1、垂直于弦的直径,什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形,回 顾,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆有哪些对称轴？,O,O,A,B,C,D,E,已知：在O中，CD是直径， AB是弦， CDAB，垂足为E,下图是轴对称图形吗？,大胆猜想,叠合法,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,CD是直径，AB是弦，CDAB,直径过圆心垂直于弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂径定理,将题设与结论调换过来，还成立吗？,这五条进行排列组合
2、，会出现多少个命题？, 直径过圆心 平分弦, 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径？, 直径过圆心 平分弦所对优弧, 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论-2,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧, 直径过圆心 平分弦所对的劣弧, 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦,垂径定理的推论3,（2）平分弦所对的一条弧的
3、直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧, 垂直于弦 平分弦, 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论4,垂径定理三角形,d + h = r,r,有哪些等量关系？,在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量,课堂小结,1 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,2 垂径定理,经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,3 解决有关弦的问题,1 判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的
4、两弧 （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 （ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ ）,随堂练习,2 在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm,3 在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E， 求证：四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形,4 在直径是20cm的O中， 的度数是60，那么
5、弦AB的弦心距是_,cm,5 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为_,cm,6 已知P为O内一点，且OP2cm，如果O的半径是3cm，那么过P点的最短的弦等于_,cm,9 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点 求证：ACBD,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，ACBD,E,你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,赵州桥主桥拱的半径是多少？,垂径定理的应用,解：
6、如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为R米，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（米）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米.,小结：,1、我们要掌握圆的对称性：圆既是轴对称又是中心对称图形,2、垂径定理：,直线过圆心,直线垂直于弦,直线平分弦,直线平分弦所对的优弧,直线平分弦所对的劣弧,3、在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用垂径定理来解决问题。,垂径定理的应用,3.2,圆的对称性,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
7、对的两条弧.,题设,结论,（1）直径（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心MNAB, AC=BC, ,垂径定理,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,垂径定理推论1,推论1. 平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理的本质是,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧,1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段,归纳：,2、一个Rt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦,O,A
8、,B,C,3、两个定理： 垂径定理、勾股定理,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.,d + h = r,1.已知：如图，直径CDAB，垂足为E .若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？,随堂训练,链接中考,3.（2007.江西）如图，点A、B是O上两点，AB=10，点P是 O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别OEAP于E，OFPB于F，则EF= 。,5,随堂训练,4.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所
9、中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,5.已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm， O的半径为5cm，,思考题：,（1）请根据题意画出符合条件的图形,（2）求出AB、与CD间的距离。,（1）,（2）,当两条弦在圆心的异侧时,当两条弦在圆心的同侧时,船能过拱桥吗?,6.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,C,D,A,B,E,作法：,1 连结AB,小练习,A,B,C,D,E,作法：,1 连结AB,3 连结AC,5 点G同理,A,B,C,作AC的垂直平分线,作BC的垂直平分线,这种方法对吗？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线,C,A,B,O,作法：,1 连结AB,3 作AC的垂直平分线,4 两条垂直平分线交于一点O,你能破镜重圆吗？,A,B,C,m,n,O,作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆,作法：,依据：,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,
