1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷）一选择题（1）已知向量 a、b 满足| a|=1，| b|=4，且 ab=2，则 a 与 b 的夹角为（A） （B） （C ） （D）6432（2）设集合 M=x|x2-x0)R)（C ）f(2x)=2e 2x(x （D ）f(2x)= lnx+ln2(x0（4）双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=（A）- （B）-4 (C)4 （D）1 41（5）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,若 S7=35,则 a4=（A）8 （B） 7 （C）6 （D）5（6）函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为4
2、（A）(k - , k + ),k （B）(k , (k+1) ),k2ZZ(C) (k - , k + ),k （D ）(k - , k + ),k343（7）从圆 x2-2x+y2-2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A） （B） （C） （D）0152（8） ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c ，若 a、b、c，且 c=2a，则 cosB=（A） （B） （C） （D ）4343（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（A）16 （B） 20 （C）24 （D）32（10）在（x- ）
3、 10 的展开式中， x4 的系数为x21（A）-120 （B） 120 （C）-15 （D）15（11）抛物线 y=-x2 上的点到 4x+3y-8=0 直线的距离的最小值是（A） （B） （C ） （D）3345758（12）用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm) 的细木棒围成一个三角形( 允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A）8 cm2 （B）6 cm2 （C）3 cm2 （D）20cm 210第卷（13）已知函数 f(x)=a- ,若 f(x)为奇函数，则 a = 。12x（14）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 ,则侧面与底面所成的二
4、面角等6于 。（15）设 z=2y-x,式中 x、y 满足下列条件123yx则 z 的最大值为_(16)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天 ,其中甲乙二人都不安排 5月 1 日和 5 月 2 日.不同的安排方法共有_种(用数字作答)三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本大题满分 12 分）已知a n为等差数列 ,a3=2,a2+a4= ,求a n的通项公式.0（18） （本大题满分 12 分）ABC 的三个内角为 A、B 、C,求当 A 为何值时,cosA+cos 取得 2CB最大值,并求出这个
5、最大值（19） （本大题满分 12 分）A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用 A 有郊的小白鼠只数比服用 B 有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有郊的概率为 ，服用 B 有郊的概率为 .31（）求一个试验组为甲类组的概率;得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人（）观察 3 个试验组,求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率.（20） （本大题满分 12 分）如图,l 1、 l2 是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A、B 在 l
6、1 上，C 在 l2 上，AM=MB=MN（I）证明 AC NB（II）若 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值60C（21） （本大题满分 12 分）设 P 为椭圆 (a1)短轴上的一个端点,Q 为椭圆上的一个动12yax点,求|PQ|的最大值（22） （本大题满分 14 分）设 a 为实数,函数 f(x)=x3-ax2+(a2-1)x 在(- ,0)和(1, )都是增函数,求 a的最值范围2005 全国卷 I（河北、河南、安徽、山西）文科数学参考答案一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D7.C 8.B 9.
7、C 10.B 11.B 12.D二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。13155 14. 70 15.100 16. 三解答题（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分 12 分。解：（I）得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人ABCM Nl1l2x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴，8sin(2 + )=1， + =k+ 2，kZ.4-= = .10|B由此得 AC 与 PB 所成的角为 arccos .5（III）解：在 MC 上取一点 N(x,y,z),则存在 R，使= MC，N=(1-x,1-y,-z), =(1,0,
8、- ),21x=1-,y=1,z= .要使 ANMC 只需 AN =0,即Cx- 21z=0,解得 = .54可知当 = 时,N 点坐标为( ,1, ),能使 AN =0.152MC此时, AN=( ,1, ), =( ,-1, ),有 =0.2BB由 =0, =0 得 ANMC,BNMC. 所以 ANB 为所求二面角的平面角.MC| |= ,| |= , AN =- .53054cos=B.32|故所求的二面角为 arccos(- ).(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分。解：（I）f(x)+2x0 的解集为（1，3） ，f(x)
9、+2x=a(x-1)(x-3),且 a0，所以210q10=1,解得 q= 1,因而an=a1qn-1= n2,n=1,2,.(II)因为a n是首项 a1= 、公比 q= 的等比数列，故Sn= =1- n2，nS n=n- .)(2则数列nS n的前 n 项和Tn=(1+2+n)-( 1+ + )，2n2(1+2+n)-( + + ).2312n前两式相减，得1nT(1+2+n)-( 21+ + )+n1= - + ,4)(21)(n1即 Tn= .212)(n（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分 14 分.（
10、I）解：设椭圆方程为 =1(ab0),F(c,0).2byax则直线 AB 的方程为 y=x-c,代入 =1，化简得2byax(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.令 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .a2a由 =(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), 与 a 共线，得OBAOBA3(y1+y2)+(x1+x2)=0.又 y1=x1-c,y2=x2-c, 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0, x1+x2= .3c即 ,所以 a2=3b2.2ba c= ,362故离心率 e= .ac（II）证明：由（I）知 a2=3b2,所以
11、椭圆 =1 可化为2byaxx2+3y2=3b2.设 =(x,y),由已知得OM(x,y)=(x 1,y1)+(x 2,y2),x=x 1+x 2,y=y 1+y 2.M(x,y) 在椭圆上，(x 1+x 2)2+3(y 1+y 2)2=3b2.即 2( +3 )+ 2( +3 )+2(x 1x2+3y1y2)=3b2, 1xyx2y由（I）知 x1+x2= c,a2= c2,b2= c2.3x 1x2= c2.82bacx 1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= c2- c2+3c239=0.又 =3b2, =3b2,代入得12yx3yx 2+ 2=1.故 2+ 2 为定值，定值为 1.
