1、数值分析第二次程序作业 1数值分析第二次程序题插值法1.对 Runge 函数 在区间-1,1作下列插值逼近，并和 R(x)的图像进行比较，21()5Rx并对结果进行分析。(1) 以 为节点，Newton 插值-1,0.,ixhi图 1 -0.7,0.7上的 Newton 插值 图 2 -1,1上的 Newton 插值由上图可以看出，在区间-0.7,0.7上，插值多项式可以比较好地逼近被插值函数。而当区间改为-1,1时，边界附近插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Runge现象。由于边界接近60的误差，图像中间部分的变化几乎不可见。主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余
2、项不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。(1)1()!nnnfRxx（牛顿差值函数function f=niudun(z,N,n)f=N(1,1);x=-1:0.1:1;for k=2:n a=1; for r=1:(k-1) a=a*(z-x(r); end f=f+N(k,k)*a; end主程序x=-1:0.1:1;n=length(x);for i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endN=zeros(n,n); N(:,1)=y; for j=2:n for k=j:n N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1); e
3、nd end for t=1:nc(t)=N(t,t);endz=-1:0.001:1;m=size(z,2);for i=1:mRunge(i)=1/(1+25*z(i)*z(i);f(i)=niudun(z(i),N,n);endplot(z,Runge,k,z,f,r)数值分析第二次程序作业 2(2)以 为节点，Lagrange 插值21cos(,0,24iixi） （ ， ， ， ）图 3 以 Chebyshev 多项式零点为插值点 图 4 以等距节点为插值点如图所示，使用 Chebyshev 多项式零点构造的 Lagrange 插值多项式比较接近原函数，没有出现 Runge 现象，图
4、 4 为第一小问中的等距节点插值，可以明显的看出以 Chebyshev多项式零点为插值点的优势。主要原因是其多项式误差为 ，(1)()-2(!nnnfxLf（在区间内一致收敛。Lagrange 函数function lag=lagrange(z,x,y)for i=1:21l(i)=1;for j=1:21if j=il(i)=l(i)*(z-x(j)/(x(i)-x(j); endendendl=l;lag=y*l;主程序for i=1:21x(22-i)=cos(2*i-1)*pi/42);endfor i=1:21y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endz=-1:0.001:
5、1;m=length(z);for i=1:mf(i)=1/(1+25*z(i)*z(i);lag(i)=lagrange(z(i),x,y);endplot(z,f,k,z,lag,r)(3)以 为节点，分段线性插值-1,0.,2ixhi如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现 Runge 现象。但是可以明显地看到在区间-0.1,0.1中，线性插值的拟合度较低，因为这一部分的函数的曲率较大，也就是二阶导数较大。由误差估计公式 可知这一部分的误差2h)max8nRf（数值分析第二次程序作业 3较大。图 5 线性插值(4)以 为节点，三次自然样条插值-1,0.,2ixhi图 6 三
6、次自然样条插值函数图像由上图可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑，图中并没有将插值函数连起来，否则基本无法分辨出原函数和插值函数的图像，说明得到的函数十分接近被插值函数。另外，题目要求自然样条插值，也就是再两端的二阶导数为 0，需在变成过程中加以注意。x=-1:0.1:1;n=length(x);for i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endfor i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n-2,n-2);for i=1:n-2G(i,i)
7、=2;end数值分析第二次程序作业 4for i=2:n-2G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endd=zeros(1,n-2);for i=1:n-2d(i)=6*(y(i+2)-y(i+1)/h(i+1)-(y(i+1)-y(i)/h(i)/(h(i+1)+h(i);endd=d;M=Gd;M=0;M;0;for i=1:n-1z=x(i):0.01:x(i+1);m=length(z);for j=1:ms(j)=M(i)*(x(i+1)-z(j)3/0.6+M(i+1)*(z(j)-x(i)3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-
8、z(j)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z(j)-x(i)/0.1;endplot(z,s,* r,MarkerSize,3)hold onendhold onz=-1:0.01:1;for i=1:201f(i)=1/(1+25*z(i)*z(i);endplot(z,f,b)2.对函数：在区间-1,1 作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。(1) 以 为节点，Newton 插值-1,0.,2ixhi首先对函数进行简要分析，函数 f(x)是分段函数，并且在 x=0 处不连续，对于插值计算，只需要函数值，所以除了函数作图和计算函数值有所不同以
9、外，程序的主体部分没有明显改动，所以将本题程序统一放在最后。本小题中数值分析第二次程序作业 5图 7 -1,1上的 Newton 插值 图 8 -0.7,0.7上的 Newton 插值由上图可以看出，在区间-0.7,0.7上，插值多项式可以已经无法较好地逼近被插值函数了，而当区间改为-1,1时，边界附近插值多项式与被插值函数的差别迅速扩大。即出现了 Runge 现象。由于边界接近 1000 的误差，图像中间部分的变化几乎不可见。相比于第一题 Runge 现象更为明显。主要原因是被插值函数不连续，导致其插值余项 可能无穷大。(1)1()!nnnfRxx（插值多项式不能收敛到被插值函数。(2)以
10、为节点，Lagrange 插值21cos(,0,24iixi） （ ， ， ， ）图 9 以 Chebyshev 多项式零点为插值点如图所示，使用 Chebyshev 多项式零点构造的 Lagrange 插值多项式比较接近原函数，没有出现 Runge 现象，并且可以看出，在不连续点位置插值效果一般，但是在函数两端的拟合效果明显要好，说明使用 Chebyshev 多项式零点构造的 Lagrange 插值多项式在连续函数上的应用效果更佳。(3)以 为节点，分段线性插值-1,0.,2ixhi数值分析第二次程序作业 6图 10 21 个插值点线性插值 图 11 201 个插值点线性插值如下图所示，分段
11、线性插值多项式比较接近原函数，没有出现 Runge 现象。此例中我们看到了线性插值的强大优势，当原函数较为光滑，曲率较小，即使是分段函数对线性插值的影响也极为有限，当插值点个数扩大 10 倍达到 201 个时，可以明显的看出线性插值的优势所在。(4)以 为节点，三次自然样条插值-1,0.,2ixhi图 12 三次自然样条插值函数图像由上图可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑，但是与其他多项式拟合一样在不连续点处存在较大的误差，但是与第一二小问中的 Lagrange 插值多项式相比，三次样条插值可以更快的脱离不连续点的影响，并在其他位置上表现出很好的拟合效果。综合以上 2 题我们可以初步得出
12、这样的结论：当函数连续光滑，使用 Chebyshev 多项式零点构造的 Lagrange 插值多项式可以有效地数值分析第二次程序作业 7避免 Runge 现象，但三次样条插值函数的曲线更为优秀。但是当函数出现不连续点时，分段线性插值的优势明显，可以在不连续段处达到很好的拟合效果，并且可以迅速脱离不连续点的影响，所以在做函数插值时在斜率很大的部分可以考虑使用分段线性插值，其他部分采用三次样条效果最好。牛顿插值x=-1:0.1:1;n=length(x);for i=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:15y(i)=cos(pi*x(i);endfor i=15:ny
13、(i)=0;endN=zeros(n,n); N(:,1)=y; for j=2:n for k=j:n N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1); end end for t=1:nc(t)=N(t,t);endz=-0.1:0.01:0.1;m=length(z);for i=1:mnd(i)=niudun(z(i),N,n);endv=linspace(-1,0,100);u=sin(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=linspace(0,0.5,50);u=cos(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=lins
14、pace(0.5,1,50);u=0;plot(v,u,k)hold onplot(z,nd,r)以 Chebyshev 多项式零点为插值点for i=1:21x(22-i)=cos(2*i-1)*pi/42);endfor i=1:21if x(i)0.5y(i)=0;else y(i)=cos(pi*x(i);endendz=-1:0.001:1;m=length(z);for i=1:mlag(i)=lagrange(z(i),x,y);endv=linspace(-1,0,100);u=sin(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=linspace(0,0.5,50);u
15、=cos(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=linspace(0.5,1,50);u=0;plot(v,u,k)hold onplot(z,lag,r)线性插值x=-1:0.01:1;for i=1:201if x(i)0.5y(i)=0;else y(i)=cos(pi*x(i);endendz=-1:0.001:1;n=length(z);m=floor(z+1)/0.01)+1;for i=1:n-1l(i)=y(m(i)+(y(m(i)+1)-y(m(i)/(x(m(i)+1)-x(m(i)*(z(i)-x(m(i);endl(2001)=y(201);f(2001)
16、=y(201);v=linspace(-1,0,100);u=sin(pi*v);plot(v,u,k)数值分析第二次程序作业 8hold onv=linspace(0,0.5,50);u=cos(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=linspace(0.5,1,50);u=0;plot(v,u,k)hold onplot(z,l,r)三次样条插值x=-1:0.1:1;n=length(x);for i=1:21if x(i)0.5y(i)=0;else y(i)=cos(pi*x(i);endendfor i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:
17、n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n-2,n-2);for i=1:n-2G(i,i)=2;endfor i=2:n-2G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endd=zeros(1,n-2);for i=1:n-2d(i)=6*(y(i+2)-y(i+1)/h(i+1)-(y(i+1)-y(i)/h(i)/(h(i+1)+h(i);endd=d;M=Gd;M=0;M;0;for i=1:n-1z=x(i):0.01:x(i+1);m=length(z);for j=1:ms(j)=M(i)*(x(i+1)-z(j)3/0.6+M(i+1)*(z(j)-x(i)3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z(j)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z(j)-x(i)/0.1;endplot(z,s,* r,MarkerSize,3)hold onendv=linspace(-1,0,100);u=sin(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=linspace(0,0.5,50);u=cos(pi*v);plot(v,u,k)hold onv=linspace(0.5,1,50);u=0;plot(v,u,k)hold on
