1、162 第一届 (2009) 全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1计算 =-+ yxyx xyyxD dd1)1ln()(，其中区域 D 由直线 1=+ yx 与两坐标轴所围成三角形区域。 2设 )( xf 是连续函数，且满足 -=202 2d)(3)( xxfxxf , 则 =)(xf ； 3曲面 2222-+= yxz 平行平面 022 =-+ zyx 的切平面方程是 ； 4设函数 )(xyy = 由方程 29ln)( yyf exe = 确定，其中 f 具有二阶导数，且 1f ，则=22ddxy 。 二、 （本题满分 5 分） 求极限 xenxxxx
2、 neee )(lim 20+，其中 n 是给定的正整数。 三、 （本题满分 15 分） 设函数 )(xf 连续， =10 d)()( txtfxg ，且 Axxfx =)(lim0， A 为常数，求 )(xg 并讨论 )(xg 在 0=x 处的连续性。 四、 （本题满分 15 分） 已知平面区域 0,0|),( = yxyxD ， L 为 D 的正向边界，试证： （ 1） -=- -LxyLxy xyeyxexyeyxe dddd sinsinsinsin ； （ 2） 2sinsin25dd - -Lyy xyeyxe 。 五、 （本题满分 10 分） 已知 xx exey 21 += ，
3、 xx exey -+=2 ， xxx eexey -+= 23 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。 六、 （本题满分 10 分） 设抛物线 cbxaxy ln22 += 过原点。当 10 x 时, 0y , 又已知该抛物线与 x 轴及直线 1=x 所围图形的面积为31 。 试确定 cba , , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。 七、 （本题满分 15 分） 已知 )(xun 满足 ),2,1()()( 1 =+= - nexxuxu xnnn , 且neun =)1( , 求函数项级数 =1)(nn xu 之和。 八、 （本题满分 10 分） 求
4、- 1x 时 , 与 =02nnx 等价的无穷大量。 163 第一届 (2010) 全国大学生数学竞赛决赛试卷 一、计算题（每小题 5 分，共 20 分） 1求极限121lim (1 )sinnn kk kn n- =+ 。2 计算22 2 2( )axdydz z a dxdyx y z+ + +， 其中 为下半球面 2 2 2z a y x= - - - 的上侧， 0a 。 3 现要设计一个容积为 V 的一个圆柱体的容器。 已知上下两底的材料费为单位面积 a 元，而侧面的材料费为单位面积 b 元。 试给出最节省的设计方案： 即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ 4 已知 ( )f
5、x 在 1 1( , )4 2内满足 3 31( )sin cosf x x x =+，求 ( )f x 。二、求下列极限（每小题 5 分，共 10 分） 1 1lim 1nn n en? ? ?+ -? ? ? ? ? ?； 2 1 1 1lim 3nn n nna b c? ?+ +? ? ? ? ?, 其中 0, 0, 0a b c 。 三 、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 设 ( )f x 在 1x = 点 附 近 有 定 义 ， 且 在 1x = 点 可 导 ， (1) 0, (1) 2f f = = ，求220(sin cos )limtanxf x xx x x+。 四 、
6、（ 本 题 满 分 10 分 ） 设 ( )f x 在 0, )+ 上 连 续 ， 无 穷 积 分0 ( )f x dx 收 敛 。 求 01lim ( )yy xf x dxy + 。 五 、 （ 本 题 满 分 12 分 ） 设 函 数 ( )f x 在 0,1 上 连 续 ， 在 (0,1) 内 可 微 ， 且1(0) (1) 0, ( ) 12f f f= = = 。 证明： (1) 存在1( ,1)2 使得 ( )f = ； (2) 存在(0, ) 使得 ( ) ( ) 1f f = - + 。六、 （本题满分 14 分） 设 1n 为整数，20( ) 1 .1! 2! !nxt t
7、 t tF x e dtn- ? ?= + + + +? ? ?。 证明： 方程 ( )2nF x = 在 ( , )2n n 内至少有一个根 。 七、 （本题满分 12 分） 是否存在 1R 中的可微函数 ( )f x 使得 2 4 3 5( ( ) 1f f x x x x x= + + - -？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。 八、 （本题满分 12 分） 设 ( )f x 在 0, ) 上一致连续，且对于固定的 0, )x ，当自然数164 n 时 ( ) 0f x n+ 。 证明： 函数序列 ( ): 1,2,.f x n n+ = 在 0,1 上一致收敛于 0。第二届
8、 (2010) 全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 1. 设 2 2(1 )(1 ) (1 ),nnx a a a= + + + 其中 | | 1,a ，求0( 1,2, )sx nI e x dx n -= = 。 4. 设函数 ( )f t 有二阶连续导数， 2 2 1, ( , )r x y g x y fr? ?= + =? ? ?，求2 22 2g gx y? ?+? ? 。 5. 求直线 1 0:0x ylz- =? =? 与直线 22 1 3:4 2 1x y zl - - -= =- -的距离。 二、 （本题满分 15 分） 设函数 ( )f
9、 x 在 ( , )- + 上具有二阶导数，并且 ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) 0,x xf x f x f x + - = = -? =?所确定，且2234(1 )d ydx t= + ，其中 ( )t 有二阶导数， 曲线 ( )y t= 与2 2132t uy e du e-= + 在 1t = 出相切，求函数 ( )t 。 四、 （本题满分 15 分） 设10, ,nn n kka S a= = 证明： （ 1）当 1 时，级数1nn naS+= 收敛； （ 2）当 1 且 ( )ns n 时，级数1nn naS+= 发散。 五、 （本题满分 15 分） 设 l 是
10、过原点、方向为 ( , , ) ， （其中 2 2 2 1) + + = 的直线，均匀椭球2 2 22 2 2 1x y za b c+ + ，其中（ 0 ,c b a ， 2 2 22 : z x y = + ， 为 1 与 2 的交线，求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。 五、 （本题满分 16 分） 已知 S 是空间曲线2 23 10x yz? + =? =?绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（ 0z ）取上侧， 是 S 在 ( ), ,P x y z 点处的切平面， ( ), ,x y z 是原点到切平面 的距离， , , 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
11、 （ 1） ( ), ,Sz dSx y z ； （ 2）( )3Sz x y z dS + + 。 166 六、 （本题满分 12 分） 设 ( )f x 是在 ( , )- + 内的可微函数，且 ( ) ( )f x mf x ）有一质量为 m 的质点，求射线对该点的引力 . 五、 （本题满分 15 分） 设 ( ),z z x y= 是由方程 1 1, 0F z zx y? ?+ - =? ? ? 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证： ( )2 2 22 2 3 32 20, 0z z z z zx y x xy x y yx x x x y y? ? ? ? ?+ = + +
12、+ =? ? ? ? ? ?. 六、 （本题满分 15 分） 设函数 ( )f x 连续， , ,a b c 为常数， 是单位球面 2 2 2 1x y z+ + = ，167 记第一型曲面积分 ( )I f ax by cz dS= + + . 求证： ( )1 2 2 212I f u a b c du -= + + . 第三届（ 2012）全国大学生数学竞赛决赛试卷 一、计算下列各题（本题满分 30 分，每小题 6 分） (1) 2 2 22 20sin coslimsinxx x xx x-(2) ( ) 13 61 1lim tan 12xx x x e xx + + - - +(3
13、) 设函数 ( , )f x y 有二阶连续偏导数 , 满足 2 22 0x yy x y xy y yyf f f f f f f- + = 且 0yf ,( , )y y x z= 是由方程 ( , )z f x y= 所确定的函数 . 求22yx?(4) 求不定积分 ( )111 x xI x e dxx += + -(5) 求曲面 2 2x y az+ = 和 2 22z a x y= - + ( 0)a 所围立体的表面积 二、 （本题满分 13 分） 讨论 2 20 cos sinx dxx x x+的敛散性，其中 是一个实常数 . 三、 （本题满分 13 分） 设 ( )f x 在
14、 ( , )- + 上无穷次可微，并且满足 : 存在 0M ，使得( ) ( )kf x M ， ( , )x? - + ， ( 1,2, )k = , 且 1( ) 02nf = ， ( 1,2, )n = 求证：在( , )- + 上， ( ) 0f x 四、 （本题满分 16分，第 1小题 6分，第 2小题 10分） 设 D为椭圆形2 22 2 1x ya b+ ( 0)a b ，面密度为 的均质薄板； l 为通过椭圆焦点 ( ,0c- ）( 其中 2 2 2c a b= - ) 垂直于薄板的旋转轴 . 1. 求薄板 D绕 l 旋转的转动惯量 J； 2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板
15、的面积是否有最大值和最小值 . 五、 （本题满分 12 分） 设连续可微函数 ( , )z f x y= 由方程 ( , ) 0F xz y x yz- - = （其中( , ) 0F u v = 有 连 续 的 偏 导 数 ） 唯 一 确 定 , L 为 正 向 单 位 圆 周 . 试 求 ：2 2( 2 ) (2 )LI xz yz dy xz yz dx= + - +六、 （本题满分 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分） 168 (1) 求解微分方程2(0) 1xy xy xey? - =? =?(2) 如 ( )y f x= 为上述方程的解，证明12 20lim (
16、 )1 2nn f x dxn x=+第四届（ 2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、 （本题满分 30 分，每小题 6 分） 1. 求极限 ( ) 21lim ! nn n ； 2. 求通过直线 2 3 2 0:5 5 4 3 0x y zLx y z+ - + =? + - + =? 的两个相互垂直的平面 1 2, ，使其中一个平面过点 ( )4, 3,1- ； 3. 已知函数 ( )2, , 0ax by uz u x y e x y+ ?= =? ?且 ， 确定常数 a b和 ， 使得函数 ( ),z z x y= 满足方程20z z z zx y x y? ? ?- - + =?
17、 ? ? ? ； 4. 设函数 ( )u u x= 连续可微， ( )2 1u = ，且 ( ) ( )32x y udx x u udy+ + + 在右半平面上与路径无关，求 ( )u x ； 5. 求极限13 sinlimcosxxxtx dtt t+ + + . 二、 （本题满分 10 分） 计算 20 sinxe x dx+ -三、 （本题满分 10） 求方程 2 1sin 2 501x xx = -的近似解，精确到 0.001. 四、 （本题满分 12 分） 设函数 ( )y f x= 的二阶可导，且 ( ) ( ) ( ) 0, 0 0, 0 0f x f f = = ，求 ( )
18、( )330lim sinxx f uf x u，其中 u 是曲线 ( )y f x= 上点 ( )( ),p x f x 处的切线在 x轴上的截距 . 五、 （本题满分 12 分） 求最小实数 C ，使得满足 ( )10 1f x dx =的连续函数 ( )f x 都有 ( )10 f x dx C六、 （本题满分 12 分） 设 ( )f x 为连续函数， 0t . 区域 是由抛物面 2 2z x y= + 和球面 169 ( )2 2 2 2 0x y z t t+ + = 所围起来的部分 . 定义三重积分 ( ) ( )2 2 2F t f x y z dV= + + ，求导数 ( )
19、F t七、 （本题满分 14 分）设1nna= 与1nnb= 为正项级数 （ 1）若1 11lim 0nnn n naa b b + +? ?- ? ? ? ，则1nna= 收敛； （ 2）若1 11lim 0nn n n naa b b + +? ?- a170 五、 (15 分 ) 求二重积分 dxdyyxyxyx -+ +22122六、 (15 分 ) 若对于任何收敛于零的序列 nx ，级数 nnnxa=1都是收敛的，试证明： 级数 nna=1收敛。 第五届（ 2013）全国大学生数学竞赛预赛试卷 一 . 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤） 1. 求极限 ( )
20、2lim 1 sin 1 4nn n + +. 2. 证明广义积分0sin x dxx+ 不是绝对收敛的 3. 设函数 ( )y y x= 由 3 2 33 2 2x x y y+ - = 确定，求 ( )y x 的极值。 4. 过曲线 ( )3 0y x x= 上的点 A 作切线， 使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的面积为 34，求点 A 的坐标。 二 . （满分 12） 计算定积分 2sin arctan1 cosxx x eI dxx-?=+三 . （满分 12 分） 设 ( )f x 在 0x = 处存在二阶导数 ( )0f ，且 ( )0lim 0xf xx = 。证明 ：级
21、数11nf n=? ? ? ?收敛。 四 . （满分 12 分） 设 ( ) ( ) ( ), 0f x f x a x b ，证明 ( ) 2sinbaf x dx m五、 （满分 14 分）设 是一个 光滑 封闭曲 面， 方向朝 外。 给定第 二型 的曲面 积 分( ) ( ) ( )3 3 32 3I x x dydz y y dzdx z z dxdy= - + - + - 。 试确定曲面 ， 使积分 I 的值最小，并求该最小值。 六. （ 满分 14 分） 设 ( )( )2 2a aCydx xdyI rx y-=+， 其中 a 为常数， 曲线 C为椭圆 2 2 2x xy y r
22、+ + = ，取正向。求极限 ( )lim ar I r +171 七 . （满分 14 分） 判断级数 ( )( )11 1121 2nnn n=+ + + +的敛散性，若收敛，求其和。 第五届（ 2014）全国大学生数学竞赛决赛试卷 一 . 解答下列各题（每小题 7 分，共 28 分，要求写出重要步骤） 1. 计算积分22 220sinxtx dtdxt . 2. 设 ( )f x 是 0,1 上的连续函数，且满足10( ) 1f x dx = ，求一个这样的函数 ( )f x 使积分( )1 2 20 1 ( )I x f x dx= + 取得最小值 . 3. 设 ( , , )F x
23、y z 和 ( , , )G x y z 有连续偏导数， ( , ) 0( , )F Gx z? ?，曲线 ( , , ) 0:( , , ) 0F x y zG x y z=? =? 过点0 0 0 0( , , )P x y z ，记 在 xoy面上的投影曲线为 S，求 S 上过点 0 0( , )x y 的切线方程 . 4. 设矩阵1 2 13 41 2 2A a? ? ?=? ? ? ?，其中 a 为常数，矩阵 B 满足关系式 AB A B E= - + ，其中 E 是单位矩阵且 B E . 若秩 ( ) 3Rank A B+ = ，试求常数 a 的值 . 二. （ 12 分） 设 (
24、 )4 21( ) , , ( ) ( ) ( ) ( )2f x C f x h f x f x h f x h h - + + = + + + ， 其中 是与 ,x h 无关的常数，证明 ( )f x 是不超过三次的多项式 . 三 . （ 12 分） 设当 1x 时，可微函数 ( )f x 满足条件：01( ) ( ) ( ) 01xf x f x f t dtx + - =+ ，且 (0) 1f = ，试证：当 0x 时，有 ( ) 1xe f x- . 四. （ 10 分） 设 ( , ) 0 1,0 1,D x y x y= ， ( , )DI f x y dxdy= ， 其中函数
25、( , )f x y 在D 上有连续二阶偏导数，若对任何 ,x y 有 (0, ) ( ,0) 0f y f x= = ，且2 ( , )f x yAx y? ? ? . 证明4AI . 五 .(12 分) 设函数 ( )f x 连续可导， ( )2 2( )P Q R f x y z= = = + ，有向曲面 t 是圆柱体172 2 2 2x y t+ ， 0 1z 的表面， 方向朝外， 记第二型曲面积分tPdydz Qdzdx Rdxdy+ + ，求极限 40lim ttIt+. 六 . （ 12 分） 设 ,A B 为两个 n 阶正定矩阵，求证 AB 正定的充要条件是 AB BA= .
26、七 . （ 12 分） 假设0nnna x= 的收敛半径是 1， lim 0nn na = ，且 10lim nnx na x A- = ，证明0nna=收敛于常数 A 。 第六届（ 2014）全国大学生数学竞赛预赛试卷 一填空题（满分 30 分，每小题 6 分） 1. 已知 1 xy e= 和 2 xy xe= 是齐次二阶常系数线性微分方程的解， 则该方程是 ；2. 设有曲面 2 2: 2S z x y= + 和平面 : 2 2 0L x y z+ + = ，则与 L 平行的 S 的切平面方程是 ； 3. 设函数 ( )y y x= 由方程 21 sin ( )4y x tx dt-= 所确
27、定，求0xdydx = =； 4. 设 ( )1 1 !nnkkxk= +，则 lim nn x =； 5. 已知130( )lim 1 xxf xx ex? ?+ + =? ? ?则 20( )limxf xx =； 二 （本题满分 12 分） 设 n 为正整数，计算 21 1cos lnnedI dxdx x-? ?= ? ? ?。 三 （ 本 题 满 分 14 分 ） 设 函 数 ( )f x 在 0,1 上 有 二 阶 导 数 ， 且 有 正 常 数 ,A B 使 得( ) , ( )f x A f x B ，证明对任意 0,1x ，有 ( ) 2 2Bf x A + 。 四 （本题满
28、分 14 分） （ 1） 设有一球缺高为 h ，所在球半径为 R 。证明该球缺的体积为2(3 )2 R h h - ，球冠的面积为 2 Rh 。 （ 2） 设球体 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 12x y z- + - + - 被平面 : 6P x y z+ + = 所截的小球缺为 。记球缺上的球冠为 ，方向指向球外，求第二型曲面积分 I xdydz ydzdx zdxdy= + + 。 五 （本题满分 15 分） 设 f 在 , a b 上非负连续，严格单增，且存在 , nx a b 使得173 1 ( ) ( )bn nn af x f x dxb a= - ，求 lim nn
29、x 。 六 （本题满分 15 分） 设 2 2 2 2 21 2n n n nA n n n n= + + + + + ，求 lim4 nn n A? ?-? ? ?。 第一届 (2009) 全国大学生数学竞赛预赛试卷（答案） 一、填空题 1 1615； 2 3103)( 2 -= xxf ； 3 2 2 5 0x y z+ - - = ； 4 22 3( ) 1 ( )1 ( )f y f yx f y- - 。二、解 : 原式 222= lim(1 )x x nxx x nxn e e e n ex x nxn xe e e nxe e e nn+ + + -+ + + -+ + + -+
30、2 20 02 1 2 1lim lim2=x x nx x x nxx xe e e n e e ne n ne e e enx n ne e e e + + + - + + + + + + += = = 。 三、 解 : 由 Axxfx =)(lim0和函数 )(xf 连续知， 0)(limlim)(lim)0(000 = xxfxxffxxx，因 =10 d)()( txtfxg ， 故 0)0(d)0()0(10 = ftfg ， 因 此 ， 当 0x 时 ，=xuufxxg0d)(1)( ，故 0)0(1 )(limd)(lim)(lim0000= fxfxuufxgxxxx当 0x
31、 时，xxfuufxxgx )(d)(1)( 02 +-= ， 200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0( xttfxttfxxgxggxxxxx =-=22)(lim0Axxfx = ，22d)(1lim)(lim)(d)(1lim)(lim02000200AAAuufxxxfxxfuufxxgxxxxxx =-=-=+-= 。这表明 )(xg 在 0=x 处连续 . 四、证明 : 因被积函数的偏导数连续在 D 上连续，故由格林公式知（ 1） yxyeyxexxyeyxe DxyLxy dd)()(dd sinsinsinsin ? -?-?=- - yxeeDxy dd)
32、( sinsin -+= -L xy xyeyxe dd sinsin yxyeyxexD xy dd)()( sinsin ? -?-?= - yxeeD xy dd)( sinsin += -而 D 关于 y x= 是对称的，即知 yxeeDxy dd)( sinsin -+ yxeeDxy dd)( sinsin += - ， 174 因此 -=- -LxyLxy xyeyxexyeyxe dddd sinsinsinsin 。 （ 2）因 )1(2)!4!21(2242tttee tt +=+ -故22cos522cos12sin2 2sinsin xxxee xx -=-+=+ -由
33、 +=+=- -DxyL Dxyyy yxeeyxeexyeyxe dd)(dd)(dd sinsinsinsinsinsin知 +=- -DxyL Dxyyy yxeeyxeexyeyxe dd)(21dd)(21dd sinsinsinsinsinsin +=+= -DxxDxxDyy yxeeyxeeyxee dd)(dd)(21dd)(21 sinsinsinsinsinsin200sinsin25d22cos5d)( =-+= - xxxee xx即 2sinsin25dd - -Lyy xyeyxe 。 五、解： 设 xx exey 21 += ， xx exey -+=2 ， x
34、xx eexey -+= 23 是二阶常系数线性非齐次微分方程 )(xfcyyby =+ 的三个解，则 xx eeyy 212 -=- - 和 xeyy -=- 13 都是二阶常系数线性齐次微分方程 0=+ cyyby 的解，因此 0=+ cyyby 的特征多项式是 0)1)(2( =+- ，而 0=+ cyyby 的特征多项式是 02 =+ cb ， 因此二阶常系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 为 02 =- yyy ， 由 )(2 111 xfyyy =- 和xxx exeey 21 2+= ，xxx exeey 21 42 += 知， 111 2)( yyyxf -= )(2)2(
35、42222 xxxxxxxx exeeexeeexe +-+-+= xex)21( -=二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx xeeyyy 22 -=- 。 六、解： 因抛物线 cbxaxy ln22 += 过原点，故 1=c ，于是 2323dt)(31 1023102 baxbxabxax +=? +=+= ， 即 )1(32 ab -= 。而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 -+=+=10221022 dt)1(32(dt)()( xaaxbxaxaV -+-+=10221031042 dt)1(94dt)1(34dt xaxaaxa 22 )1(274)1(3151 aaaa
36、 -+-+= , 即 22 )1(274)1(3151)( aaaaaV -+-+= ， 令 0)1(278)21(3152)( =-+= aaaaV ，得 04040904554 =+-+ aaa， 即054 =+a ，又 5 4( ) 04 135V- = ，因此45-=a ,23=b , 1=c 时体积最小。 175 七、解： xnnn exxuxu 1)()( -+= ，即 xn exyy 1-=- ，由一阶线性非齐次微分方程公式知)d( 1 xxCey nx -+= ，即 )( nxCeynx += ， 因此 )()(nxCexu nxn += 。 由 )1()1(nCeunen +
37、= 知 ， 0=C ， 于 是 nexxu xnn =)( 。 下 面 求 级 数 的 和 ： 令=11)()(nxnnn nexxuxS ， 则 xexSexxSnexexxS xnxnnxnxn-+=+=+= =-=-1)()()()( 1111 ， 即xexSxS x-=- 1)()( ，由一阶线性非齐次微分方程公式知 )d11()( xxCexSx -+=， 令 0=x ， 得 CS = )0(0 ，因此级数 =1)(nn xu 的和 )1ln()( xexSx -=。八、解： 令2)( txtf = ，则因当 10 = = 0 01 1( ) ( )yx yxxF x F x dxy
38、 y= - 01( ) ( )yF y F x dxy= - 故 00 0( )1 1lim ( ) lim ( ) ( ) limyy yy y yF x dxxf x dx F y F x dx ly y y + + += - = - 0 ( )lim ( )= lim ( ) 0yy yF x dxl l F y l ly + += - - = - = 洛比达法则 。 五、 证明 : (1) 令 ( ) ( ) ,F x f x x= - 则在上连续 0,1 上连续，且 1( ) (1) 02F F ，2(1 . ) 11! 2! !nt t t ten- + + + + 即可。 2 2
39、0 0( ) 1 . 1 .1! 2! ! 1! 2! !n nn nt tt t t t t tF n e dt den n- -? ? ? ?= + + + + = - + + + +? ? ? ? ? ? ? 2 2 101 1 . 1 .1! 2! ! 1! 2! ( 1)!n nnn tn n n t t te e dtn n- -? ? ? ?= - + + + + + + + + +? ? ? ?-? ? ? ?2 2 11 1 . 1 1 .1! 2! ! 1! 2! ( 1)!n nn nn n n n n ne en n- -? ? ? ?= - + + + + + - +
40、 + + + + +? ? ? ?-? ? ? ?1 1 +11!n nne e- -? ?- + -? ? ?178 记!iinai=，那么 0 1 21 na a a a= + - + + + + + - = 。证毕。 七 、 解 ： 不 存 在 。 解 法 一 ： 假 设 存 在 1R 中 的 可 微 函 数 ( )f x 使 得2 4 3 5( ( ) 1f f x x x x x= + + - - 。 考虑方程 ( ( )f f x x= 。即 2 4 3 51 x x x x x+ + - - = ，2 4( 1)(1 ) 0x x x- + + = ，此方程有唯一实根 1x =
41、，即 ( ( )f f x 有唯一不动点 1x = 。下面说明 1x = 也是 ( )f x 的不动点。 事实上， 令 (1)=f t ， 则 ( ) ( (1)=1f t f f= ， ( ( )= (1) 1f f t f =，因此 1t = 。记 ( ) ( ( )g x f f x= ， ( ) ( ( ) ( )g x f f x f x = ，则 2(1) (1) 0g f = 。另一方面， 3 2 4( ) 2 4 3 5g x x x x x = + - - ，从而 (1) 2g = - 。矛盾。解法二： 首先， 不存在 kx + ， 使得 ( )kf x 有界， 否则 2 4
42、 3 5( ( ) 1k k k k kf f x x x x x= + + - -有界，矛盾 。因此 lim ( )x f x + = ，从 而由连续函 数的介值性 有 lim ( )x f x + = + ，或lim ( )x f x + = - 。 若 lim ( )x f x + = + ， 则 lim ( ( ) lim ( )x yf f x f y + += = - ， 矛 盾 。 若lim ( )x f x + = - ， 则 lim ( ( ) lim ( )x yf f x f y + - = = + ， 矛盾。 因此无论哪种情况都不可能。 八、证明： 由于 ( )f x
43、在 0, ) 上一致连续，故对任意给定的 0 ，存在 0 使得 1 2( ) ( ) 2f x f x- ，并在 0,1 中取 m 个点： 1 20 1mx x x= ， 这里的 是前面给定的。 令 1 2max , , , mN N N N= ，那么 ( )2jf x n+ ，其中 1,2, ,j m= 。设 0,1x 是任意一点，这时总有 一 个 jx 使 得 1 , j jx x x + 。 由 于 ( )f x 在 0, ) 上 一 致 连 续 及 jx x - ，这样，由后面证得的两个式子就得到 ( )f x n + ， 0,1x 。注意到这里的 N 的选取与点 x 无关，这就证实了
44、函数序列 ( ): 1,2,.f x n n+ = 在 0,1 上一致收敛于 0。 第二届 (2010) 全国大学生数学竞赛预赛试卷（答案）一、 1. 解： 2 2(1 )(1 )(1 ) (1 ) / (1 )nnx a a a a a= - + + + -= 2 2 2(1 )(1 ) (1 ) / (1 )na a a a- + + -= =12(1 ) / (1 )na a+- -12lim lim(1 ) / (1 ) 1/ (1 )nnn nx a a a+ = - - = - 。2. 解 ：2 221 1ln (1 ) ln(1 )1lim 1 lim limx xx e x x
45、x x xx x xe e ex- + + - ? ?+ = =? ? ?, 令 1xt= , 则 原 式20ln(1 ) 1 1lim2= ttte e+ - -= 。3. 解： 00 0 011 2 02 101 1( ) ( ) | ( 1) ! !sx n n sx n sx sx nnsx nn n n nI e x dx x de x e e dxs sn n n n n ne x dx I I Is s s s s - - - - - - - += = - = - - =-= = = = = 。 4. 解： 因为 ,r x r yx r y r? ?= =? ? ，所以2 2 2
46、 23 2 6 51 1 2 1( ), ( ) ( )g x g x x yf f fx r r x r r r r? ? - = - = +? ? ， 由对称性知2 22 2 4 31 1 1 1+ ( ) ( )g g f fx y r r r r? ? = +? ? 。 5. 解： 直线 1l 的对称式方程为 1 :1 1 0x y zl = = ，记两直线的方向向量分别为 (1,1,0)a = ，(4, 2, 1)b = - - ，故 ( 1,1, 6)a b = - - ，两直线上的定点分别为 1 (0,0,0)P = ， 2 (2,1,3)P = ，180 1 2 (2,1,3)PP = ，由向量的性质知，两直线的距离1 2 ( ) 2 1 18 1921 1 36PP a bda b? - + -= = =+ +。二、 解： 由 lim ( ) 0x f x + = 知， 必有一个充分大的 0a x ， 使得 ( ) 0f a ， 又 ( ) 0f x ，故 ( )f x 单 调 增 加 ， 又 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知 ， 当 x a 时 ，( ) ( ) ( )( ) ( )( )f x f a f x a f a x
