1、3、空间一般力系3.1 内容提要3.1.1 力在轴上的投影力在轴上的投影祥见表 3-1表 3-1 力在轴上的投影内 容 表达式 角度含义直接投影法 cosFZYX、 、 分别为力 与坐标F轴 x、y、z 正向间夹角时二次投影法 sin 为力 与平面 Oxy 的夹角，为力 在 Oxy 平面上的投影F与 x 轴的夹角y3.1.2 力对点的矩和力对轴的矩有关力矩的概念祥见表 3-2表 3-2 力矩内 容 表达式 定 义力对点之矩 FrM0力对点之矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积力对轴之矩 xyOzm力对轴之矩是代数量。力对任一轴 z 的矩，等于力在垂直于该轴的平面 Oxy 上的投影 对该轴
2、与xyF该平面的交点 O 的矩，正负号按右手螺旋法则确定力矩关系定理 ZOzF力对某点 O 之矩矢在过此点任一轴上的投影，等于此力对该轴之矩合力矩定理 )()(iz合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和3.1.3 空间一般力系的简化1、空间任意力系向任一点简化空间一般力系向简化中心简化，可得主矢和主矩，其结果见表 3-3。表 3-3 主矢和主矩内容 表达式 定 义主矢 iRF主矢等于原力系中各力的矢量和，与简化中心 O 的位置无关。主矩 ）（mMO主矩等于原力系中各力对简化中心 O 点之矩的矢量和，一般情况下，它与简化中心的位置有关。2、空间一般力系简化的最后结果空间一般力系简化的最后
3、结果见表 3-4表 3-4 空间一般力系的最后简化结果主 矢 主 矩 最后结果 说 明0M平 衡 空间一般力系平衡的充要条件0RF合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关0合力作用线通过简化中心0FR合 力 合力作用线到简化中心的距离 |/|0RMd/力螺旋中心轴通过简化中心R0与成 角0M力螺旋 力螺旋中心轴到简化中心距离 RF|sin|03.1.4 空间一般力系的平衡空间一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要条件是，力系的主矢和对任一点 O的主矩都等于零，即，0RF空间力系的平衡方程见表 3-5。表 3-5 空间力系平衡方程力 系 平衡方程空间一般力系 0)( ,0)( ,0)( FmFmZ
4、YXxyx空间汇交力系 ， ，空间力偶系 ， ，xyz空间特殊力 系 空间平行力系 ， ，Z)(x)(y（力系中各力与轴 z 平行）3.2 解题要点1、 空间一般力系的题型可分为空间力系的简化问题和平衡问题两大类。物体在空间力系作用下的平衡问题的解题方法和步骤与平面问题基本相同。但求解空间问题时，要有清晰的空间概念，熟练掌握力在轴上的投影和力对轴之矩。3、为了简化计算，在选取投影抽与力拒轴时，投影轴要与尽可能多的未知力或其所在的平面相垂直，力矩轴应与尽可能多的未知力相交或平行投影轴不一定要彼此垂直，也不一定要与力矩轴相重合。在列平衡方程时，可用适当的力矩方程取代投影方程，即可采用四矩式、五矩式
5、或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此独立的，就能解出全部未知量。4.解空间力系平衡问题时，有时采用将该力系向三个相互垂直的坐标平面投影的方法，将空间力系化为三个平面力系分别求解。采用此法时，必须注意各力在投影面上投影的大小、方向及作用点的位置。3.3 范例分析例 3-1 图 3-1(a)为直角三棱柱。其上作用力系：:F 1=200 N, =100N，试求该力2F系在各轴上的投影及对轴之矩。图 3-1解解题思路： F1 在轴上的投影可按直接投影法计算，对轴之矩可用力对轴之矩的解析式计算； 组成一个空间力偶矩矢 M1=F20.2=20Nm，如图（b）所示，对轴之矩2与直接投影即可。 )N
6、( 28.74904.30.221 x )( 56.191Fy )N( 4.2930231z m 56.41)( yzxFM)( 28.34053Mzxy1)(yz )N( 1628.46.482.0 7例 3-2 均质矩形板 ABCD 重 P=200 N，作用在其对角线交点上，矩形板用球形铰链 A 和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用绳子 CE 维持在水平位置如图 3-2（a）所示，若 =30，试求绳子的拉力以及铰链 A,B 的反力。图 3-2解解题思路：取矩形板为研究对象，空间球形铰链 A 的约束反力可用三个互相垂直的分力来表示。而蝶形铰链轴向的约束反力和垂直于轴向的约束力偶可以忽略，故约束反
7、力的作用线在垂直于铰链轴的平面内。作用在板上的力组成一个空间任意力系，它有六个平衡方程，可求解六个未知力。（1）取矩形板为研究对象，受力图如图（b）所示。为便于计算绳子拉力 F 对 x，y 轴之矩，可将力 F 分解成平行于 z 轴的分力 Fz =Fsin30，与在板平面内的分力Fxy=Fcos30。（2）建立空间任意力系的平衡方程：， （1）0)(mz 0Bx， （2）Fy 03sin21CFPN， （3）0)(x si DABz0z， （4）X6cos3FBxAN.8A， （5）0Y0csy15AF， （6）Z3sinPBzzN 0Az讨论空间力系的平衡方程建立次序可以随意，一般，首先建立的
8、是不用解联立方程的力矩平衡方程。应尽可能使一个方程包含一个未知量，使未知量从方程中直接解出。最后还可以用非独立的平衡方程来校核所得约束力。如对 DB 线用 平衡方程来校核力0DBMF，F Az 的值。例 3-3 图 3-3（a）所示电杆 OD 高 7m，D 处受水平力 F=10kN 作用。O 处视为球铰支座，A 处以钢索 AB、AC 与地面相连，略去电杆自重。试求钢索拉力及支座反力。解：解题思路：电杆 OD 受已知力 F、钢索的拉力 F1 与 F2 以及球铰支座 O 处的反力FOx、 FOy、 FOz 作用，计有 5 个未知量，可由空间一般力系平衡方程的基本形式求解。OD 杆的受力如图（b）所
9、示。对图示坐标系，列平衡方程图 3-3， （1）0X 0sin45cosin45co21 OxFaFaF， （2）Y co y， （3Zscs21Oz）， （40)(Fmx 045in45in721 F）（5）)(y 3si3si21由图示几何关系知： ，5na4co联立求解上述 5 个平衡方程，可得，F Ox=0，F Oy=4 kN，F Oz=17.5 kNkN 37.121F其中，负号表示约束反力的实际方向与假设的方向相反。讨论 为了避免解联立方程组，如何合理选取力矩轴？理论依据是当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。首先，欲使力矩平衡方程中不出现 F1 及 F2 ，可过 F1、F 2
10、 交点 A 作 及 轴xy（图 b） ，此时力 F、F Oy、F Oz 与 轴共面，则这些力对 轴之矩为零。故应以 轴y y y为矩轴。即，0)(my 05Ox得 xF同理，应以 轴为矩轴列为矩平衡方程。由于已求出 ，在下面建立平衡x 0X方程时，可不再考虑。由，0)(Fmx 52OyF得 kN 45Oy其次以 F1、 F2 的交线 BC 为矩轴，即，0)(mBC07OzF得 kN 5.14Oz最后，求 F1 及 F2 。分别以 OC 及 OB 为力矩轴，列出力矩平衡方程， 0)(mOC 0)29cos(2sin71aFa， )(FB )(5i2可解出 cos257)90cos(25in71
11、FFkN 37.154应注意到，在上式的力矩计算中，应用了力矩关系定理。例如，当求 时，)(1FmOC是将力 对 O 点之矩先表示为矩矢 ，再投影到 OC 轴上。在本例中还可应用1F)(10Fm对 CG 及 BE 轴的力矩平衡方程，以求解 F1 及 F2 。综上述可知，由于合理地选取了力矩轴，并以力矩方程代替了投影方程，使得每个未知量都可由一个平衡方程单独解出来。既避免了解联立方程组，又可避免由于数值计算而产生误差的传播。例 3-4 在铅垂轴 AB 上有一个水平圆盘。 A 点为向心轴承，B 点为止推轴承。盘上 C点有力 F 作用，在转轴上绕有一软绳，绳的一端悬挂有重物 P，如图 3-4（a）所
12、示。已知：P=100KN，r 1=0.2m,r2=0.5m, a=1m,=30 ,=60 .试求平衡时力 F 及轴承反力。解解题思路：先对 z 轴取矩，列平衡方程，求出力 F ，然后再求出 A 及 B 处的反力。图 3-4(1)选取 AB 物体为研究对象， A 点具有两个方向的轴向约束,B 点具有三个方向的轴向约束，将传动轴上软绳分割。显然，分割后绳子的拉力为 P 值。物体的受力图见图(b)，为方便地建立平衡方程，可将力 F 分解成三个轴向的分力，按二次投影法，可得各分力大小为：F x=Fcos60cos30，F y=Fcos260，F y=Fsin60。在作力 F 的二次投影时，可以作辅助图
13、（c）来表示。(2)按尽可能避免求解联立方程的原则建立方程：， 0)(Fmz 06cos21rrP得 F=80kN， )(X 03cos32zyAy FaaF得 FA y=63 3kN， 0)(mY 0in2zxr得 FAx=17 3kN， XxBAx得： FBx=17 3kN， 0Y0yByAFPF得 FBy=56 7kN， ZzB得 FBz=69 3kN讨论：对空间一般力系的平衡问题，可先将空间力沿三个坐标轴方向分解，然后再列平衡方程求解，较为方便。例 3-5 边长为 a 的等边三角形板 ABC 用三根铅直杆 1、2、3 和三根与水平面各成 30角的斜杆 4、5、6 支撑在水平位置。在板的
14、平面内作用有力偶 M，如图 3-5(a)所示。板和各杆的自重不计，求各杆的内力。图 3-5解：解题思路：因支撑三角板的杆都是二力杆，故用截面法将各杆截开，取三角板为研究对象，受力如图（b）所示。它们构成空间一般力系，有六个未知量，可用空间一般力系平衡方程式求解。下面分别用三种方法求解。方法一用空间力系一般形式的平衡方程式求解。坐标系 Dxyz 如图（b）所示。， （1）0)(FMz 03cos5 Ma得 a425， （2）0Y 03cos30cos54 F得 a44， （3）X sincsinccs56 F得 MF30)(546，0)(Mx cossi30co2 aa得 aMF320sin42
15、（4），0)(FMy（503sin0si3insi 5423 aaa）得 MFF2i)i(5423，0Z（6）03sin0sisin654321 得 aFF2i)(654321 上述求得的结果为各杆内力的大小。负号说明杆件受压。在上面的分析中，我们应用了空间任意力系平衡方程的基本形式。与平面任意力系一样，空间任意力系平衡方程也有其他形式。我们可以根据需要选择投影轴或力矩轴，用力矩方程部分或全部地代替上述中的三个投影方程。方法二， （1）0)(FMz 03cos05 MaF得 345， （2)(FB cs6）得 a346， （3）0)(MEC 03cos04 MF得 M4， （)(FAB css
16、inc63 aa4）得 23， 0)(MAC 03cos0sin3co52 aFa（5）得 MFsin52， （60)(FMBC 03cos0sin3co41 aFa）得 M20sin41方法三本题中，结构对称，荷载也对称，所以反力也应该对称，即F1=F2=F3 ， F4=F5=F6因此，只有列出两个平衡方程，就可求出各杆内力。讨论：（1）由上述三种方法可知，合理选择投影轴和力矩轴对求解空间力系的平衡问题尤为重要。同时，不一定总要使三个力矩轴分别与投影轴重合；而且也不一定要采用三个投影式和三个力矩标准形式的平衡方程来求解。只要根据具体问题灵活选用，就能使求解简便。（2）根据结构对称或荷载对称条
17、件，也会给求解带来方便。选不同力矩轴和投影轴建立平衡方程有一定的限制。当然，要判别任意写出的六个平衡方程是否独立是一个比较复杂的问题。但是，如果一个方程能解出一个未知量，这不仅避免了解联立方程，而且这个方程也一定是独立的。所以，在列平衡方程的其他形式时，要尽可能地使方程中只含有一个未知数。例 3-6 已知均质杆 AB 和 BC 分别重为 P 和 Q ，A 和 C 用球形铰链支座连接在水平面上，另一端 B 用球形铰链相连，靠在光滑的墙上，AC 与墙与地面的交线平行，AC=AO，杆 AB 与水平线交角为 45，如图 3-6（a）所示。试求 A、C 的90AC支座反力及墙上 B 点所受的压力。（a）
18、 （b）图 3-6解：解题思路：本题为空间力系的物系平衡问题，可分别取整体及其中一部分为研究对象，列平衡方程求解。列平衡方程时应合理地选取力矩轴以避免解联立方程。1、以整体为研究对象，受力图如图（a）所示，应注意两杆在 B 点铰接后靠在墙上，故 B 处为光华面约束。为方便计，取辅助坐标轴 和 。xz，0)(Fmx 02)(OBFAQP得 B，)(y CZC得 2， 0)(Fmz 0AYC得 ， BCAF得 2QPY， 0Z0ZCA得 ， XCAX2、以杆 AB 为研究对象，受力图见图（b） 。， 0)(Fmz 0OA得 XAC讨论：对于空间力系的物系平衡问题，应特别注意研究对象及力矩轴、投影轴
19、的选取，避免求解联立方程。3.4 课后练习3.4.1 是非题1、一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点 A，就是通过固定点 B，则其独立的平衡方程式只有 5 个。 （）2、若空间力系各力的作用线都垂直某固定平面，则其独立的平衡方程最多有 3 个。 （）3、一空间力系，对不共线的任意三点的主矩均等于零，则该力系平衡。 （）4、物体的重心和形心虽然是两个不同的概念，但它们的位置却总是重合的。 （）3.4.2 填空题1、通过 A（3，0，0） 、B（0，1，2）两点（长度单位为 m） ，由 A 指向 B 的力 在 z 轴F上的投影为 ，对 z 轴之矩为 。2、图 3-7 中力 ，力 对 x 轴之矩
20、为 ，对 y 轴之矩为 KNF3，对 z 轴之矩为 。图 3-7 图 3-83、已知力 F 和长方体的边长 a、b、c 及角 、 ，如图 3-8 所示，力 F 对 AB 轴之矩的大小为 。4、边长为 的立方体，受三个力作用，如图 3-9 所示。设 ，则此力系a 321的简化结果为 。图 3-93.4.3 选择题1、 空间力矩是（） 。（a） 标量 ；（b） 定点矢量 ；（c） 滑动矢量 ；（d） 自由矢量。2、 空间力偶矩是（） 。（a） 标量 ；（b） 定点矢量 ；（c） 滑动矢量 ；（d） 自由矢量。3、正立方体的顶角上作用着 6 个大小相等的力，如图 3-10 所示。此力系向任一点简化的
21、结果是（） 。（a）主矢等于零，主矩不等于零 （b）主矢不等于零，主矩也不等于零 （c）主矢不等于零，主矩等于零 （d）主矢等于零，主矩也等于零F1oF3F2xyz图 3-104、正立方体的前侧面沿 AB 方向作用一力 F，如图 3-11 所示。该力（） 。（a）对 x、y、z 轴之矩全相等 （b）对三轴之矩全不相等（c）对 x、y 轴之矩相等 （d）对 y、z 轴之矩相等图 3-115、在一个正方体上沿棱边作用 6 个力，各力的大小都等于 F，如图 3-12 所示。此力系的最终简化结果为（） 。（a） 合力 （b）平衡 (c) 合力偶 (d) 力螺旋图 3-123.4.4 计算题3-1 正方
22、体的边长 a=20 cm，力 F 沿对顶线 AB 作用，如图 3-13 所示，其大小以 AB 线的长度表示，每 1cm 代表 10N。试求：（1） 力 F 在各坐标轴上的投影， （2）力 F 对各坐标轴之矩， （3）力 F 对 O 点的矩矢。答案：（1）X = 200N ，Y = Z =200N（2） ， ， 0)(mx mNy40)( mNz40)(（3） kjiFm40)(3-2 均质等腰三角形薄板 ABC，重为 P，用球铰 A 及不计自重的细杆 BE、 BD 及 CD 维持于水平位置上，如图 3-14 所示。没 EA=AB=BC=a，试求 A 处的反力及各杆的内力。答案： ， ，3PAx
23、 32Ay3Fz， ，FBE2PBDPCD2图 3-13 图 3-143-3 正方形板 ABCD 由六根直杆支撑，各杆尺寸如图 3-15 所示。在板上点 A 处沿 AD边作用水平力 ，板和各杆的重量都不计。求各杆的内力。F答案： ， ， ， ， ，1F23F245F6图 3-153-4 起重机绞车如图 3-16 所示。已知 =20 ，r=100mm，R=200mm，其它尺寸（单位：mm）如图所示，Q=10kN，试求重物匀速上升时支座 A、B 的反力及齿轮所受的力 P的大小。答案：F Ay=1 67kN ，F Az=7 27kN ；FBy=3 33kN ， FBz=4 55kN ；P=5 32k
24、N 。654321EFHGDCBAaaa图 3-163-5 图 3-17 所示装置中，竖杆 AB 用两绳拉住，A 处为球铰支座。已知 P=20 kN；不计杆重，试求两绳的拉力和铰 A 的反力。答案：F H=FG=28.3kN ，X A=0 ，Y A=20kN ，Z A=69.2kN 图 3-173-6 均质长方形板重 260N，用球铰 A、蝶形铰链 B 和不计重量的杆 CE 支持，处于水平位置，如图 3-18 所示。已知 AB=1.2m，AD=0.5m ，AE=0.65m，C 、E 为球铰。试求A、B 、C 处的约束反力。答案： ， ， ， ， ，NXA10YA240NZA130BX0BZFCE53图 3-183-7 图 3-19 所示折杆 ABCD 的 A 端为固定端约束，荷载及尺寸如图所示。试求 A 端的约束反力。答案： ， ， ， ， ，0AXNY2kZA1mkNMx10ymkNMz2图 3-19
