1、 - 1 -第一章 集合与简易逻辑：一集合1、 集合的有关概念和运算（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；（2）元素 a 和集合 A 之间的关系： aA ， 或 a A；2、子集定义：A 中的任何元素都属于 B，则 A 叫 B 的子集 ；记作：A B，注意：A B 时，A 有两种情况：A 与 A3、真子集定义：A 是 B 的子集 ，且 B 中至少有一个元素不属于 A；记作： ；4、补集定义： ；,|xUCU且5、交集与并集 交集： ；并集：|A且 |BxB或6、集合中元素的个数的计算： 若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为n_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是
2、。二简易逻辑： 1复合命题： 三种形式：p 或 q、p 且 q、非 p；判断复合命题真假：2.真值表：p 或 q，同假为假，否则为真；p 且 q，同真为真；非 p，真假相反。3.四种命题及其关系：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若 p 则 q； 逆否命题：若 q 则 p；互为逆否的两个命题是等价的。 原命题与它的逆否命题是等价命题。4.充分条件与必要条件：若 ，则 p 叫 q 的充分条件；若 ，则 p 叫 q 的必要条件；若 ，则 p 叫 q 的充要条件；第二章 函数一 函数1、映射：按照某种对应法则 f ，集合 A 中的任何一个元素，在 B 中都有唯一确定的元素和
3、它对应，记作 f：AB，若 ，且元素 a 和元素 b 对应，那么 b 叫 a 的象，a 叫 b 的原象。Bba,2、函数：（1） 、定义：设 A，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个数 x，集合 B 中都有唯一确定的数 f（ x）和它对应，就称 f：AB 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（ x） ，（2） 、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；3、求定义域的一般方法：整式：全体实数 R；分式：分母 ，0 次幂：底数 ； 0偶次根式：被开方式 ，例： ；对数：真数 ，例：025xy)1(logxya4、求值域的一般方法：图象观察法： ；单调函数
4、法： |2.xy 3,1),3(log2x二次函数配方法： ， )5,14y“一次”分式反函数法： ；换元法：2xy x15、求函数解析式 f（ x）的一般方法：待定系数法：一次函数 f（ x） ，且满足 ，求 f（ x）72)()1(3ff配凑法： 求 f（ x） ；换元法： ，求 f（ x）,1)(2f x16、函数的单调性：（1）定义：区间 D 上任意两个值 ，若 时有 ，称 为 D 上增函数；21,21)(21ff)(f若 时有 ，称 为 D 上减函数。 （一致为增，不同为减）2x)(21xff)(f（2）区间 D 叫函数 的单调区间，单调区间 定义域；（3）复合函数 的单调性：即同增
5、异减；)(xhfy7.奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。8.周期性：定义：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。9函数图像变换：（1）平移变换 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下（3）注意：（）有系数，要先提取系数。如：把函数()经过 平移得到函数()的图象。 （）会结合向量的平移，理解按照向量 （，）平移的意义
6、。a10反函数：（1）定义：函数 的反函数为 ；函数 和 互为反函数；)(xfy)(1xfy)(xfy)(1xf原命题若 p 则q 逆命题若 q 则p否命题若 p 则q 逆否命题若 q 则p否逆为互互否 互逆互逆 互否互 为 逆 否- 2 -（2）反函数的求法：由 ，反解出 ， 互换，写成 ，写出)(xfy)(1yfx, )(1xfy的定义域（即原函数的值域） ；)(1xfy（3）反函数的性质：函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域；)(xfy )(1xfy函数 的图象和它的反函数 的图象关于直线 对称；点（ a， b）关于直线)(xfy )(1f的对称点为（ b， a） ；二、指
7、对运算：1. 指数及其运算性质：当 n 为奇数时， ；当 n 为偶数时， an )0(|aan2.分数指数幂：正分数指数幂： ；负分数指数幂：nmanm13.对数及其运算性质：（1）定义：如果 ，以 10 为底叫常用对数，记为 lgN，以 e=2.7182828为底)1,0(Nab叫自然对数，记为 lnN（2）性质：负数和零没有对数，1 的对数等于 0： ，底的对数等于1loga1： ，积的对数： ， 商的对数：loga NMaal)(log，NMNal幂的对数： ， 方根的对数： ，nal Mnaalog1log三指数函数和对数函数的图象性质函数 指数函数 对数函数定义 （ ）xy10且 （
8、 ）xyal10且a1 01 01)ce准线 2axc 2ayc渐近线 （ ）aby20yxbxb三抛物线定义标准方程及其简单几何性质定义 平面内与一定点 F 和一条定直线 L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 L 叫做抛物线的准线标准方程pxy2pxy2pyx2pyx2图形 O xO x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,Rx0,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e三直线和圆锥曲线的位置关系1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法OxA12B2Bab OxA12Bb- 9 -（1）代数法：
9、直线 l： Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C： f(x， y)=0 的位置关系可分为：相交、相切、相离设直线 l:Ax+By+C=0,圆锥曲线 C： f(x,y)=0 ; 由 消去 y（或 x）得：0(,)ABCFax2+bx+c=0 (a0) ;令 = b2-4ac, 则 0相交；=0 相切；0相离.(2)几何法：求大致位置和满足条件的直线时可用，精确计算时不可用。2.弦长的计算：弦长公式 .2212112|()4ABkxkxx第九章 立体几何1.平面的基本性质：三个公理及推论。2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面；3.直线与平面位置关系 （1）直线在平面内有无数个公共点 。 （2
10、）直线和平面相交有且只有一个公共点（3）直线和平面平行没有公共点判 定 定 理 性 质 定 理直线和平面平行 baba判 定 定 理 性 质 定 理直线与平面垂直 mln 0ab直线与平面所成的角（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是 00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。4.平面与平面位置关系：
11、平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）判 定 性 质两个平面平行（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直
12、角的二面角叫做直二面角。判 定 性 质空间两个平面两平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内5. 常用证明方法：(1)判断线线平行的常用方法：ab,bc, ac;a,a ,b aba,b ab;，a,b ab(2)判定线线垂直的常用方法.a，b ab； bc,ac aba，b ab； 三垂线定理及逆定理(3)判定线面平行的常用方法：定义 a ,b 且 ab a.,a a; (4)判定线面垂直的常用方法ca,
13、cb 且 a ,b ,a，b 无公共点 c；ab 且 a b- 10 - 且 a a(5)判定面面平行的常用方法：a、b ,abA，若 a,b a, ，r (6)判定面面垂直的常用方法.a,a ，br ra,a 6棱柱（1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。（3）平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。（4）S 侧 各侧面的面积和；（5）V=Sh。 7棱锥棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）相关计算：S 侧 各侧面的面积和 ，V= Sh318球的相关概念：（1）S 球 =4R 2
14、V 球 R 3 （2）球面距离的概念49.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算（1）异面直线所成的角 范围：0 90 方法：平移法；向量法.（2）直线与平面所成的角 范围：0 90 方法：关键是作垂线，找射影.（3）二面角方法：定义法；射影面积法： S= Scos 三垂线法；向量法.其中二面角的平面角的作法定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。（4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.(6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法(7)两条平行线间的距离.(8)两异面
15、直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法(9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离第十章 排列组合与二项式定理概率一排列组合1.计数原理分类原理：N=n 1+n2+n3+nM (分类) 分步原理：N=n 1n2n3nM (分步)2.排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)= Ann =n!)!(mCnm = Cnm= Cnnm C nmC nm1 = Cn+1m+1 kk!=(k+1)!)1()21(nk!三.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排1、多排问
16、题直排法：把 n 个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）5、正难则反排除法（或淘汰法）：对于含有否定词
17、语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不能少减。6、元素重复问题住店法（或映射法）：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客” ，能重复的元素看着“店” ，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法” 。四二项式定理：1.(a+b)n=Cn0ax+Cn1an1 b1+ Cn2an2 b2+ Cn3an3 b3+ Cnranr br+ Cn n1 abn1 + Cnnbn特别地：(1+x) n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnrxr+Cnnxn2.通项
18、为第 r+1 项： T r+1= Cnranr br 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。3.主要性质和主要结论：对称性 Cnm=Cnnm 最大二项式系数在中间。 （要注意 n 为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：C n +Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+Cnr+Cnn=2n奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +C n +Cn +Cn + Cn + Cn +=2n -1五概率必然事件： P(A)=1；不可能事件： P(A)=0；随机事件的定义： 0P(A)1。- 11 -2.等可能事件的概率：如果一次
19、试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率n1.nmP(A)3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生(即A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)；推广： .)P()(P)AP( n21n21 4.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.（A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生） （A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然
20、有一个发生。P（A）+ P(B)5.相互独立独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B).推广：若事件 相互独立，则 .n21, )P()(P)P( n21n21 6.独立重复事件：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率： 。特殊：令 k=0 得：在 n 次独立重复试验中，事件 AknknP)(1C()P没有发生的概率为 Pn() =Cn0p0(1p) n =(1p) n令 k=n 得：在 n 次独立重复试验中，事件 A 全部发生的概率为 Pn(n)=Cnnpn(1p) 0 =pn
