1、1实验六 多元函数的极值【实验目的】1 多元函数偏导数的求法。2 多元函数自由极值的求法3 多元函数条件极值的求法.4 学习掌握 MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数 的极值点和极值3284yxz【实验准备】1计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤 1.定义多元函数 ),(yxfz步骤 2.求解正规方程 ,得到驻点0),(fyx步骤 3.对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数)(0 ,222yzCxBzA步骤 4. 对于每一个驻点 ,计算判别式 ,如果 ,则该驻点是0yxC02极值点,当 为极小值, 为极大值;,如果
2、,判别法失效,需进一步判断; 0AA02如果 ,则该驻点不是极值点.2BC2计算二元函数在区域 D 内的最大值和最小值设函数 在有界区域 上连续，则 在 上必定有最大值和最小值。),(yxfz),(yxfD求 在 上的最大值和最小值的一般步骤为：),(yxf步骤 1. 计算 在 内所有驻点处的函数值；),(yxf步骤 2. 计算 在 的各个边界线上的最大值和最小值；D步骤 3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在 内的最大值和最小值。D3函数求偏导数的 MATLAB 命令2MATLAB 中主要用 diff 求函数的偏导数,用 jacobian 求 Jacobian 矩阵。diff(f,x,n
3、) 求函数 f 关于自变量 x 的 n 阶导数。jacobian(f,x) 求向量函数 f 关于自变量 x(x 也为向量) 的 jacobian 矩阵。可以用 help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习 1 求函数 的极值点和极值.首先用 diff 命令求 z 关于 x,y3284yxz的偏导数clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为ans =4*x3-8*yans =-8*x+4*y即 再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符.48,43yxyzxz号解用 s
4、olve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为：clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有三个驻点，分别是 P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x2B =-8C =4由判别法可知 和 都是函数的极小值点，而点 Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(P),(Q和 是函数的最小值点。
5、当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与),(鞍点。clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);3Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)结果如图6.1图 6.1 函数曲面图可在图 6.1 种不容易观测极值点与鞍点,这是因为 z 的取值范围为-500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.contour(X,Y,Z, 600)xlabel(x),ylabel(y)结果如图6.2图 6.2 等值线图由图6.2可见,
6、随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和 .根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指)24(P)(Q向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点 周围没有等高线环绕,不)0(Q4是极值点,是鞍点.练习 求函数 在条件 下的极值构造 Lagrange 函数xyz1y)1(),(yxxL求 Lagrange 函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数yclear; syms x y kl=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得 再解正规方程,1, yxLxyxLclear; syms x y
7、kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.21,21yx练习 3 抛物面 被平面 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最yxz1zyx长与最短距离.这个问题实际上就是求函数 22),(zyxzyf在条件 及 下的最大值和最小值问题.构造 Lagrange 函数2yxz1z )1()(),( 222 zyxzyxyxL求 Lagrange 函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数L,clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x
8、)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得 zLyLxL2,2,251,2zyxLzyxL再解正规方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得 .32,1,317,35 zyx上面就是 Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 在有界闭集 ，上连续，f 1,:),(2zyxz从而存在最大值与最小值） ，故由 359.),231,( f求得的两个函数值，可得椭
9、圆到原点的最长距离为 ，最短距离为 。359练习 4 求函数 在上半圆 上的最大值和742yxz 0,162yx最小值。首先画出等高线进行观测，相应的 MATLAB 程序代码为：clear; x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2-4*X-2*Y+7;contour(X,Y,Z,100)xlabel(x),ylabel(y)结果如图 6.3-4 -2 0 2 4-4-2024xy图 6.3 等值线6观测图 6.3 可看出，在区域 内部有唯一的驻点，大约位于 在该点处汉书趣的最D)1,2(小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于
10、 。下面通过计算加以验证。),4(求函数在区域 内的驻点，计算相应的函数值。求 z 关于 x,y 的偏导数clear; syms x y;z=x2+y2-4*x-2*y+7;diff(z,x)diff(z,y)结果得 解正规方程,2,42yzxzclear; x,y=solve(2*x-4=0,2*y-2=0,x,y)得驻点为(2,1),相应的函数值为2。求函数在直线边界 上的最大值和最小值。将 代入原函数，则4,0xy 0y二元函数变为一元函数 .4,72xz首先观测此函数图形，相应的 MATLAB 程序代码为：x=-4:0.01:4; y=x.2-4*x+7;plot(x,y);xlabe
11、l(x),ylabel(z)结果如图6.4所示-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40510152025303540xz图 6.4 函数图由图 6.4 可看出，当 时函数取得最大值， 时函数取得最小值。下面用计x算验证。对函数求导clear; syms x ;z=x2-4*x+7; diff(z,x)得 ，可知驻点为 ，而边界点为 ，计算着三个点上的函数值可得当42xdz24x时函数取得最大值39， 时函数取得最小值3。x求函数在圆弧边界线上 的最大值和最小值。此边界线可用参数方程0,162ytt,sin4co7表示。则二元函数变为一元函数 23sin8co16ttz首先观测此函数图形，相
12、应的 MATLAB 程序代码为：t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;plot(t,z);xlabel(t),ylabel(z)结果如图6.5所示0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5510152025303540tz图 6.5 函数图由图 6.5 可看出，当 时函数取得最小值， 时函数取得最大值。下面用计.t x算验证。对函数求导clear; syms t ;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t)得 ,解正规方程ttdtzcos8in1clear; t=solve(16*sin(t)-8*cos(t)=0,t)numeric(t) %求出t的数值得 ，边界点为 ，计算着三个点上的函数值可得当463,021arctn,0t时函数取得最小值0.5111， 时函数取得最小值39。.t )0,4(yx综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2 ，在点(-4,0)处函数取得最大值39。【练习与思考】1. 求 的极值，并对图形进行观测。144xyz2. 求函数 在圆周 的最大值和最小值。2,f 12yx3. 在球面 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。2z4. 求函数 在平面 与柱面 的交线上zyxyf3),( z12yx的最大值。5. 求函数 在三条直线 所围区域上的最大值和最小21,1yx值。
