1、实验一 谐波分析实验2011010541 机 14 林志杭一、实验目的1. 了解分解、合成非正弦周期信号的物理过程。2. 观察合成某一确定的周期信号时，所必须保持的合理的频率结构，正确的幅值比例和初始相位关系。二、实验原理对某一个非正弦周期信号 x(t)，若其周期为 T、频率为 f，则可以分解为无穷项谐波之和。即 0102()sin()nnxtaAtf 上式表明，各次谐波的频率分别是基波频率 f0的整数倍。如果 f(t)是一个锯齿波，其波形如图 1 所示，其数学表达式为： (), 2()ExttTTn-E/2/Ttt图 1对 f(t)进行谐波分析可知 0, , 2nnEaA所以1002()si
2、n() 1 sin(2)sin2().nExttTftft即锯齿波可以分解成为基波的一次、二次n 次 无数项谐波之和，其幅值分别为基波幅值的 ，且各次谐波之间初始相角差为零（基波幅值为 ） 。反过来，用上述这些谐波1 2E可以合成为一个锯齿波。同理，只要选择符合要求的不同频率成份和相应的幅值比例及相位关系的谐波，便可近似地合成相应的方波、三角波等非正弦周期波形。三、实验内容及操作步骤1 合成方波周期方波信号 x(t)在一个周期中的表达式为： 1, 02() ,Ttxt波形如图 2 所示图 2 方波波形傅立叶级数为：4,1,35.0, b 0(1,35.) 6nn na展开成傅里叶级数表达式为：
3、 41()sini3sin5.)xtttt观察基波与三次谐波幅值分别为 1、1/3 ，相位差为零时的合成波波形，如图 3 所示。Matlab 程序为x=0:4*pi/100:4*pi; y1=sin(x); y2=sin(3*x)/3; plot(x,y1,x,y2,x,y1+y2); grid on;图 3 基波、3 次谐波及合成波形再分别将 5 次、7 次、9 次谐波叠加进去，观察并记录合成波的波形，找出合成波的形状与谐波次数之间有何关系1）将 5 次谐波叠加进去，如图 4 所示Matlab 程序x=0:4*pi/100:4*pi; y1=sin(x); y2=sin(3*x)/3; y3
4、=sin(5*x)/5; plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y1+y2+y3); grid on;图 4 基波、3 次谐波、5 次谐波及合成波形2）将 7 次谐波叠加进去，如图 5 所示程序类似图 5 基波、3 次谐波、5 次谐波、7 次谐波及合成波形3）将 9 次谐波叠加进去，如图 6 所示图 6 基波、3 次谐波、 5 次谐波、7 次谐波、9 次谐波及合成波形总结：a 随着叠加谐波次数的增加，合成的谐波的次数越多，合成的波形与方波越接近；方波失真越小，而方波的失真主要体现在波峰波谷处。b 合成波幅值接近于方波的幅值，且在方波幅值上下波动c 方波与基波具有相同的零点分别改变 3 次
5、、5 次谐波与基波间的相角，研究谐波间相角改变对合成波形的影响，并记录波形。1） 3 次谐波相角分别改变 60 度，90 度，120 度，180 度，270 度 330 度，改变 60 度的程序x=0:4*pi/100:4*pi; y1=sin(x); y2=sin(3*x-pi/3)/3; plot(x,y1,x,y2,x,y1+y2); grid on 其余类似如图 8 所示图 8 改变 3 次谐波相角2） 5 次谐波相角分别改变 60 度、90 度，120 度，180 度 270 度 330 度，如图 9 所示图 9 改变 5 次谐波相角分析：(1) 改变谐波的相角，合成波形出现了失真，
6、在 0180失真逐渐加大，180到达极致，之后又逐渐减少。(2) 改变三次谐波的相角对合成波形的影响比改变五次谐波相角要大，依次推断，改变低次谐波的相角对合成波形的影响比改变高次谐波相角更大。分别改变 3 次、5 次谐波与基波间的幅值比例关系，研究谐波间幅值比例改变对合成波形的影响，并记录波形。1）改变 3 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：8 、1：1，程序：x=0:4*pi/100:4*pi;y1=sin(x);y2=sin(x*3)/3;y3=sin(x*5)/5;y4=sin(x*3);y5=sin(x*3)/8;plot(x,y1+y2+y3,x,y1+y4+y3,x,y1+y5+y
7、3);grid on如图 10 所示图 10 改变 3 次谐波与基波间幅值比2）改变 5 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：8 、1：1，如图 11 所示图 11 改变 5 次谐波与基波间幅值比分析：(1) 改变谐波幅值，波形出现了失真，且幅值改变越大，对方比合成影响越大(2) 不同级次的谐波幅值改变相同的比例，级次越低，方波失真越小2 合成锯齿波锯齿波信号 x(t)在一个周期中的表达式为：波形如图 13 所示：图 13 锯齿波波形展开成傅里叶级数表达式为： 001()sin()sin(2).2Axttt 观察基波与 2 次、3 次谐波，幅值满足傅立叶级数表达式，相位差为零时的合成波波形，如图
8、 14 所示程序：x=0:4*pi/100:4*pi;y1=-sin(x);y2=-sin(2*x)/2;y3=-sin(3*x)/3;plot(x,y1,x,y2,x,y3,x, y1+y2+y3);grid on;图 14 基波、2 次谐波、3 次谐波及合成波形分别将 4 次、5 次、6 次9 次谐波叠加进去，观察并记录合成波的波形，找出合成波的形状与谐波次数之间有何关系） ，如图 15 所示图 15 各次谐波及合成波形分析：（1） 谐波次数越高，合成波的形状越来越接近锯齿波波形，失真越小（2） 方波与基波具有相同的零点。 分别改变 3 次、5 次谐波与基波间的相角，研究谐波间相角改变对合
9、成波形的影响，并记录波形。1） 3 次谐波相角分别改变 90 度、180 度，如图 16 所示图 16 改变 3 次谐波相角改变2） 5 次谐波相角分别改变 90 度、180 度，如图 17 所示图 17 5 次谐波相角改变结论：（1 ）对于同一次谐波，180 度内，相位改变越大，对合成波影响越大（2 ）改变三次谐波的相角对合成波形的影响比改变五次谐波相角要大，依次推断，改变低次谐波的相角比改变高次谐波相角对合成波形的影响更大。 分别改变 3 次、5 次、7 次谐波与基波间的幅值比例关系，研究谐波间幅值比例改变对合成波形的影响，并记录波形1) 改变 3 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：8、1
10、：1 ，如图 18 所示图 18 3 次谐波幅值改变2）改变 5 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：8 、1：1，如图 19 所示图 19 5 次谐波幅值改变3）改变 7 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：8 、1：1，如图 20 所示图 20 7 次谐波幅值改变分析：（1 ）改变谐波幅值，波形出现了失真，且幅值改变越大，合成波形偏离方波越严重（2 ）越高次谐波幅值增大对于波形失真的影响越严重，低次谐波幅值减小对于合成波形影响较大，而高次谐波幅值减小对波形影响较小3.2.5 锯齿波与方波的比较：对于方波和锯齿波，用傅立叶分析的方法合成波形都能很好的近似，锯齿波的傅里叶展开有 n 次项，即 n
11、次谐波，而方波只有奇次项，在近似时，同样的次数叠加，锯齿波的波形更为相近；改变相角和幅值对于合成波形的影响基本一致。3.3 合成三角波三角波信号 x(t)在一个周期中的表达式为：* MERGEFORMAT (1)波形如图 21 所示：图 21 三角波波形展开成傅里叶级数表达式为： 观察基波与三次谐波幅值分别为 1、1/9 ，相位差为零时的合成波波形，程序x=0:4*pi/100:4*pi; y1=cos(x); y2=cos(3*x)/9; plot(x,y1,x,y2,x,y1+y2);grid on;如图 22 所示图 22 基波、三次谐波和合成波形3.3.2 分别将 5 次、7 次、9
12、次谐波叠加进去，观察并记录合成波的波形，找出合成波的形状与谐波次数之间有何关系） ，如图 23 所示图 23 五次、七次、九次谐波及合成波形分析：（1 ）随着谐波次数的增加，合成波的形状越来越接近三角波波形，由于三角波形状与三角函数相似，所以按傅立叶级数合成后波形非常接近三角波（2 ）基波与方波具有相同的零点。（3 ）各次谐波的幅度都不会超过三角波的幅度3.3.3 分别改变 3 次、5 次谐波与基波间的相角，研究谐波间相角改变对合成波形的影响，并记录波形。1） 3 次谐波相角分别改变 90 度、180 度，如图 24 所示图 24 改变 3 次谐波相角2） 5 次谐波相角分别改变 90 度、1
13、80 度，如图 25 所示图 25 改变 5 次谐波相角2） 9 次谐波相角分别改变 90 度、180 度，如图 25 所示图 25 改变 9 次谐波相角分析：（1 ）改变谐波的相角，合成波形出现了失真（2 ）改变 3 次谐波的相角对合成波形的影响较大，而改变 9 次谐波相角对波形影响甚小，依次推断，低次谐波的相角改变对合成波形的影响比改变高次谐波相角更大。3.3.4 分别改变 3 次、5 次、9 次谐波与基波间的幅值比例关系，研究谐波间幅值比例改变对合成波形的影响，并记录波形。1）改变 3 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：36、1：1 ，如图 26 所示图 26 改变三次谐波幅值2）改变
14、5 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：100、4：25，如图 27 所示图 27 改变 5 次谐波幅值3） 改变 9 次谐波幅值与基波幅值比分别为 1：324、1：9 ，如图 18 所示图 28 改变 9 次谐波幅值分析：（1 ）改变谐波幅值，波形出现了失真，且幅值改变越大，合成波形偏离越严重（2 低次谐波幅值改变比同比例改变高次谐波幅值对于合成波形影响大得多，除基波外增大谐波幅值比减少谐波幅值对合成波形影响大。3.3.5 三角波与方波、锯齿波的比较：由分析可知，用傅立叶分析方法对于三种波形都有很好的近似，谐波级数越高，合成波形越接近真实波形；对于三种波形，改变谐波与基波间相位和幅值对于合成波
15、的波形、幅值的影响大致相同；三角波与方波相同，只具有奇数次谐波，但三角波初始相位与方波相差 ；与方波、锯齿波不同，三角波各次谐波幅值为基波幅值的 ，所以高次谐2 21n波对与三角波的影响最小；三角波在较低级次谐波叠加下波形就能很好的近似，这是因为三角波波形和余弦函数相似，而方波和锯齿波只有在高级次谐波叠加下波形才近似相同。四、讨论以下问题1 在合成波形时，各次谐波间的相角关系与幅值比例关系，哪一个对合成波形的影响更大？答：由前面的分析可以看出改变低次谐波的幅值和相角比改变高次谐波幅值和相角对于波形的影响更大。而改变相角只能在（0，pi）内起作用，即相角对合成波形的影响是有上限的，而改变幅值不会
16、受此影响，所以幅值比例关系对波的合成影响更大2 如果用正弦波去合成波形，在合成三角波时，三次谐波的相位与合成方波、锯齿波时的相位是否一样？答：不一样。用正弦波去合成这三种波形，则傅里叶级数展开式分别为：方波： 00041()sinsi3sin5.)Axtttt锯齿波： 0001()i()i(2)i(3).2tttt三角波： 281()sin()sin(3)sin(5).92Axtttt因此，在合成方波、锯齿波、三角波时三次谐波相位分别为：0、 、/2 ， 三者不相同。3 在一般的常规应用中，对于 100Hz 的方波、锯齿波及三角波信号，你认为所应考虑的频率段范围各应为多少？答：对于各种波形，定
17、义功率为总波形 95%的频率范围就是该波形的频段范围方波：总功率 =24=22=11(21)2前九次谐波=8(1+19+125+149+181)2 =0.9600.95频段范围为（100hz900hz）锯齿波=212=2=11()22前 12 次谐波=612=11()22 =0.95140.95频段范围为（100hz1200hz ）三角波=212=82=1 1(21)44前 3 次谐波=963=1 1(21)24 =0.999280.95频段范围为（100hz500hz）综上所述：方波频段范围为（100hz900hz） ，锯齿波频段范围为（100hz1200hz ） ，三角波频段范围为（100
18、hz500hz）五、回答下列思考题1 如果将图 1 所示的锯齿波仅把坐标移一下使之成为图 29 所示。试对其进行谐波分析，并比较二者同异之处。 -A/2/Ttf(t)图 29 答：上图中锯齿波表达式为： (),2Txtt()(xtnt进行谐波分析，信号频率成分的幅值和初相角为： 00, 1,35., , 46nnAa其傅立叶级数为0001()sinsi(2)sin(3)Axtttt （1 ）图 1 所示锯齿波信号 x(t)在一个周期中的表达式为：(), 02()AxttTTn进行谐波分析，信号频率成分的幅值和初相角为： 0, , 2nnAa其傅里叶级数表达式：00011()sin()si()s
19、i(3).22Axtttt（2 ）比较（1） 、 （2 ）两式，其数次谐波相角落后 pi，幅值不变 2 波形合成的不失真条件是什么？实验中如何保证？用什么方法观察调节？答：波形合成不失真的条件是谐波次数足够且各次谐波有正确的初相角和幅值比例；实验中就是通过增大谐波级次来保证波形不失真。由于失真主要体现在波形的波峰波谷处，在实验中着重观察这两处，只要保证这两处不存在严重的失真，整个波形的合成精度就得到了保证。3 当锯齿波合成后，如果将 1、3、5 及 7 次谐波关闭，仅保留偶次谐波，最后的输出波形是什么样，该信号的频率为多少？答：波形如图 30 所示图 30 关闭 1、3 、5 及 7 次谐波后波形变化后信号的幅值减小到原来的 1/2，频率增大到原来的 2 倍
