1、第二十七章 相 似一、目标与要求1掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.2能根据相似比进行计算.3通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义， 领会特殊与一般的关系.4能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.5能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.6通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1理解并相似三角形的判定与性质2位似图形的有关概念、性质与作图3利用位似将一个图形放大或缩小4用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换5把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规
2、律 四、中考所占分数及题型分布本章会出 1-2 道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占 15-20 分.第二十七章 相 似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的5.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形.例 1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同
3、的镜像，是否相似？6.相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例 2：在比例尺为 1：10000000 的地图上，量的 A、B 两地的距离为 10cm，求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的 1cm 相当于实际 10000000cm，即 100km.A、B 两地相距 10cm，相当于 1000km.例 3：如图 27.1-1，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 、 的大小和 EH 的长度 x.图 27.1-1解：四边形 ABCD 和 EFGH 相似，他们的对应角相等，因此可得，83oC18oAE在四边形 ABCD 中，607ooo四边形 ABC
4、D 和 EFGH 相似，他们的对应边相等，由此可得，即EHFADB2418x解得 xcm27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在ABC 和A BC中，如果 ， ，我们就说ABC 和 ,ABC=ABCkABC相似，记作ABCA BC，k 就是他们的相似比.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 （或 a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.=cb例 1.如图 27.2-1，在ABC 中，点 D 是边 AB 的中点，DE/BC，DE
5、交 AC 于点 E，ADE 与ABC 有什么关系？解：在ADE 与ABC 中， ADE/BC,ADEBC过点 E 作 EF/AB，EF 交 BC 于点 F.在BFED 中，DE=BF，DB=EF12ABDEF又 ,CADE EFCAE=EC=在此 处键 入公式。 11,22AECDEFBCADE 和ABC 的对应角相等，对应边的比相等在此 处键 入公式。 ADE ABC 1.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.例 2.如图 27.2-1，在ABC 和A BC中， ，求证ABC 和A BC相似.ABC图 27.2-1证明：在线段 AB（或它的延长
6、线）上截取 AD=AB，过点 D 做 DE/BC，交 AC于点 E，根据前面的结论可得A DEA BC ADEBC又 ，A D=AB， ，A E=AC同理 DE=BCA DE ABCA DE ABC2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.例 在ABC 和A BC中，已知 AB=6CM，BC=8CM，AC=10CM ，A B=18CM，B C=24CM，A C=30CM，试证明ABC 和A BC相似.证明： 618101,832433AC故ABC 和A BC相似.例.设ABC 与DEF 中，AB:DE=AC:DF ，A=D ，ABC 与DEF 有什么关系？解：把DEF 放到
7、ABC 中与之重合.AB:DE=AC:DF，EF/BC.两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似.3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；例.根据下列条件判断ABC 和A BC是否相似，并说明理由.（1） ，AB=7cm ，AC=14cm ， ， AB=3cm，AC=6cm20oA120o（2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A B=12cm，B C=18cm，A C=21cm解：（1） ， 7,3BC又 ABCA BC（2） 41618,2832ABABC 和A BC的三组对应边的比不等，它们不相似.例. 假设两个三角形的两组对应边的比相
8、等，并且有一组角相等（不是这两边所夹的角） ，那么这两个三角形相似？解：情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习）情形二：当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似.因为由勾股定理马上知道，两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 .情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似.如图，ABC 和ADC 中，AB=AD，AC 是两个三角形的公共边，C 是两个三角形的公共角.但是二者显然不相似.4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
9、似；例.如图，在ABC 中，DEBC ，EFAB，求证：ADEEFC 解： DEBC，DEFC，AED=C又EFAB ， EF AD，A= FECADE EFC27.2.2 相似三角形应用举例27.2.3 相 似 三 角 形 的 周 长 和 面 积相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比.相似三角形面积比等于相似比的平方.相似多边形面积的比等于相似比的平方如果ABC 和A BC相似，相似比为 k，那么 ABCk因此 ,kkA从而 ABCkABCk由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法，还可得出：相似多边形的周长比等于相似比.例.如图 27
10、.2 ABCA BC，相似比为 k，他们的面积比为多少？分别作ABC 和A BC的高 AD 和 AD.ABD 和A BD都是直角三角形，并且 BABDA BDk 2 1122ABCkCADS kB相似三角形面积比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到相似多边形面积的比等于相似比的平方例 27.2 在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9， 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于BADG， ，则EFC 的周长为？42B解：在平行四边形 ABCD 中，AB/CD， ，又 ，AEFCBAEF，故 AD=DF=9
11、，则 CF=DF-DC=3FCD， ，EBEABEFC，又BC=BE+CE=9，CE=3，BE=6.623AF在 Rt BGE 中，由勾股定理得，AB=BE=6，BGAE，AG=GE=2，2GEB则 EA=AG+GE=4， ，2EAF故 CF+CE+EF=3+3+2=8所以EFC 的周长为 8.例 27.2 在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上， ，如果 AE=2，ADE 的面积为 4，四边形AEDBBCED 的面积为 5，那么 AB 的长为多少？解： ， ，ADE ACB，ABACBS ADE =4，S 四边形 BCED=5， S ACB =4+5=9，SADE ： SACB =
12、4：9，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为 2：3，即 AE:AB=2:3，故 AB=3.例 如图 27.2 在ABCD 中，AE:EB=2:3，DE 交 AC 于点 F.（1） 求AEF 与CDF 的周长比；（2） 如果 SCDF =20cm2，求 SAEF .解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD ，AB/CD，,EAFDCEFAEFCDF， 2=5AECD 的 周 长 的 周 长（2） ， =20，245AEFCDS FS 16AEFS27.3 位 似（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比（3） 掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.例. 如图，四边形 ABCD 的坐标分别为 A（-6，6） ，B（-8 ，2） ，C （-4 ，0） ，D（-2，4） ，画出它的一个以原点 O为位似中心，相似比为 的位似图形.12例.
