反比例函数与几何综合.题库学生版.doc

1、反比例函数与几何的综合题一、反比例函数的定义函数 （ 为常数， ）叫做反比例函数，其 中叫做比例系数， 是自变量， 是函数，自kyx0kkxy变量 的取 值范 围是不等于 0 的一切实数二、反比例函数的图象反比例函数 （ 为常数， ）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着 的不断增大（或减kyx0k x小）越来越接近坐标轴，反比例函数的 图象属于双曲线反比例函数 与 （ ）的图象关于 轴对称，也关于 轴对称xy三、反比例函数的性质反比例函数 （ 为常数， ）的图象是双曲线；kyx0k当 时，函数 图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，0k随 的增大而减小；yx当

2、时，函数 图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随 的增大而增大注意：反比例函数 （ ）的取 值范围是 因此，kyx00x图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支 连 接起来叙述反比例函数的性质时，一定要加上 “在每一个象限内”，如当 时，双曲 线 的两支分别在一、三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小0kkyx yx这是由于 ，即 或 的缘故 x0如果笼统地叙述为 时， 随 的增大而增大就是错误的由于反比例函数中自变量 和函数 的值都不能为零，所以图象和 轴、 轴都没有交点，但y画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势在画出的图象上要注明函数的解析

3、式四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式 中，只有一个系数 ，确定了 的值，也就确定了反比例函数的(0)kyxk解析式因此，只需给出一组 、 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式五、比例系数 的几何意义k过反比例函数 ，图象上一点 ，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、 点组成0yxPxy， P一个矩形，矩形的面积 .Syxk例题精讲一、反比例函数与几何综合【例 1】 已知点( ， )在函数 ( )的图像上，矩形 的边 在 轴上， 是对角线3kyx0ABCDxE的中点，函数 ( )的图像经过 、 两点，若 ，求 点的坐标.BDE45 EDCBAO xy【例

4、2】 如图，点 ( ， )， ( ， )都在反比例函数 的图象上Am1B31mkyx（1）求 ， 的值；k（2）如果 为 轴上一点， 为 轴上一点，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四MxNyABMN边形，试求直线 的函数表达式BAOyx【例 3】 如图， 、 都是等腰直角三角形，点 、 在函数 ( )的图像上，斜边1POA21 1P24yx0、 、都在 轴上，求点 的坐标.2x2A A2A1P2P1O xy【例 4】 如图所示， ， 在函数 的图象上，122Pxyxy、 nnPxy、90x， ， ， ，都是等腰直角三角形，斜 边1OA23A1nA都在 轴上，则 _1n、x2nyy 。A2

5、A1P2P1O xy【例 5】 如图， 是函数 ( )图象上一点，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，P12yx01yxyB轴于 ，交 于 ， 轴于 ，交 于 .求 的值.MOxABEPNOABFEEFPNBM A xyO【例 6】 已知：等腰三角形 在直角坐标系中的位置如图，点 的坐标为 ，点 的坐标OABA3， B为 0，（1）若三角形 关于 轴的轴对称图形是三角形 ，请直接写出 、 的对称点 、yOBAA的坐标；B（2）若将三角形 沿 轴向右平移 个单位，此时点 恰好落在反比例函数 的图OABxaA63yx像上，求 的值；a（3）若三角形 绕点 按逆时针方向旋转 度( )当 = 时点 恰好

6、落在反0930B比例函数 的图像上，求 的值kyxk6OBxyA【例 7】 过原点作直线交双曲线 ( )于点 、 ，过 、 分别作两坐标轴的平行线，围成kyx0AC矩形，如图所示ABCD知矩形 的面积等于 8，求双曲线的解析式；若已知矩形 的周长为 8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因C BADxyO【例 8】 如图，已知正方形 的面积为 9，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 在 轴上，点OABCOAxCy在函数 ( ， )的图像上，点 ( ， )为其双曲 线上的任一点， 过点 分别Bkyx0PmnP作 轴、 轴的垂 线，垂足分别为 、 ，并设矩形

7、和正方形 不重合部分的面EFEFOB积为 S求 点的坐标和 的值；k当 时，求 点坐标；92P写出 关于 的函数关系式SmPSFEOC BAyx【例 9】 已知图中的曲线是反比例函数 （ 为常数）图象的一支5myx这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数 的取值范围是什么？若该函数的图象与正比例函数 的图象在第一象内限的交点 为 ，过 点作 轴的2Ax垂线，垂足为 ，当 的面 积为 4 时，求点 的坐标及反比例函数的解析式BOAA Oyx【例 10】 两个反比例函数 和 在第一象限内的 图象如图所示，点 在 的图象上，kyx1Pkyx轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，交 的图象于点 ，当

8、点PCxAPDy1B在 的图象上运动时，以下结论：ky 与 的面积相等；ODBA四边 形 的面积不会发生变化；P 与 始终相等；当点 是 的中点时，点 一定是 的中点CBPD其 中 一 定 正 确 的 是 （把 你 认 为 正 确 结 论 的 序 号 都 填 上 ，少 填 或 错 填 不 给 分 ）y=kxPBy=1xxyO CDA【例 11】 两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示， 动点1kyx2120k P在 的图象上， 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，交1kyxPCyxAPDy的 图象于点 2B求证：四边形 的面积是定值；AO当 时，求 的值；3PCDP若点 的坐标为

9、， 的面积分别记为 、 ，设52， BAP， OABSPABPOS求 的值；1k当 为何值时， 有最大值，最大 值为多少？2Sy=k2xy=k 1xPDyxO CB A【例 12】 如图，点 、 在反比例函数 ( )的 图象上，且点 、 的横坐标分别为 和ABkyx0ABa( ) 轴，垂足 为 ， 的面积为 2a0CxCAO2（1）求反比例函数的解析式；（2）若点( ， )，( ， )也在反比例函数的图象上， 试 比较 与 的大小；1y2ay 1y2（3）求 的面积AOBxyO CBA【例 13】 已知：在矩形 中， ， 分别以 所在直线为 轴和 轴，建AOBC43OABOA， xy立如图所示

10、的平面直角坐标系 是 边 上的一个动点（不与 重合），过 点的反比例函数FBCBC， F的图象与 边交于点 (0)kyxAE（1）求证： 与 的面积相等；OE （2）记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值为多少？FCS kS（3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 沿 对 折后， 点恰好落在 上？若FF EOB存在，求出点 的坐标；若不存在， 请说明理由 xyFE CBAO【例 14】 如图，反比例函数 的图象过矩形 的顶点 ， 、 分别在 轴、 轴的8yxOABCOACxy正半轴上， :2:1OAC（1）设矩形 的对角线交于点 ，求出 点的坐标；BE（2）若直线 平分矩形 面积，求 的值y

11、xmm yxOCBA【例 15】 若一次函数 和反比例函数 的图象都经过点（1， 1）21yx-2kyx（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点 的坐标；A A（3）利用（2）的结果，若点 的坐标为（2，0），且以点 为顶点的四边形是平行四边BOBP， ， ，形，请你直接写出点 的坐标P yxFECBAO【例 16】 如图，点 ， 都在反比例函数 的图象上1Am， 31Bm， kyx（1）求 的值；k，（2）如果 为 轴上一点， 为 轴上一点， 以点 为顶点的四边形是平行四边MxNyABMN， ， ，形，试求直线 的函数表达式 yxO BA【例 17

12、】 已知 与 是反比例函数 图象上的两个点(1)Am， (23)B， kyx（1）求 的值；k（2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在点 ，使得以 四点为(10)C， kyxDABCD， ， ，顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由D yxBA-1 11-1C【例 18】 如图，已知反比例函数 的图象和一次函数 的图象都经过12yx7ykx点 求这个一次函数的解析式； 如果等腰梯形 的顶点 在这个一次2Pm， ABCDB，函数图象上， 顶点 在这个反比例函数 图象上，两底 ， 与 轴平行，且 和 的CD， yA横坐标分别为 和 ，求 的值。a2a FE PDyxO

13、 CBA【例 19】 反比例函数 和一次函数 ，其中一次函数图像经过 ，2kyx21yxab，两点1abk，（1）求反比例函数的解析式；（2）求出两函数的交点 的坐标在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，AxPAO把符合条件的点 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由P【例 20】 如图，如果函数 与 的图像交于 ， 两点， 过点 作 垂直于 轴，垂yx4ABACy足为点 ，求 的面积.CBO yxOCBA【例 21】 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两ykxbmyx(21)()ABn， ， ，点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求 的面积AOB yx

14、OBA【例 22】 正比例函数 ( )与反比例函数 的图象相交于 、 两点，过 作ykx01yxAC轴于 ，连结 ，若 的面积为 ，求 ABxBCASO B xyCA【例 23】 将直线 向左平移 个单位长度后得到直 线 ，如图，直线 与反比例函数yx1aa的 图象相交于 ，与 轴相交于 ，则 _10yxAxB2OAyxAB Oa【例 24】 已知：等腰三角形 在直角坐标系中的位置如图，点 的坐标为 ，点 的OABA3，坐标为 60，（1）若三角形 关于 轴的轴对称图形是三角形 ，请直接写出 、 的对称点 、yOB BA的坐标；B（2）若将三角形 沿 轴向右平移 个单位，此时点 恰好落在反比例

15、函数 的图OABxaA63yx像上，求 的值；a（3）若三角形 绕点 按逆时针方向旋转 度（ ）当 = 时点 恰好落在0930B反比例函数 的图像上，求 的值kyxk6OBxyA【例 25】 如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 、点 ，与 轴交于ykxb0kyxABx点 ，其中点 的坐标为 ，点 的横坐标为 CA24、B4（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求 的面积AOCCBAO xy【例 26】 如图，在直角坐 标系 中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交xOy1ykxb2kyx于 两点143ABm， ， ，（1）求一次函数的解析式；（2）求 的面 积 B(3,m)A(1,4)

16、xyO【例 27】 如图，已知 的顶点 是一次函数 与反比例函数 的图像在第一RtABCyxmmyx象限内的交点，且 3OS（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说 明理由（2）如果线段 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于 点，过 作 轴于 ，ACDEx那么 的面积与 的面 积的大小关系能否确定？DEB（3）请判断 为何特殊三角形，并证明你的结论O OEC B xAyD【例 28】 如图所示，设反比例函数 的两支为 ，正三角形 三个顶点位于此反比1yx12C， PQR例函数的图象上（1）求证： 不能都在反比例函数的同一支上PQR， ，（2）设 在 上， 在 上，求 顶点 的坐 标， -12C、1， RQPC2C1O xyy=xyxOC1C2PQR