1、1,静定结构的位移计算,第五章,2,5-1 概述,一、静定结构的位移,（1）荷载作用；（2）温度变化和材料胀缩；（3）支座沉降和制造误差。,1、 产生位移的原因(主要有下列三种)：,2、 结构位移的种类,静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。,3,(1) 绝对位移,4,（2） 广义位移,通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。,绝对位移分为：, 绝对线位移C (CH ， CV), 绝对角位移C,5,6,广义位移：相对线位移和相对角位移和杆的转动。,为A、B两点的相对转角,为A、B两点的相
2、对水平位移,7,二、位移计算的目的,1、验算结构的刚度,次梁跨中挠度,注：在梁中，一般水平位移，与竖向位移相比较小，通常可忽略不计，故一般只求竖向位移，就是通常所说的“挠度”。,即：验算结构的位移是否超过允许的位移限值。,主梁跨中挠度,楼盖跨中挠度,吊车梁跨中挠度,8,2、为超静定结构的内力和位移计算准备条件,求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。,如右图示超静定单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以有无穷多组解答，例如 可以取任意值。,当B点的竖向位移为0时,9,三、支座移动时静定结构的位移计算,(1) 在静定结构中，支座移动时并不引起内力，也不引起应变。
3、因此，支座移动时静定结构的位移计算问题都是刚体体系的位移计算问题，因而可用刚体体系虚功原理来求解。,(2) 应用单位荷载法求不同的位移时，应当选择不同的单位荷载。,虚设单位荷载的目的是希望在虚功方程中只包含拟求的未知位移。因此，虚设的单位荷载应当正好是与拟求位移相应的单位荷载。,10,也就是说，这个单位荷载所作的虚功在数值上应当正好等于拟求的位移。,举例：图a所示刚架，各杆的长度为l，支座A产生位移，下移CA，顺时针转动为A。 求：B点的水平位移BH 、C点的竖向位移CV和C点的转角C。,解：(1)求B点的水平位移BH(如图b)：,11, 根据拟求位移BH 在B点虚设水平单位荷载FP=1, 可
4、求出支座A的支座反力为, 列虚功方程, 求出BH,(2) 同理可求CV (如图c),12,(3) 同理可求C点的转角C (如图d),可以看出:结构上任一点的转动皆为A ，即刚体是整体转动的。,分析可知：虚设单位荷载时，应该是单位集中力在相应的线位移上做虚功，单位集中力偶在相应的角位移上做虚功。这样才能为虚设的单位力系提供方便。,13,支座移动时静定结构的位移计算的步骤：,(2) 令虚设单位力系FP=1在实际位移状态上做功，列出虚功方程：,(1) 沿拟求位移方向(双向)虚设相应的单位荷载FP=1，并求出FP=1 作用下的支座反力 。, 拟求位移，是广义位移；, 单位荷载下对应 的支座反力。, 实
5、际位移状态的支座沉陷量；,14,(3) 解出拟求位移：,注意：当为正时，说明实际位移方向与FP=1指向相同，为负时则相反。,是代数和， 乘积为两者方向一致时为正，反之为负。,15,5-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式,一、 变形体虚功原理,定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi ，即W=Wi 。,16,下面讨论W及Wi 的具体表达式。,条件：,(1) 存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。两种状态彼此无关。 (2) 力系是平衡的，给定的
6、变形是符合约束条件的微小连续变形。(3) 上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。,17,18,外力虚功：,微段ds的内虚功dWi：,整根杆件的内虚功为：,19,根据虚功方程W=Wi，所以有：,结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：,20,小结：,(1) 只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。(2) 上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。(3) 考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。,21,变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力
7、原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。,二、位移计算的一般公式,所以,在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则虚功方程为 ：,22,下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。,1、欲求 ，则在C点加上竖向单位载荷 ，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。,给定位移、变形,23,欲求C点的转角 ：,欲求C点的水平位移,24,2、位移计算一般公式,3、 小结,外力虚功,内虚功,所求位移,25,(2) 正负号规则：,若 及 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负；,乘积 及 的正负号分别由力与应变的正负号确定。 使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负， 以顺时
8、针方向为正，反之为负； 以拉力为正，压力为负， 以拉应变为正，压应变为负；,若 与 同向，则乘积 为正，反之为负。,26,(4) 根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。,图示单位荷载分别求位移 。,(5) 求位移步骤如下： 沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷； 求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力； 利用位移计算一般公式求位移。,注意：虚设单位力系，一次只能施加一个单位荷载。,27,例5-2-1 已知杆AB和BC在B处有折角 (见图a)，求B截面下垂距离 。,给定位移,解：(1) 将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加铰，见图b)。,28,(2) 虚设平衡力系如图c所示。运用虚功方程W=0
9、得：,29,例5-2-2 图示简支梁，已知在B左、右截面有竖向相对错动 (见图a) ，求 。,解： (1) 将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为滑动联结，见图 b。,30,(2) 虚设平衡力系如图c所示 。由虚功方程W=0得：,(c) 虚设平衡力系,31,例5-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度 。,解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程得：,给定位移,32,三、广义位移的计算,求图a结构A、B截面相对水平位移 。,33,虚设单位载荷如上页图(c)、(d)所示。,由上图(b)可得：,所以得：,34,所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，
10、性质与所求位移相应的单位荷载即可。,下面给出几种情况的广义单位荷载：,35,36,例5-2-4 因温度变化底板AB弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面C、D的相对水平位移 。,解：在截面C、D上加一对大小相等 、方向相反、沿水平方向的单位荷载如图所示。,37,注意：AC、BD杆无弯曲变形。,38,5-3 支座移动和温度变化时的位移计算,一、支座移动时的位移计算,说明：(1) 右边的负号是公式推导而得出，不能去掉。,(2) 若 与 方向相同，则乘积 为正，反之为负。,若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变、0、均为零。所以支座移动时的位移
11、计算公式为：,39,例5-3-1 已知刚架支座B右移a，求CV、DH、C。,(1) 求CV,40,(2) 求DH,(3) 求C,41,对于静定结构来讲：温度改变产生变形和位移，不引起内力，变形和位移是由材料的自由膨胀和收缩产生。,大跨度结构要重视温度变化产生的影响，因为此时由于温度变化引起的位移值较大。,二、温度变化时的位移计算,即：静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。,42,1、t1、t2是温度改变值，而非某时刻的温度。,2、 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。,截面上、下边缘温差：,杆轴线处温度改变值t0：,43,对于矩形截面杆件， ， 。,在温度变化的情况下，杆件
12、不引起剪应变，引起轴向应变和曲率。即：总变形是由轴向变形和弯曲变形共同形成的。亦即是说：t0引起轴向变形，t引起弯曲变形。,44,3. 微段ds的应变,拉应变,弯曲应变,4. 位移计算公式,热膨胀系数，量纲是温度每升高或降低一度杆件单位长度的伸缩量。,剪应变,45,小结：,(1) 正负号规则： 及温度变化使杆件同一侧纤维伸长(弯曲方向相同)，则乘积 为正，反之为负。,(2),式中： 为 图某杆的弯矩图(轴力图)的面积。,t0以温度升高为正，降低为负， 以拉力为正，压力为负。,46,例5-3-2 求图示刚架C截面水平位移CH。已知杆件线膨胀系数为，杆件矩形横截面高为h。,解：(1) 在C点施加水
13、平单位荷载，作 和 图。,47,(2) 利用公式计算C点的水平位移,48,5-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,一、 基本公式,求下图示结构在荷载作用下D点的位移。,49,若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：,上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。,在荷载作用下，应变、0、与内力MP、FQP、FNP的关系式如下：(式中k为剪应力不均匀系数),50,正负号规则：,51,若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：,二、各类结构的位移计算公式,1、梁和刚架,在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：,52,在高层建筑中
14、，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。,2、桁架,桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：,3、组合结构,53,4、拱,拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：,式中： 实际荷载引起的内力；,虚设单位荷载引起的内力。,特别注意：,54,弹性支座是支座本身会产生弹性变形，且支座反力与其变形的大小成正比的支座。其比例系数k称为刚度系数。刚度系数k在数值上等于使支座产生单位位移(线位移或角位移)时所需施加的力(集中力或力偶)。,三、具有弹性支座的静定结构的位移计算,称为柔度系数，即单位力产生的位移。,弹性支座有两种类型，一种是拉压弹簧支座，另一
15、种是转动弹簧支座，见下页图。,55,具有弹性支座结构的位移计算原理和方法，与无弹性支座的结构是相同的(单位荷载法)，只要在位移计算公式的右边增加一项虚拟状态的弹性支座反力在实际状态的弹性支座位移 上所做的虚功即可。对于具有弹性支座的梁和刚架，在荷载作用下的位移为,式中：FRP实际状态中弹性支座的反力；k弹性支座的刚度系数。,“+”为什么？,56,例5-4-1 求简支梁中点竖向位移CV，并讨论剪切变形对位移的影响。EI=常数,如果 与 的方向相同，则乘积 为正，否则为负。,解：注意 和 规定同侧受拉为正。,57,58,若杆件截面为矩形，查表可得k=1.2；若有=1/3，则E/G=2(1+)=8/
16、3，I/A=h2/12 。,若h/l=1/10，则,此时，剪切变形的影响不能忽略。,59,例5-4-2 求图示梁A端的竖向位移，梁的抗弯刚度为EI=常数。设梁的截面为矩形。,解：先求实际荷载作用下的弯矩MP，再求虚设单位荷载作用下的弯矩。取A点为坐标原点，任意截面x的弯矩为：,实际荷载,虚设单位荷载,60,弯曲变形引起的位移为：,关键：在写弯矩表达式时，注意坐标取向必须一致，两种状态下规定同侧受拉为正。,实际用不到这两个图！,61,例5-4-3 求图示刚架C点的竖向位移CV 和角位移C ，EI=常数。,解：1、求CV (1) 虚设单位力系，如图b。,(2) 写出各杆的弯矩方程,BC杆：,BA杆
17、：,62,(3) 代入公式计算,2、求C (与前面的步骤相同),BC杆：,AB杆：,63,例5-4-4 求图示桁架C点的竖向位移CV，各杆EA相同。,解：(1) 虚设单位力系,(3) 计算位移,(2) 求 (并将结果标在相应图中),64,计算时需注意的是：不要忘记乘以杆长。,65,例5-4-5 在例5-5-4中求CD杆的转动角度。,66,5-5 图乘法,当结构复杂或结构受力相对复杂时，用积分法计算工作量是相当大的。图乘法是一种求积分的简化方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。,一、图乘法基本公式,为方便讨论，把积分 改写成 。,设有 两个弯矩图，现在看两图的图乘结果，
18、即可获得图乘法的基本公式。,67,68,(1) 图乘法的适用条件：AB杆为等截面直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。(2) y0与的取值： y0一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取图形的形心位置对应的直线图的标距为y0。(3) 若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。,对杆系结构每根杆件求和有：,公式说明：,69,二、 常见图形的几何性质,书中的三角形比较简单,书中的三次和n次抛物线的顶点,70,以上给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。在应用抛物线图形图乘时，必须注意在顶点处的切线应与基线平行。,三、
19、图乘技巧与特殊问题的处理,1、若两个互乘的图形都是直线图，则标距y0 可取自任一图。,71,2、若一个图形是曲线图，另一个图形是折线图，则应分段计算(以转折点为分段点) 。,分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。,72,3、若两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而把其中一个梯形分为两个三角形(见红线)或一个矩形和一个三角形(见蓝线)(另一个不分块)，分别应用图乘法。,其中标距y1和y2可用下式计算：,73,4、若直线图中具有正负号部分时，图乘时可将其中一个图形看作底相同、高分别为a和b的两个三角形。,其中标距y1和y2可用下式计算：,74,注意：正负号部分是指弯矩图沿杆出现不同侧受
20、拉现象。可以证明：三角形补齐的面积，上下两部分相等，且其形心位于同一竖线上，不影响计算结果。,5、当M图为叠加图时，图乘时可以分解分别图乘，但需注意、y0 的异同侧(注意叠加时的新基线)。,分块(解) 只对 或 中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。(一般分解 ),75,左图受荷简支梁即有如上弯矩图。,将 图分解为 和 图分别与 图进行图乘，然后相加，即得原结果。,76,四、 图乘法举例,6、若图乘计算时，积分杆件具有突变截面，则应分段图乘计算。且要注意各段抗弯刚度EI的值。,7、若杆件为小曲率曲杆时，也可以使用图乘法。,例5-5-1 图a所示悬臂梁，求A点的竖向位移AV。,解：1、构造单位
21、荷载力系(图b)。,77,2、作 图和 图，如图c、d所示。,分段： ， 分为AC、CB两段。分块： 图的CB段分为两块。,3、图乘计算,78,此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是EI2，再加上刚度为EI1的AC段，再减去刚度为EI2的AC段即可。,79,例5-5-2 求CV， EI等于常数。,注意：两直线图图乘的技巧,分块： MP图的AC段分为两块。,80,若将AC段的MP图如下图那样分块，就比较麻烦。,例5-5-3 求B，EI等于常数。,81,82,例5-5-4 求B，EI等于常数。,注意：y2的计算,分块：MP图的BC段分为两块。,83,84,例5-5-5 求图示梁中点的挠度CV
22、，已知EI=104 5kNm2。,、图乘计算。,解：、虚设单位力系(b)；,、作 图；,因直线图是折线图，应分段图乘，MP 图是叠加图分为两部分1 和2 。,85,该题容易出的错误是：MP 图作出后，将C点作为全抛物线的顶点进行计算。值得提出的是：分块后2 是一具有顶点的全抛物线，顶点是在其中点处。需指出的是：顶点的切线平行于基线(此时新的基线是MP图的叠加线)；不具有顶点的抛物线，其面积和形心的公式不能应用。,86,4、 讨论：, 当只有均布荷载q，没有集中力作用时，MP 图是在C点具有顶点的全抛物线，图乘时为一个三角形和一个抛物线相乘。其结果为CV =10/EI。,87,注意：图乘符号。,
23、88,另外，如果考虑到MP 图的抛物线，因支反力为零，则在支座处是抛物线的顶点，可直接图乘。,结果与前相同，但计算要简单一些。, 对于原题，可将原荷载进行分解，分别考虑简支梁在荷载FP=12kN及q=3kN/m作用下C点的挠度，然后叠加也可以，但是，一般不这样做。,89,例5-5-6 图a所示为悬臂梁，在A点作用荷载FP，求中点C的挠度C 。,形心与右端的距离为l/6。,讨论：现在用另一种方式进行图乘。,90,这种算法错在哪里？,在 MP图中,91,例5-5-7 求图a所示三铰刚架C铰两侧截面的相对转角C，EI=常数。,解：1、虚设单位力系(图b)，在C点两侧施加一对方向相反的单位力偶。,92
24、,3、图乘计算。,本题特点：C点是抛物线的顶点。,93,例5-5-8 求CH，EI等于常数。,解：作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。,94,书中其他例题自学，注意图乘方式,95,例5-5-9 求图示结构A点的水平位移AH。已知：各杆EI=常数。,弹性支座结构，根据前述公式可求得A点的水平位移为,96,97,也可以转换为等效支座移动问题来计算。,在荷载作用下，A点将产生竖向位移AV，截面B将产生转角B，分别为,98,5-6 互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、 功的互等定理,功的互等本质上是虚功互等。,下图给出状态I和状态
25、II。,99,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：,100,同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：,即：,定理：在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。,所以,101,即：,例5-6-1 同一结构的两种状态，验证功的互等定理。,有：,即,102,二、 位移互等定理,由功的互等定理可得：,在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，称为位移影响系数，记作ij，即：,103,定理：在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起
26、的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12= 21,或,于是,所以,则有,104,说明：,(1) ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。i产生位移的方位； j产生位移的原因。(2) FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲(W/FP1FP2)上仍然保持相等。,105,例5-6-2 验证位移互等定理。,解：,106,所以,例5-6-3 验证位移互等定理。,107,解：,所以,108,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构，因为
27、静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,109,根据功的互等定理有：,在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，称为反力影响系数，记作rij，即,所以,得,或,则有,110,说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为W/CiCj。i产生支座反力的方位；j产生支座移动的支座。,定理：在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。,即 r12= r21,111,例5-6-4 验证反力互等定理。,可见：r12=r21,上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。,112,四、位移反力互等定理,根据功的互等定理有：,令：,即：,所以：,113,位移反力互等定理在混合法中得到应用。,上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数 、 的量纲都是 。,定理：在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数 ，但二者符号相反。,114,例5-6-5 验证位移反力互等定理。,
