 )，以使精确地给出加速度的测量基准。欲使平台精确跟踪当地水平面，就必须使平台不受运载体加速度的干扰，因此平台的水平控制 回路必须满足舒勒调谐条件。满足舒勒调谐条件的平台系统，相当于一个球面舒勒摆。 此时平台两套水平控制回路方块图亦将具有与上图完全相同的结构形式。 图 球面摆（有两个自由度，由两个独立坐标 和 表示，可用Lagrange Equation 建立运动方程）
